Опыты с равновозможными исходами
Итак, мы научились оценивать вероятность случайного события по частоте, с которой оно происходит. Можно назвать такой способ экспериментальным или «апостериорным» (от лат. a posteriori — на основании опыта). Но, во-первых, какой бы длинной ни была проведенная серия экспериментов, она даст только приближенное значение вероятности. Во-вторых, далеко не всегда такую серию можно осуществить: скажем, на экспериментальное вычисление вероятности выигрыша в лотерею вам может просто не хватить денег! К счастью, во многих ситуациях существуют более экономичные «априорные» способы расчета вероятностей (от лат. a priori — заранее, независимо от опыта). О них и пойдет речь в этой главе.
3.1. Равновозможность исходов
Равновозможные исходы. Равновозможность и симметрия
Наугад и не глядя. Справедливый жребий
Пример 1. Симметричная монета
Пример 2. Правильный кубик
Пример 3. Рулетка
Пример 4. Лототрон
Не все так просто
Пример 5. Кнопка
Пример 6. Ошибка Даламбера
Природа различает все предметы
Пример 7. Два шара без возвращения
Пример 8. Два шара с возвращением
Пример 9. Два шара одновременно
|
Изучая на предыдущем уроке свойства вероятности, мы установили, что вероятность случайного события складывается из вероятностей составляющих его элементарных исходов.
Так, например, в опыте с кубиком случайное событие A = {на кубике выпадет простое число} состоит из исходов 2, 3 и 5, поэтому
P(A) = P(2) + P(3) + P(5).
Но как найти вероятности самих этих исходов? В общем случае этого сделать, к сожалению, нельзя, но для определенного класса случайных опытов – можно. Это опыты с равновозможными исходами, о которых и пойдет речь на этом уроке.
|
|
| НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ |
|
|
|
|
Равновозможные исходы
|
Перед вами снова модель опыта с кубиком.
! Запустите серию испытаний и следите за тем, как изменяется частота каждого из шести возможных исходов опыта.
После 1000 опытов частоты почти выравниваются. А если вы наберетесь терпения и проведете 10000 опытов, то убедитесь, что на диаграмме они станут почти одинаковыми (отличия будут около 0,01). Это наводит на мысль, что вероятности всех шести исходов равны (вспомните определение вероятности!).
Но наверняка эта мысль возникла у вас еще раньше - до проведения опытов. И причина этому – симметрия кубика. Каждая из шести граней ничем не лучше (и не хуже) любой из пяти оставшихся. Это дает нам все основания утверждать, что шесть исходов этого опыта имеют одинаковую вероятность, или, как говорят, равновозможны.
Итак, если все исходы эксперимента имеют одинаковую вероятность, то они называются равновозможными. Предположение о равновозможности исходов опыта можно сделать и без его проведения, a priori.
|
|
Равновозможность и симметрия
|
Чаще всего равновозможность исходов следует из симметрии тех объектов, которые в нем участвуют. Примерами таких объектов могут быть правильная монета, игральный кубик, рулетка, разбитая на одинаковые сектора, и т.д.
|
|
Наугад и не глядя
|
Во многих опытах указание на равновозможность исходов выражается соответствующими словами при описании условий проведения опыта: случайным образом, наугад, не глядя и т.д.
Примерами таких опытов могут быть случайный выбор шара из лототрона, извлечение карты из перетасованной колоды и т.д.
|
|
Справедливый жребий
|
С равновозможностью исходов тесно связано понятие справедливого жребия. Жребием называют решение какого-либо вопроса, спора с помощью случайного эксперимента. Бросить жребий - значит провести такой эксперимент. Если все участники спора при этом имеют равные шансы на выигрыщ, то такой жребий называют справедливым.
|
|
|
|
|
Пример 1.
Симметричная монета
|
Одним из простейших генераторов равновозможности служит симметричная монета: она имеет две стороны (орел и решка), на каждую из которых может упасть с равными шансами.
! Проведите серию испытаний с монетой и убедитесь в равновозможности орла и решки.
В действительности идеально симметричных монет не существует: ведь, в конце концов, на двух ее сторонах выдавлен разный рисунок. Но эти различия настолько незначительны, что обычная монета вполне может заменить собой идеально симметричную.
|
|
|
|
|
Пример 2.
Правильный кубик
|
Еще один популярный генератор равновозможности - правильный кубик: он имеет шесть граней, на каждую из которых может упасть с равными шансами.
! Проведите серию испытаний с кубиком и убедитесь в равновозможности всех шести возможных исходов.
