3.2. Классическое определение вероятности
Классическое определение вероятности
Обоснование классического определения
Как пользоваться классическим определением
Пример 1. Вероятности событий в опыте с кубиком
Пример 2. Вероятности событий в опыте с шарами
Пример 3. Две монеты
Пример 4. Два шара без возвращения
Пример 5. Два шара с возвращением
Пример 6. Два шара одновременно
Если исходы неравновозможны
Пример 7. Вероятности событий в опыте с шарами
Пример 8. Снова две монеты
Пример 9. Два шара без возвращения
Если исходов бесконечно много
| НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ |
|
Напомним, что определение вероятности у нас уже было: это число, к которому приближается относительная частота события при неограниченном увеличении числа опытов.
Такое определение часто называют статистическим или частотным. В этом определении ничего не говорится о том, можно ли найти это число не приближенно, а точно, как это принято для остальных математических величин. Как вы, наверное, уже догадались, в тех ситуациях, о которых шла речь на предыдущем уроке, можно.
|
Классическое определение вероятности
|
Для опытов с конечным числом равновозможных исходов можно сформулировать простое правило подсчета вероятности, получившее название классического определения вероятности. Впервые это определение, дошедшее до нас практически без изменений, появилось в работах Джироламо Кардано и Пьера Лапласа.
Рассмотрим случайный эксперимент, который может завершиться одним из n равновозможных исходов. Пусть ровно m из этих исходов благоприятствуют (т.е. приводят к наступлению) случайного события A. Тогда вероятность этого события может быть вычислена по формуле:
 .
|
Обоснование классического определения
|
Эта формула немедленно следует из равновозможности всех исходов и из свойств вероятности (см. раздел 2.6).
В самом деле, если сумма вероятностей всех возможных исходов опыта равна 1 и все они равновозможны, то вероятность одного исхода (любого) будет  . Поскольку событие A состоит из m исходов, а его вероятность равна сумме их вероятностей, то получаем:
 .
|
Как пользоваться классическим определением
|
Если вы собираетесь использовать для вычисления вероятности классическое определение, выполните следующую последовательность действий:
1. Опишите все возможные исходы опыта, придумайте для них обозначения (закодируйте), попробуйте их перечислить (если не получится все – хотя бы некоторые) и убедитесь, что их конечное число.
2. Обоснуйте равновозможность перечисленных исходов (здесь можно опираться на симметрию объекта, участвующего в опыте; использовать прямые указания в тексте задачи: «случайно», «наугад», «не глядя» и т.д.).
3. Подсчитайте общее число исходов опыта n.
4. Опишите благоприятные для события A исходы, попытайтесь их перечислить. Если все исходы уже выписаны, то можно просто отметить среди них благоприятные для A.
5. Подсчитайте число благоприятных для события A исходов m.
6. Вычислите вероятность по формуле  .
7. Проверьте, согласуется ли полученная вероятность со «здравым смыслом». Если есть такая возможность, проведите серию экспериментов и проверьте, будет ли относительная частота приближаться к полученной вероятности.
Отметим, что пункты 1-3 связаны только с самим опытом и никак не зависят от события, о котором идет речь в задаче. Предложенную последовательность действий можно было бы назвать алгоритмом, если бы не многочисленные трудности, возникающие при выполнении почти каждого из перечисленных пунктов…
|
|
Покажем, как пользоваться только что выписанной схемой для вычисления вероятности на конкретных примерах.
|
Пример 1.
Вероятности событий в опыте с кубиком
|
Проводится опыт с кубиком. Необходимо найти вероятности следующих событий:
A= {на кубике выпадет четное число};
B= {на кубике выпадет число больше 2-х};
C= {на кубике выпадет простое число}.
Решение:
1. Все возможные исходы опыта: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
2. Они равновозможны, так как кубик правильный.
3.  .
4. A = {2, 4, 6}; B = {3, 4, 5, 6}; C = {2, 3, 5}.
5.  ;  ;  .
6.  ;  ;  .
7. Проведите серию экспериментов и проверьте, будут ли относительные частоты событий A, B, C приближаться к их вероятностям.
