Сравнение результатов выполнения заданий в 2015 и 2016 годах
(профильный уровень)
Таблица 10
Проверяемые элементы содержания
|
2015 год
|
2016 год
|
№ задания в работе
|
Средний процент выполнения по региону
|
№ задания в работе
|
Средний процент выполнения по региону
|
Целые числа, дроби, рациональные числа. Применение математических методов для решения содержательных задач из практики
|
1
|
91,75
|
1
|
88,6
|
Функция, область определения и множество значений функции, график функции, Графическое представление данных
|
2
|
94,80
|
2
|
90,0
|
Треугольник, его площадь
|
4
|
87,44
|
3
|
87,6
|
Вероятности событий
|
5
|
89,16
|
4
|
79,0
|
Иррациональные уравнения
|
6
|
84,69
|
5
|
93,6
|
Окружность, многоугольник
|
7
|
61,77
|
6
|
56,1
|
Понятие о производной функции, Применение производной к исследованию функций
|
8
|
44,05
|
7
|
44,8
|
Призма, пирамида, объём призмы, объём пирамиды
|
9
|
30,67
|
8
|
46,0
|
Логарифм числа, логарифм произведения, частного
|
10
|
58,63
|
9
|
58,5
|
Применение математических методов для решения
содержательных задач из различных областей практики.
|
11
|
60,51
|
10
|
58,6
|
Системы уравнений, простейшие системы уравнений с двумя неизвестными
|
13
|
54,56
|
11
|
38,8
|
Понятие о производной функции. Производные произведения, частного. Производные основных элементарных функций, Применение производной к исследованию функций
|
14
|
42,29
|
12
|
39,9
|
Тригонометрические уравнения
|
15
|
35,4 / 25,6
|
13
|
42,9 / 34,2
|
Призма, перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства, расстояние от точки до плоскости
|
16
|
9,0 / 3,5
|
14
|
11,2 / 2,7
|
Показательные неравенства, метод интервалов
|
17
|
12,6 / 6,0
|
15
|
17,5 / 12,8
|
Треугольник, параллельные прямые
|
18
|
1,4 / 0,02
|
16
|
3,3 / 1,4
|
Целые числа, дроби, проценты, рациональные числа. Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и
практики. Интерпретация результата, учёт реальных
ограничений
|
19
|
1,3 / 0,9
|
17
|
15,5 / 10,1
|
Иррациональные уравнения, Использование свойств и графиков функций при решении
уравнений
|
20
|
1,3 / 0,04
|
18
|
1,9 / 0,3
|
Целые числа
|
21
|
7,0 / 0
|
19
|
22,1 / 0,1
|
Сравним показатели освоения основных умений на базовом уровне, показанных участниками ЕГЭ по математике базового и профильного уровней
Таблица 11
Умения
|
Средний процент выполнения заданий
ЕГЭ базового уровня
(по 20 заданиям)
|
Средний процент выполнения заданий ЕГЭ профильного уровня
(по 8 заданиям базовой части)
|
Уметь выполнять вычисления и преобразования
|
79,5
|
58,5
(задание № 9)
|
Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни
|
86,5
|
89,3
|
Уметь решать уравнения и неравенства
|
62,9
|
93,6
|
Уметь строить и исследовать простейшие математические модели
|
67,2
|
79,0
|
Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами
|
70,5
|
63,2
|
Уметь выполнять действия с функциями
|
93,6
|
44,8
|
Согласно общепринятым нормам содержательный элемент или умение считается усвоенным, если средний процент выполнения соответствующей им группы заданий – 50% и выше, поэтому можно говорить, что на базовом уровне освоены все основные умения. На профильном уровне можно говорить о недостаточном освоении следующих умений:
– моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры;
– уметь решать тригонометрические и иррациональные уравнения, показательные неравенства;
– решать планиметрические и стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объёмов);
– использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;
– проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать логически некорректные рассуждения;
– анализировать реальные числовые данные, пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах;
–- решать прикладные задачи, в том числе социально-экономического характера.
Анализ выполнения заданий с развернутым ответом (на примере варианта 410)
Задания № 13 повышенного уровня сложности, включенные в КИМ 2016 года, были направлены на проверку умения решать уравнения. Способ решения таких уравнений стандартный и не требует особых обоснований. Как и в предыдущие годы, в ходе решения этого задания участник экзамена должен был выполнить отбор соответствующих решений согласно условию задачи.