Хорошим приближением к идеально симметричному кубику может служить обычный игральный кубик, который часто используется в детских настольных играх.
|
|
|
|
|
Пример 3.
Рулетка
|
Рулеткой (от французского roulette - колесико) называют круг, поделенный на N одинаковых по размеру секторов, каждый из которых может быть выбран с одинаковой вероятностью. Как уже говорилось в параграфе 2.1, для такого выбора используют разные способы:
раскручивают стрелку, закрепленную в центре круга;
вращают сам круг, а стрелку делают неподвижной;
вместо стрелки используют шарик, который бросают на раскрученный круг и ждут, когда он остановится в какой-то из лунок, сделанных в каждом секторе.
! Проведите серию испытаний с каждой из рулеток и убедитесь в равновозможности исходов.
|
|
|
|
|
Пример 4.
Лототрон
|
Лототроном называют барабан, в который закладывают N одинаковых пронумерованных шаров. При проведении опыта их тщательно перемешивают и случайным образом выбирают (вручную или с помощью специального механизма) один шар.
При проведении такого опыта вместо специального барабана можно использовать обычный мешок, шапку, коробку, а вместо шаров - пронумерованные бумажки или другие неразличимые на ощупь предметы.
? Будут ли в этом опыте равновозможными события A = {выпадет шар с четным номером} и B = {выпадет шар с нечетным номером}?
|
|
|
|
|
Не все так просто
|
Проблема равновозможности исходов опыта далеко не всегда так очевидна, как в приведенных до этого примерах:
во-первых, предметы, участвующие в опыте, могут быть несимметричными;
во-вторых, в опыте может участвовать не один, а несколько предметов (например, вытаскиваем из коробки не один, а два шара);
в-третьих, опыт может состоять из нескольких действий, шагов, этапов (например, вытаскиваем из коробки сначала один шар, а следом за ним другой).
В каких-то из этих случаев равновозможности нет вовсе, а в других это будет зависеть от того, как именно мы выберем систему исходов при построении математической модели опыта.
|
|
|
|
|
Пример 5.
Кнопка
|
Простейшим примером опыта, в котором нет симметрии и равновозможности исходов, может служить подбрасывание кнопки. Как и в опыте с монетой, мы имеем здесь всего два возможных исхода - кнопка может упасть на шляпку или на острие. Однако теперь у нас нет никаких оснований считать эти исходы равновозможными.
Определить вероятность каждого исхода в опыте с кнопкой можно только экспериментально. Для этого нужно провести длинную серию опытов и оценить вероятность каждого исхода по его частоте.
! Проведите серию испытаний с кнопкой и убедитесь, что исходы этого опыта неравновозможны. Оцените по частоте каждого исхода его вероятность. Проверьте себя, нажав кнопку  .
|
|
|
|
|
Пример 6.
Ошибка Даламбера
|
Как уже говорилось выше, равновозможность часто зависит от того, какие исходы мы выберем для описания опыта. Великий французский философ и математик Жан Лерон Даламбер вошел в историю теории вероятностей со своей знаменитой ошибкой, суть которой в том, что он неверно определил равновозможность исходов в опыте всего с двумя монетами!
В одной из статей, написанных для знаменитой Французской энциклопедии, Даламбер приводит такое рассуждение: «Бросают две одинаковые монеты. Какова вероятность того, что выпадут два орла? У этого опыта три равновозможных исхода: выпадут два орла, выпадет орел и решка, выпадут две решки. Значит, искомая вероятность будет 1/3».
! Проведите серию испытаний с двумя монетами и убедитесь в неравновозможности предложенных Даламбером исходов.
? Объясните, в чем причина ошибки великого математика?
|
|
|
|
|
Природа различает все предметы
|
Рассматривая опыт с двумя монетами, Даламбер совершил одну из самых распространенных ошибок при вычислении вероятности: он объединил два элементарных исхода - ОР и РО - в один исход. Полученные исходы перестали быть равновозможными, что и привело к ошибке при вычислении их вероятности.
Чтобы не повторить эту ошибку, помните, что природа различает все предметы, даже если внешне они для нас неотличимы.
|
|
|
|
|
Пример 7.
Два шара без возвращения
|
В коробке находится 2 белых и 2 черных шара. Из нее, не глядя, извлекают сначала один шар, а затем другой (при этом первый шар в коробку не возвращается). Каковы равновозможные исходы этого опыта?
Решение 1. Этот опыт имеет 4 равновозможных исхода: ББ, БЧ, ЧБ, ЧЧ.
Решение 2. Пронумеруем все шары так, как показано в ВЛ. Опыт имеет 12 равновозможных исходов: 12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43.