Надеемся, в этом примере ни один из пунктов не вызвал каких-то затруднений.
|
|
|
Пример 2.
Вероятности событий в опыте с шарами
|
Из урны, в которой лежат 3 красных, 2 желтых, 1 зеленый и 2 синих шара, не глядя, вынимают один шар. Требуется найти вероятности следующих событий:
A= {шар будет синим};
B= {шар будет красным или синим}.
Решение 1:
1. Все возможные исходы опыта: К, Ж, З, С (возможные цвета шара).
2. Они равновозможны, так как шар вынимается не глядя…
СТОП!!! Мы специально привели здесь заведомо неправильное рассуждение. Шар-то вынимается не глядя, да вот только шаров каждого цвета разное число, поэтому вытащить красный шар гораздо вероятнее, чем зеленый.
Переходить к пункту 3 бессмысленно: ведь если выбранные исходы неравновозможны, то пользоваться формулой классической вероятности все равно нельзя. Попробуем выбрать исходы опыта по-другому.
Решение 2:
1. Пронумеруем все шары так, как показано в лаборатории. Тогда все возможные исходы опыта – это номера шаров: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
2. Они равновозможны, так как шар вытаскивают не глядя.
3.  .
4. A = {7, 8}; B = {1, 2, 3, 7, 8}.
5.  ;  .
6.  ;  .
7. Проведите серию экспериментов и проверьте, будут ли относительные частоты событий A и B приближаться к их вероятностям.
Как видите, уже в этой задаче мы могли ошибиться. Будьте очень внимательны при обосновании равновозможности исходов. Лучше всего выбирать их так, чтобы они были элементарными, т.е. не распадались на более мелкие.
? На какие элементарные исходы распался каждый из первоначальных исходов К, Ж, З, С?
Самое плохое, что идя по заведомо неверному пути мы могли бы получить правильный ответ.
? Для какого из событий наше неправильное решение привело бы к правильному ответу?
|
|
|
Пример 3.
Две монеты
|
Уже последний пример показал, что даже в простых опытах легко ошибиться при подсчете вероятностей. Вернемся еще раз к ошибке, которую сделал Даламбер (мы уже говорили о ней на прошлом уроке).
Итак, подбрасываются две монеты. Требуется найти вероятность события A = {выпадут два орла}.
Решение 1:
1. Все возможные исходы опыта: два орла, орел и решка, две решки.
2. Они равновозможны, так как монеты симметричные и абсолютно одинаковые …
Именно эта «одинаковость» монет и подвела Даламбера. Выбранные им исходы неравновозможны, поэтому и ответ, который он получил по классической формуле , неверный. Исход «орел и решка» распадается на два элементарных: орел-решка и решка-орел, поэтому имеет вдвое большую вероятность, чем «два орла» или «две решки».
! Проведите серию экспериментов и убедитесь в неравновозможности исходов, выбранных Даламбером.
Правильное решение этой задачи должно выглядеть так.
Решение 2:
1. Все возможные исходы опыта: ОО, ОР, РО, РР.
2. Они равновозможны, так как монеты симметричны.
3.  .
4. A = {ОО}.
5.  .
6.  .
7. Проведите серию экспериментов и проверьте, будет ли относительная частота события A приближаться к его вероятности.
|
|
|
Пример 4.
Два шара без возвращения
|
В коробке находится 2 белых и 2 черных шара. Из нее, не глядя, извлекают сначала один шар, а затем другой (при этом первый шар в коробку не возвращается). Какова вероятность события A = {шары будут одного цвета}?
Решение 1 (начало).
1. Все возможные исходы опыта: ББ, БЧ, ЧБ, ЧЧ.
2. Они равновозможны, так как шары извлекаются не глядя.
Решение 2 (начало).
1. Пронумеруем все шары так, как показано в лаборатории. Возможные исходы опыта: 12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43.
2. Они равновозможны, так шары извлекаются не глядя.
? Продолжите каждое из этих решений и доведите до ответа, выполнив все 7 пунктов.
? Если в решениях есть ошибки, объясните их причину.
|
|
|
Пример 5.