Средние результаты выполнения заданий 15 (2015) и 13 (2016)
|
2015 год
|
2016 год
|
0 баллов (в %)
|
64,57
|
57,1
|
1 балл (в %)
|
9,58
|
8,7
|
2 балла (в %)
|
25,85
|
34,2
|
Хотя положительный результат получили более 43% участников, проверка заданий экспертами показала, что многие выпускники не знают формул решения простейших тригонометрических уравнений. Наиболее понятным и менее трудоемким для учащихся является отбор корней с помощью единичной окружности.
В варианте 410 участникам предлагалось решить уравнение  и указать корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  .
Выделим основные ошибки:
Не учитывается область значений функции  , в результате появляются такие записи:  ,  .
Незнание таблицы значений тригонометрических функций. В результате для уравнения  получается ответ 
Иногда участники пытались указать область допустимых значений и получались записи вида:  , 
Ошибки по «аналогии». Решая уравнение  , участники переходили к уравнению  , откуда получали  .
Ошибки при решении квадратного уравнения как при использовании формулы, так и теоремы Виета.
Вычислительные ошибки типа: 
Ошибки в преобразовании логарифмов:  В результате этой ошибки после преобразований получали уравнение и, как следствие, правильный ответ.
Выполнив замену  , накладывают на t ограничение  и на основе этого ограничения производят отбор корней квадратного уравнения.
И еще одно непонятное решение. После замены переменных участник получает квадратное уравнение  , далее по тексту:
По теореме Виета:
t=-0,5
t=2.
Так как , то
Посторонний корень, так как не удовлетворяет основному тригонометрическому тождеству 
|
|
В результате нескольких ошибок и непонятных записей получили верный ответ.
Задания № 14 повышенного уровня сложности, включенные в КИМ 2016 года, были направлены на проверку умения выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами, и содержали стереометрическую задачу.
В 2015 г. впервые задача была разделена на пункты а) и б), пункт а) – доказательство некоторого утверждения, пункт б) – нахождение некоторой величины.
Средние результаты выполнения заданий 16 (2015) и 14 (2016)
|
2015 год
|
2016 год
|
0 баллов (в %)
|
91,04
|
88,7
|
1 балл (в %)
|
5,45
|
8,6
|
2 балла (в %)
|
3,51
|
2,7
|
В 2016 году в варианте 410 предлагалась следующая задача:
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро АА1 равно 3. На ребре АВ отмечена точка К так, что АК=1. Точки М и L – середины рёбер A1C1 и B1C1 соответственно. Плоскость γ параллельна прямой АС и содержит точки К и L.
а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки С до плоскости γ.
|
|
Выделим основные ошибки, которые допускались участниками при выполнении этого задания:
Часть участников при доказательстве пункта а) использовали векторно-координатный метод и при его использовании допускались ошибки в вычислении координат точек.
Многие участники при выполнении пункта а) показали незнание и неумение применять признак перпендикулярности прямой и плоскости:
– участники доказывали, что прямая ВМ перпендикулярна прямой КК1 и на основе этого делали заключение о перпендикулярности ВМ и плоскости γ;
– участники доказывали, что прямая ВМ перпендикулярна прямым КК1 и LL1, и на основе этого делали вывод о перпендикулярности ВМ и плоскости γ;
– с помощью векторов доказывали, что скалярное произведение векторов BM и FE равно нулю, и на основании этого делали вывод о перпендикулярности ВМ и плоскости γ.
Допускали ошибки в обосновании положения сечения – считали, что оно параллельно плоскости АА1С1. В результате считали, что NE – искомое расстояние.
Считали, что NE – искомое расстояние.
Следует отметить, что это задание оказалось значительно сложнее, чем аналогичное в вариантах 507-512. Участники затруднялись в нахождении второй прямой, лежащей в плоскости сечения, и перпендикулярной прямой BM.
Задания № 15 повышенного уровня сложности, включенные в КИМ 2016 года, были направлены на проверку умения решать неравенства и содержали задание на решение неравенства, сводимого к дробно-рациональному неравенству.
