5.4. Вычисление разброса по таблице частот
Пример 1. Размах оценок по географии
Вычисление размаха по таблице частот
Пример 2. Дисперсия оценок по географии
Вычисление дисперсии по таблице частот
Вычисление дисперсии в MS Excel
Пример 3. Дисперсия количества детей
Вычисление размаха и дисперсии по интервальной таблице
Пример 4. Разброс при измерении веса портфелей
| НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ |
|
|
|
Как и для средних характеристик, выясним теперь, как вычислять размах, дисперсию и стандартное отклонение по таблице частот. Обратимся для этого к уже знакомому нам примеру с оценками по географии.
|
Пример 1.
Размах оценок по географии
|
Перейдем от исходного ряда оценок 5, 2, 4, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5 к таблице частот:
Оценка
|
Абсолютная частота
|
Относительная частота
|
2
|
1
|
0,1
|
4
|
3
|
0,3
|
5
|
6
|
0,6
|
|
10
|
1
|
Вычислить размах теперь не составляет труда: поскольку в первой графе таблицы все значения исходного ряда выписаны по возрастанию, то нужно вычесть из последнего значения первое:
|
Вычисление размаха по таблице частот
|
Итак, для вычисления размаха по таблице частот нужно взять последнее (максимальное) из значений ряда и вычесть из него первое (минимальное). Таким образом, при вычислении размаха частоты значений, полученных в выборке, не учитываются.
|
Пример 2.
Дисперсия оценок по географии
|
Вернемся снова к примеру с оценками. Мы уже находили для него дисперсию в предыдущем параграфе:
Если использовать вместо ряда таблицу частот, то каждое слагаемое нужно включить в эту сумму такое же количество раз, какова его абсолютная частота:
 .
В числителе этой дроби стоят квадраты отклонений для различных значений ряда, умноженные на их абсолютные частоты. Если поделить почленно числитель нашей дроби на знаменатель, то получится еще одна формула для дисперсии, в которой используются уже не абсолютные, а относительные частоты:
 .
|
Вычисление дисперсии по таблице частот
|
Запишем полученные формулы в общем виде. Пусть  - все различные значения, встречавшиеся в выборке;  - их абсолютные частоты;  - их относительные частоты:
Значения
|
Абсолютная частота
|
Относительная частота
|
|
|
|
|
|
|
…
|
…
|
…
|
|
|
|
Тогда дисперсия выборки может быть найдена по любой из двух формул:
или
|
|
|
Вычисление дисперсии в MS Excel
|
При подсчете дисперсии по таблице частот функция ДИСПР() в MS Excel уже неприменима! Ее использование неизбежно приведет к ошибке (вы найдете среднее арифметическое квадратов отклонений различных значений ряда без учета их частоты).
Для правильного подсчета следует добавить к таблице частот еще два столбца: столбец с квадратами отклонений от среднего и столбец, содержащий произведения этих квадратов на их относительную частоту. После этого найти сумму чисел в последнем столбце:
Значения
|
Абсолютная частота
|
Относительная частота
|
Квадраты отклонений
|
Произведения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
|
|
|
|
|
В следующем примере показано, как это сделать в реальной ситуации.
|
|
|
Пример 3.
Дисперсия количества детей
|
На представлены данные Всероссийской переписи по количеству детей у женщин, проживающих в городе и на селе. В таблице показано, как посчитать дисперсию этого распределения для каждой из двух выборок.
? В какой из выборок дисперсия больше? Как это можно объяснить?
|
|
|
Вычисление размаха и дисперсии по интервальной таблице
|
При вычислении размаха по интервальной таблице частот следует взять разность правой границы самого последнего интервала и левой границы самого первого.
При вычислении дисперсии вместо интервалов следует использовать их середины, т.е. полусуммы концов каждого интервала.
|
|
|
Пример 4.
Разброс при измерении веса портфелей
|
Вернемся к примеру с портфелями первоклассников. Мы уже считали характеристики разброса по полученной выборке. Сделаем то же самое по таблице частот, в которой все данные сгруппированы в четыре интервала:
Масса портфеля
|
Абсолютная
частота
|
Относительная
частота
|
от 1 до 2 кг
|
6
|
0,3
|
от 2 до 3 кг
|
10
|
0,5
|
от 3 до 4 кг
|
3
|
0,15
|
от 4 до 5 кг
|
1
|
0,05
|
Размах, очевидно, равен 5 - 1 = 4. Для подсчета дисперсии дополним таблицу нужными столбцами (см. ) и найдем: дисперсия – 0,6475, стандартное отклонение – 0,804674. Напомним, что точные значения размаха, дисперсии и стандартного отклонения составляют, соответственно, 3,15; 0,48561875; 0,696863509. Как видите, ошибка довольно большая и связана она, как и в случае со средними значениями, с заменой точных значений, полученных в выборке, на середины интервалов, в которые они попадают.
|
|
|
| | |