Два шара с возвращением
|
В коробке находится 2 белых и 2 черных шара. Сначала из нее, не глядя, извлекают один шар, запоминают его и кладут обратно. После этого шары перемешивают и извлекают второй шар. Какова вероятность события A = {шары будут одного цвета}?
Решение 1 (начало).
1. Все возможные исходы опыта: ББ, БЧ, ЧБ, ЧЧ.
2. Они равновозможны, так как шары извлекаются не глядя.
Решение 2 (начало).
1. Пронумеруем все шары так, как показано в лаборатории. Возможные исходы опыта: 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.
2. Они равновозможны, так шары извлекаются не глядя.
? Продолжите каждое из этих решений и доведите до ответа, выполнив все 7 пунктов.
? Если в решениях есть ошибки, объясните их причину.
|
|
|
Пример 6.
Два шара одновременно
|
В коробке находится 2 белых и 2 черных шара. Из нее, не глядя, извлекают одновременно два шара. Какова вероятность события A = {шары будут одного цвета}?
Решение 1 (начало).
1. Все возможные исходы опыта: ББ, БЧ, ЧЧ.
2. Они равновозможны, так как шары извлекаются не глядя.
Решение 2 (начало).
1. Пронумеруем все шары так, как показано в лаборатории. Возможные исходы опыта: 12, 13, 14, 23, 24, 34.
2. Они равновозможны, так как шары извлекаются не глядя.
? Продолжите каждое из этих решений и доведите до ответа, выполнив все 7 пунктов.
? Если в решениях есть ошибки, объясните их причину.
|
|
|
Если исходы неравновозможны
|
Если исходы опыта неравновозможны, то, как уже было не раз сказано, классическое определение применять нельзя. Тем не менее, если исходов конечное число, то сохраняется основное свойство вероятности: вероятность любого случайного события равна сумме вероятностей благоприятных для него исходов. Вот только вероятности исходов теперь уже не обязательно будут одинаковыми, поэтому не очень понятно, как их можно посчитать.
Вернемся по этому поводу к нескольким рассмотренным выше примерам.
|
|
|
Пример 7.
Вероятности событий в опыте с шарами
|
Напомним, что в этом опыте из урны, в которой лежат 3 красных, 2 желтых, 1 зеленый и 2 синих шара, не глядя, вынимают один шар. Возьмем в качестве исходов этого опыта неравновозможные исходы К, Ж, З, С. Тогда
P{шар будет красным или синим} = P{К} + P{С} =  .
Мы получили тот же самый ответ, казалось бы, не используя при этом классического определения. Так может, оно и не нужно?
? Как вы думаете, а откуда мы взяли, что P{К} =  , P{C} =  ?
|
|
|
Пример 8.
Снова две монеты
|
В опыте с двумя монетами можно идти по пути, предложенному Даламбером. Но чтобы эта модель соответствовала действительности, придется считать исходы неравновозможными:
P{два орла} =  ; P{орел и решка} =  ; P{две решки} = .
|
|
|
Пример 9.
Два шара без возвращения
|
В опыте с шарами из коробки с двумя белыми и двумя черными шарами извлекают друг за другом два шара (без возвращения). Можно взять в качестве возможных исходов опыта ББ, БЧ, ЧБ, ЧЧ, но тогда придется приписать им разные вероятности:
P{ББ} =  ; P{БЧ} =  ; P{ЧБ} = ; P{ЧЧ} = .
Вероятность события A = {шары будут одного цвета} может быть посчитана по формуле
P{A} = P{ББ} + P{ЧЧ} =  .
? Почему мы взяли именно такие вероятности исходов?
! Проверьте, что это действительно так, проведя серию экспериментов в лаборатории.
|
Если исходов бесконечно много
|
Для применения классического определения вероятности, кроме равновозможности исходов, требуется еще, чтобы их было конечное число. Ведь только в этом случае мы можем говорить о числах m, n и рассматривать в качестве вероятности дробь  .
Выше мы рассмотрели ситуации, где отсутствует равновозможность исходов. А что делать, когда равновозможность есть, а исходов бесконечно много? Такая ситуация возникает в некоторых геометрических задачах, связанных со случайным выбором точки на прямой, плоскости или в пространстве.