Средние результаты выполнения заданий 17 (2015) и 15(2016)
|
2015 год
|
2016 год
|
0 баллов (в %)
|
87,39
|
82,5
|
1 балл (в %)
|
6,58
|
4,7
|
2 балла (в %)
|
6,03
|
12,8
|
Можно констатировать более высокие результаты выполнения этого задания в 2016 году.
В 2016 году в задании № 15 предлагалось решить неравенство  .
На примере этого неравенства продемонстрируем основные ошибки, допущенные выпускниками:
Вычислительные ошибки в преобразованиях при упрощении левой части (умножение многочленов, приведение подобных слагаемых).
Умножение обеих частей неравенства на выражение с переменной и отбрасывание знаменателя.
Участники ЕГЭ верно выполняют преобразования, но при решении дробно-рационального неравенство  методом интервалов допускают ошибки в определении знаков или переходят при решении этого неравенства только к одной системе или переходят к рассмотрению двух систем, но не учитывают, что знаменатель в нуль не обращается.
Включают в ответ значения t=1 и t=7.
Ошибки по невнимательности: в ответ записываются значения t, при которых неравенство не положительно или в ответе одно из чисел соответствует t, а остальные для x. Например,  . В данном случае  .
Задания № 16 повышенного уровня сложности, включенные в КИМ 2016 года, были направлены на умение выполнять действия с геометрическими фигурами и содержали, как и в предыдущие годы, планиметрическую задачу. Заключение задачи состояло из двух пунктов. В пункте а нужно было доказать геометрический факт, в пункте б – найти (вычислить) геометрическую величину.
Средние результаты выполнения заданий 18 (2015) и 16(2016)
|
2015 год
|
2016 год
|
0 баллов (в %)
|
98,56
|
96,7
|
1 балл (в %)
|
1,38
|
1,4
|
2 балла (в %)
|
0,04
|
0,5
|
3 балла (в %)
|
0,02
|
1,4
|
Решение планиметрических задач повышенного уровня сложности всегда вызывало затруднения у участников экзамена, но в 2016 году результаты оказались лучше, чем в 2015 году. Если в 2015 году только один участник полностью верно решил задачу, то в 2016 году таких участников оказалось 58. В этом году участникам предлагалась не слишком сложная задача, но многие просто не пытались решить её.
В 2016 году в задании № 16 предлагалось решить задачу:
В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ. На них из точек М и К опущены перпендикуляры МЕ и КН соответственно.
а) Докажите, что прямые ЕН и АС параллельны.
б) Найдите отношение ЕН к АС, если АВС=300.
|
|
Участники экзамена часто использовали способы решения, отличные от приведенного в критериях.
Для доказательства пункта а) многие участники доказывали подобие треугольников ОЕН и ОАС, используя пропорциональность двух сторон и равенство углов между ними.
Основные ошибки участников:
Некоторые участники неправильно поняли условие задачи и опускали
перпендикуляры МЕ и КН на сторону АС или на стороны ВС и АВ соответственно, то есть решали другие задачи.
Считали, что треугольник АВС равнобедренный.
Считали, что ЕН – средняя линия треугольника ОАС.
Задание № 17 было направлено на проверку умения использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни. Задание оценивалось от 0 до 3 баллов.
Средние результаты выполнения задания №19 (2015) и 17 (2016)
|
2015
|
2016
|
0 баллов (в %)
|
98,67
|
84,5
|
1 балл (в %)
|
0,18
|
2,8
|
2 балла (в %)
|
0,30
|
2,6
|
3 балла (в %)
|
0,85
|
10,1
|
По сравнению с 2015 годом большее количество участников как приступило к заданию, так и выполнила его полностью.
Участники предлагали способы решения, отличные от представленных в критериях. В 2016 году предлагалась задача: 15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев. Условия его возврата таковы:
1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r – целое число;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
Дата
|
15.01
|
15.02
|
15.03
|
15.04
|
15.05
|
15.06
|
15.07
|
Долг
(в млн рублей)
|
1
|
0,6
|
0,4
|
0,3
|
0,2
|
0,1
|
0
|
Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.
Основные ошибки участников:
Некоторые участники считали, что выплаты представляют собой арифметическую прогрессию
При правильном построении модели и верном ее исследовании допускали ошибку в записи ответа, например, получив, что  , в ответ записывали число 8.