! С помощью эксперимента выясните, будут ли верными оба решения.
? Если в решениях есть ошибки, объясните их причину.
|
|
|
|
|
Пример 8.
Два шара с возвращением
|
В коробке находится 2 белых и 2 черных шара. Сначала из нее, не глядя, извлекают один шар, запоминают его и кладут обратно. После этого шары перемешивают и извлекают второй шар. Каковы равновозможные исходы этого опыта?
Решение 1. Этот опыт имеет 4 равновозможных исхода: ББ, БЧ, ЧБ, ЧЧ.
Решение 2. Пронумеруем все шары так, как показано в ВЛ. Опыт имеет 16 равновозможных исходов: 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.
! С помощью эксперимента выясните, будут ли верными оба решения.
? Если в решениях есть ошибки, объясните их причину.
|
|
|
|
|
Пример 9.
Два шара одновременно
|
В коробке находится 2 белых и 2 черных шара. Из нее, не глядя, извлекают одновременно два шара. Каковы равновозможные исходы этого опыта?
Решение 1. Этот опыт имеет 3 равновозможных исхода: ББ, БЧ, ЧЧ.
Решение 2. Пронумеруем все шары так, как показано в ВЛ. Опыт имеет 6 равновозможных исходов: 12, 13, 14, 23, 24, 34.
! С помощью эксперимента выясните, будут ли верными оба решения.
? Если в решениях есть ошибки, объясните их причину.
|
|
|
|
| ТЕСТЫ |
|
|
Вопрос №1
|
В опытах с ? исходами вероятности событий можно вычислять без проведения эксперимента.
|
|
|
Вопрос №2
|
Решение какого-либо вопроса, спора с помощью случайного эксперимента, – это ? .
|
|
|
Вопрос №3
|
Два объекта, участвующие в случайном эксперименте, ? совершенно одинаковыми.
|
|
|
|
Вопрос №4
|
Отметьте те случайные опыты, в которых вы можете предложить систему равновозможных исходов:
подбрасывание монеты;
подбрасывание кнопки;
подбрасывание кубика;
подбрасывание двух монет;
подбрасывание двух кнопок;
подбрасывание двух кубиков;
подбрасывание монеты и кубика;
подбрасывание монеты и кнопки.
|
|
|
|
|
| ПРАКТИКУМ |
|
|
|
|
Задание №1
|
Перед вами опыт, в котором подбрасывают три одинаковые симметричные монеты. Если не различать монеты, то опыт имеет 4 исхода:
ООО, ООР, ОРР, РРР.
Будут ли эти исходы равновозможными?
Будут ли эти исходы элементарными?
Сколько у этого опыта равновозможных элементарных исходов?
Все ответы подтвердите экспериментами.
|
|
|
|
|
Задание №2
|
Из коробки, в которой находятся 3 белых и 3 черных шара, вытаскивают друг за другом 2 шара без возвращения. Если не различать шары, а только их цвета, то опыт имеет 4 исхода: ББ, БЧ, ЧБ, ЧЧ.
Будут ли эти исходы равновозможными?
Будут ли эти исходы элементарными?
Сколько у этого опыта равновозможных элементарных исходов?
Все ответы подтвердите экспериментами.
|
|
|
|
|
Задание №3
|
Из коробки, в которой находятся 3 белых и 3 черных шара, вытаскивают друг за другом 2 шара с возвращением. Если не различать шары, а только их цвета, то опыт имеет 4 исхода: ББ, БЧ, ЧБ, ЧЧ.
Будут ли эти исходы равновозможными?
Будут ли эти исходы элементарными?
Сколько у этого опыта равновозможных элементарных исходов?
Все ответы подтвердите экспериментами.
|
|
|
|
|
Задание №4
|
Перед вами опыт, в котором подбрасывают два одинаковых симметричных кубика. Если не различать кубики, то опыт имеет 21 исход (все они перечислены в лаборатории).
Будут ли эти исходы равновозможными?
Будут ли эти исходы элементарными?
Сколько у этого опыта равновозможных элементарных исходов?
Все ответы подтвердите экспериментами.
|
|
|
|
|
Задание №5
|
Подбрасывают две кнопки. В этом опыте уже нельзя выбрать систему равновозможных исходов. И все же некоторые (но не все!) исходы этого опыта будут иметь одинаковую вероятность. Отметьте эти исходы:
Подтвердите свой выбор экспериментами.
|
|
|
|
|
Задание №6
|
Коля хочет определить, с какой вероятностью при бросании двух кубиков можно получить сумму в 12 очков. Он рассуждает так: «Сумма очков на двух кубиках может равняться любому числу от 2 до 12; поскольку кубики симметричные, то все 11 значений суммы равновозможны; следовательно, искомая вероятность будет 1/11».