Возьмем хотя бы опыт с монетой, которую бросают на тетрадный лист. Ведь если взять в качестве исходов этого опыта все возможные положения центра монеты на листе, то их будет бесконечно много! Оказывается, в такой ситуации используют еще одно – геометрическое – определение вероятности. Но о нем мы будем говорить уже в следующем классе.
? Вспомните еще какой-нибудь опыт с бесконечным числом исходов. Можно ли считать их равновозможными?
|
| ТЕСТЫ |
|
|
Вопрос №1
|
Классическое определение вероятности случайного события можно применять, если выполняются условия (отметьте их):
опыт имеет конечное число исходов;
опыт имеет бесконечное число исходов;
все исходы опыта равновозможны;
благоприятные исходы для данного события равновозможны.
|
|
|
Вопрос №2
|
Укажите верный порядок действий при вычислении вероятности события по классическому определению:
Подсчитайте общее число исходов опыта  .
Подсчитайте число благоприятных для события A исходов  .
Опишите благоприятные для события A исходы, попытайтесь их перечислить.
Вычислите вероятность по формуле  .
Опишите все возможные исходы опыта, придумайте для них обозначения (закодируйте), попробуйте их перечислить.
Проверьте, согласуется ли полученная вероятность со здравым смыслом.
Обоснуйте равновозможность перечисленных исходов.
|
|
|
Вопрос №3
|
Укажите соответствие:
Статистическое определение
Классическое определение
|
Не нужно проводить опыт.
Нужно проводить опыт.
|
|
|
|
Вопрос №4
|
Из коробки, в которой a белых и b черных шаров, наугад вынимают один шар. Вероятность, что он будет белым, равна:
|
|
|
| ПРАКТИКУМ |
|
|
Задание №1
|
Из коробки, в которой осталось 5 конфет с фруктовой начинкой и 3 – с начинкой пралине, достают одну конфету. Какова вероятность, что она будет с начинкой пралине?
Проверьте свой ответ с помощью модели.
|
|
|
Задание №2
|
Из русского алфавита случайным образом выбирают одну букву. Какова вероятность того, что она окажется гласной?
Из слова СОБЫТИЕ случайным образом выбирают одну букву. Какова вероятность того, что она окажется гласной?
Из стихотворения М.Ю.Лермонтова «Парус» случайным образом выбирают одну букву. Какова вероятность того, что она окажется гласной?
|
|
|
Задание №3
|
В классе учится 10 мальчиков и 20 девочек.
На класс дали один билет в цирк, который решено разыграть по жребию. Какова вероятность, что в цирк пойдет девочка?
Учитель истории знает, что 3 мальчика и 5 девочек из класса были накануне в кино, поэтому не выучили домашнее задание. К сожалению, он не знает их фамилий, но очень хочет поставить кому-нибудь двойку. Кого ему лучше вызвать к доске — мальчика или девочку?
Федя не решил домашнюю задачу по математике. Какова вероятность, что учитель этого не узнает, если за урок он успевает вызвать к доске пятерых?
Проверьте все свои ответы с помощью соответствующих моделей.
|
|
|
Задание №4
|
Подбрасывают два одинаковых кубика. Какова вероятность, что в сумме выпадет 5 очков?
На семи карточках написаны числа от 0 до 6. Из них случайно выбирают две карточки. Какова вероятность, что сумма чисел на них будет равна 5?
Из полного набора домино наугад извлекают одну «доминошку». Какова вероятность, что она имеет сумму очков, равную 5?
Проверьте все свои ответы с помощью соответствующих моделей.
|
|
|
Задание №5
|
Случайный эксперимент состоит в том, что подбрасывают два кубика и записывают максимальное из двух чисел, которые на них выпали. Возможными исходами этого опыта будут, как и в опыте с одним кубиком, числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. В одной из задач предыдущего параграфа мы уже выяснили, что эти исходы неравновозможны. Найдите их вероятности.