При оценивании этого задания возникала сложность, можно ли считать решение обоснованным. Например, участник экзамена представил такое решение:
«Все проценты ему обойдутся в 0,2 млн.:
 
 Ответ: 7%.»
Ошибки в построении модели, один участник посчитал, что выплат было 7, другие считали, что выплаты каждый месяц были одинаковыми.
Допускались вычислительные ошибки.
Некоторые участники решали задачу подбором, причем некоторые сразу предполагали, что  и проводили вычисления. Получали верное неравенство и делали положительное заключение на основе только одного случая. Другие участники осуществляли перебор, предполагая последовательно, что  и проводили вычисления в каждом случае.
Задание № 18 высокого уровня сложности, включенное в КИМ 2016 года, было направлено на проверку умения решать уравнения и неравенства, и было представлено задачей на нахождение параметра в ситуации решения иррационального уравнения.
Средние результаты выполнения заданий 20 (2015) и 18(2016)
|
2015 год
|
2016 год
|
0 баллов (в %)
|
98,74
|
98,0
|
1 балл (в %)
|
1,01
|
1,4
|
2 балла (в %)
|
0,14
|
0,2
|
3 балла (в %)
|
0,09
|
0,1
|
4 балла (в %)
|
0,02
|
0,3
|
Результаты выполнения этого задания в 2016 году оказались аналогичными результатам 2015 года. Большинство участников просто не приступили к выполнению этого задания. В 2015 году только один участник решил полностью эту задачу, а в 2016 году таких участников оказалось 11.
В 2016 году в 410 варианте предлагалось задание:
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
Имеет ровно три различных корня.
Основная ошибка, которую допускали участники, приступившие к выполнению задания, состояла в возведении в квадрат обеих частей уравнения без учета условия, накладываемого на правую часть уравнения ( ).
Также допускали ошибку при возведении правой части в квадрат:  .
Некоторые считали, что уравнение имеет три корня при тех значениях a, при которых .
Задание № 19 высокого уровня сложности, включенное в КИМ 2016 года, было направлено на проверку умения строить и исследовать простейшие математические модели.
Содержательно задание № 19 проверяет, в первую очередь, не уровень математической (школьной) образованности, а уровень математической культуры.
Средние результаты выполнения заданий 21(2015) и 19(2016)
|
2015 год
|
2016 год
|
0 баллов (в %)
|
93,01
|
78,0
|
1 балл (в %)
|
4,06
|
16,4
|
2 балла (в %)
|
2,84
|
5,2
|
3 балла (в %)
|
0,09
|
0,3
|
4 балла (в %)
|
0
|
0,1
|
В 2016 году многие участники приступали к выполнению этого задания и 22% участников получили зачетные баллы, в основном, за выполнение пункта а) в обеих группах вариантов и пункта б) в вариантах 507-512, в которых для получения 1 балла достаточно было привести пример. Полностью решили задание 4 участника.
В 2016 году в варианте 410 предлагалось задание:
На доске записаны числа 2 и 3. За один ход два числа a и b, записанные на доске, заменяются на два числа: или a+b и 2a – 1, или a+b и 2b – 1 (например, из чисел 2 и 3 можно получить либо 3 и 5, либо 5 и 5).
а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 19.
б) Может ли после 100 ходов одно из двух чисел, записанных на доске, окажется числом 200?
в) Сделали 1007 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?
Участники, приступившие к выполнению задания, в основном правильно приводили пример последовательности, но испытывали затруднения в обосновании пункта б) (чаще всего использовали неполный перебор).
Основные УМК по предмету, которые использовались в ОО в 2015-2016 уч.г.
Таблица 12
Название УМК
|
Примерный процент ОО, в которых использовался данный УМК
|
УМК «МГУ - школе» Атанасян Л. С., (базовый и профильный уровни) для 10-11 кл. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. - М.: Просвещение , 2012-2015
|
42%
|
УМК «Алгебра и начала математического анализа» для 10-11 кл., (базовый уровень). Авт. коллектив под рук. Мордковича А. Г.- М.: Мнемозина, 2012-2015
|
23%
|
Колмогоров А. Н., Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень) для 10-11 кл.- М.: Просвещение , 2012-2015
|
10%
| |