Прав ли Коля? Подтвердите свой ответ экспериментальными данными.
|
|
|
|
|
Задание №7
|
Коля понял свою ошибку и теперь решает новую задачу. В том же самом опыте с двумя кубиками он хочет выяснить, с какой вероятностью максимальное из чисел, выпавших на кубиках, будет равно шести. Он проводит такое рассуждение: «Максимальное из двух чисел, выпавших на кубиках, может равняться любому числу от 1 до 6. Поскольку кубики симметричные, то все 6 этих значений равновозможны. Следовательно, искомая вероятность будет 1/6».
Прав ли Коля? Какими экспериментальными данными вы можете аргументировать свой ответ?
|
|
|
|
|
Задание №8
|
В жребии, который иногда называют «морским», люди, участвующие в жеребьевке, встают в круг и по команде «раз-два-три» одновременно показывают на руке какое-то количество пальцев от 1 до 5. Все показанные числа складываются. После этого, начиная с первого игрока (кто будет первым, договариваются заранее), до найденной суммы ведется отсчет. На ком он закончится, на того и выпал жребий. Будет ли такой жребий справедливым хотя бы в простейшем случае – для двух человек?
Совет. Не торопитесь с ответом! Сначала проведите серию экспериментов. Попробуйте найти для своего ответа теоретическое обоснование. Для этого подсчитайте, сколько равновозможных элементарных исходов имеет этот эксперимент.
|
|
|
|
|
Задание №9
|
Ольга, Маша и Ирина каждый день тянут жребий - кому из них сегодня мыть посуду. Для этого они кладут в шляпку три бумажки, одна из которых помечена крестиком, а потом по очереди их вытаскивают: Ольга - первой, Маша - второй, а Ирина - третьей.
Как вы думаете, справедливый ли это жребий? Для ответа на вопрос постройте модель этой жеребьевки и проведите эксперименты.
|
|
|
|
|
Задание №10
|
Ирина из предыдущей задачи предлагает изменить жребий следующим образом: каждая из трех сестер по очереди бросает монету, и у кого первой выпадет «орел», тому и мыть посуду. Очередность бросаний она предлагает оставить ту же: Ольга, Маша, Ирина.
Будет ли справедливым такой жребий? Для ответа на вопрос постройте модель этой жеребьевки и проведите эксперименты.
|
|
|
|
|
Задание №11
|
Чтобы распределиться по командам для игры в хоккей, 8 ребят тянут жребий: кладут в шапку 4 бумажки с буквой «А» и 4 – с буквой «Б». После этого по очереди тянут бумажки из шапки и распределяются на команды «А» и «Б».
Два друга – Витя и Митя – хотят выяснить, что вероятнее: они будут играть в одной команде, или в разных? А как думаете вы? Зависит ли ответ от того, какими по счету тянут жребий Витя и Митя? Сравните свои ответы с ответами одноклассников с помощью .
|
|
|
|
|
Задание №12
|
Витя и Митя из предыдущей задачи предложили изменить жребий: они предлагают, чтобы каждый из ребят по очереди бросал монету. Если выпадает орел – игрок идет в первую команду, решка – во вторую. Как только в одной из команд набирается 4 человека, жеребьевка заканчивается, а все, кто еще не бросал жребий, идут в другую команду.
Изменится ли ответ на вопрос предыдущей задачи? Зависит ли он от того, какими по счету бросают монету Витя и Митя? Сравните свои ответы с ответами одноклассников с помощью .
|
|
|
|
|
| ИССЛЕДОВАНИЯ |
|
|
|
|
Сколько шаров в урне?
|
Из урны, в которой находятся черные и белые шары, извлекают одновременно два шара. Этот опыт повторяют много раз и выясняют, что приблизительно в половине случаев вынутые шары были одного цвета, а в другой половине – разного.
Возможно ли это? Если да, то сколько, скорее всего, черных и белых шаров в урне?
|
|
|
|
|
Жеребьевка в спорте
|
Проведите исследование, цель которого выяснить, в каких ситуациях, для чего и каким образом в спортивных состязаниях проводятся жеребьевки. Опросите для этого своих знакомых болельщиков, найдите информацию в сети Интернет, спортивной печати.
Выясните, каким образом обеспечиваются равные шансы участников жеребьевки в разных видах спорта.
|
|
|
|
|
|