Постройте соответствующие этим исходам события в лаборатории и проверьте свой ответ экспериментально.
|
|
|
Задание №6
|
Проводится статистическое наблюдение для выяснения пола детей в семьях с тремя детьми. Считая вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми, найдите вероятности следующих событий:
A = {все дети в семье - мальчики},
B = {все дети в семье имеют одинаковый пол},
C = {первенец в семье - мальчик},
D = {младший ребенок в семье - девочка},
E = {мальчиков в семье меньше, чем девочек}.
Если считать вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми, то это наблюдение можно заменить опытом с тремя монетами. Постройте в этом опыте каждое из перечисленных выше событий и проверьте свои ответы.
|
|
|
Задание №7
|
В шкафу находятся 4 пары ботинок с 42-го по 45-й размеры. Из них случайно выбирают два ботинка. С какой вероятностью они окажутся парными?
Какая из двух приведенных на моделей соответствует описанному опыту? Проверьте с ее помощью свой ответ.
|
|
|
Задание №8
|
В корзине 2 яблока и груша. Вытаскиваем из нее 2 фрукта. Какова вероятность того, что оба фрукта яблоки?
В корзине 3 яблока и груша. Вытаскиваем из нее 3 фрукта. Какова вероятность того, что все они яблоки?
В корзине N яблок и груша. Вытаскиваем из нее N фруктов. Какова вероятность, что все они яблоки?
Проверьте полученные ответы экспериментально, построив соответствующие модели.
|
|
|
Задание №9
|
У маленькой Вари две одинаковые пары перчаток. Уходя на улицу, она наугад берет две перчатки. Какова вероятность того, что они окажутся парными (т. е. на разные руки)?
Варя потеряла одну из перчаток на улице, и теперь их у нее три. Уходя на улицу, она по-прежнему выбирает две перчатки случайным образом. Какова на этот раз вероятность, что они окажутся парными?
Проверьте полученные ответы с помощью моделей.
|
|
|
Задание №10
|
В урне 10 шаров. Вероятность, что среди двух одновременно вынутых из нее шаров не будет ни одного белого равна 1/15. Сколько в урне белых шаров?
Проверьте свою гипотезу экспериментально.
|
|
|
Задание №11
|
Задача Эйлера. Три господина пришли в ресторан в одинаковых шляпах и сдали их в гардероб. С какой вероятностью каждый из них уйдет в своей шляпе, если они будут разбирать их наугад? С какой вероятностью каждый из них уйдет в чужой шляпе?
Проверьте свой ответ с помощью модели.
|
|
|
Задание №12
|
Буквы заданного слова перемешивают и выкладывают в ряд. С какой вероятностью получится то же самое слово, если первоначально было задано слово: «МЫЛО»; «РАМА»; «МАМА»; «БРРР».
Проверьте свои ответы с помощью моделей.
|
|
|
Задание №13
|
Наудачу выбрано число от 1 до 10 000. Определите вероятность того, что оно оказалось:
кратным пяти;
полным квадратом;
взаимно простым с числом 100;
простым;
составным.
Для ответа на последние два вопроса используйте электронную таблицу, данную на .
|
|
|
Задание №14
|
В лотерее участвует 100 билетов и разыгрывается один приз.
Какова вероятность того, что вы ничего не выиграете на свой единственный билет? Как изменится эта вероятность, если вы купите 20 билетов? 100 билетов?
|
|
|
Задание №15
|
Какова вероятность, что у случайно выбранного жителя Земли день рождения приходится
на 1 января;
28 февраля;
29 февраля?
|
|
|
Задание №16
|
Даны отрезки длиной 2, 5, 6 и 10 см. Какова вероятность того, что из наудачу выбранных трех отрезков можно составить треугольник?
Какие ответы возможны в этой задаче при различных длинах исходных отрезков? Придумайте соответствующие примеры.
|
|
|
| ИССЛЕДОВАНИЯ |
|
|
Два кубика
|
Знания, полученные на этом уроке, позволяют вам не только правильно выбрать кубик в уже знакомой игре, но и точно рассчитать вероятность выигрыша.
Вычислите вероятность выигрыша в игре «Два кубика».
|
|
|
Три кубика
|
Сделайте то же самое для игры «Три кубика».
|
Глава 4
|
