| НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ |
|
Напомним, что конечная цель этой темы – выяснить, что же такое вероятность случайного события. Весь наш жизненный опыт подсказывает, что любое событие считается тем более вероятным, чем чаще оно происходит. Значит, вероятность должна быть каким-то образом связана с частотой. А как измеряется частота?
Как и раньше, будем обозначать множество всех возможных исходов опыта греческой буквой  («омега» большая), а отдельный исход – буквой  («омега» маленькая).
|
Абсолютная частота исхода
|
Абсолютной частотой исхода в серии из  случайных экспериментов называется число  , которое показывает, сколько раз в этой серии эксперимент закончился исходом .
Абсолютная частота исхода всегда выражается целым числом  .
Сумма абсолютных частот всех исходов всегда равна числу проведенных опытов .
? Докажите последнее утверждение.
|
Относительная частота исхода
|
Относительной частотой исхода в серии из случайных экспериментов называется число  , которое показывает, какая доля экспериментов в этой серии закончился исходом . Отсюда следует, что абсолютная и относительная частоты связаны соотношением:
 .
Относительная частота исхода (иногда говорят просто частота) выражается числом от 0 до 1.
Сумма относительных частот всех исходов всегда равна 1.
? Докажите последнее утверждение.
|
Абсолютная частота события
|
Абсолютной частотой случайного события A в серии из случайных опытов называется число  , которое показывает, сколько раз в этой серии произошло событие A.
Абсолютная частота события, как и исхода, всегда выражается целым числом  . При этом:
 для невозможного события A;
 для достоверного события A.
Для любого случайного события  сумма абсолютных частот событий и  равна числу проведенных опытов:  .
? Докажите последнее утверждение.
|
Относительная частота события
|
Относительной частотой случайного события A в серии из случайных опытов называется число  , которое показывает, какая доля опытов в этой серии завершилась наступлением события A.
Отсюда следует, что абсолютная и относительная частоты связаны соотношением:
 .
Относительная частота события, как и исхода, выражается числом от 0 до 1. При этом:
 для невозможного события A;
 для достоверного события A.
Для любого случайного события сумма относительных частот событий и равна 1:  .
? Докажите последнее утверждение.
|
Частота событий и частота исходов
|
Частоты исходов и событий связаны между собой замечательным соотношением: частота любого случайного события в любой серии испытаний равна сумме частот благоприятных для него исходов. Утверждение справедливо как для абсолютных, так и для относительных частот.
? Докажите это утверждение.
|
|
|
Подсчет «вручную»
|
При проведении реальных экспериментов подсчет частот часто приходится производить вручную. Для этого перед проведением серии экспериментов рисуется таблица, в которой будет производиться такой подсчет. Вот так, например, будет выглядеть такая таблица для подсчета частот в экспериментах с кубиком:
Исходы
|
Подсчет повторений
|
Абсолютная
частота
|
Относительная
частота
|
1
|
//// ////
|
9
|
0,18
|
2
|
//// /
|
6
|
0,12
|
3
|
//// ///
|
8
|
0,16
|
4
|
//// //// /
|
11
|
0,22
|
5
|
//// ////
|
9
|
0,18
|
6
|
//// //
|
7
|
0,14
|
И Т О Г О:
|
|
50
|
1
|
В первом столбце таблицы были заранее выписаны все возможные исходы опыта. Во втором столбце производилась регистрация исходов во время проведения опытов. По завершении всей серии в третьем столбце были посчитаны абсолютные частоты исходов, а затем - в четвертом столбце -относительные частоты.
По этой таблице несложно посчитать частоту любого случайного события в этой серии экспериментов: для этого достаточно сложить частоты (абсолютные или относительные) благоприятных для этого события исходов.
|
Автоматический подсчет частот в лабораториях
|
В виртуальных лабораториях действует механизм автоматического подсчета абсолютных и относительных частот всех возможных исходов производимого опыта. Эти частоты, а также соответствующую им столбчатую диаграмму, можно увидеть в окне лаборатории на закладке «Исходы». При проведении серии экспериментов частоты автоматически пересчитываются и выводятся на экран после проведения каждого опыта.
Если вы сконструировали одно или несколько случайных событий, то подсчет их относительных частот будет также производиться автоматически. На закладке «Исходы» при этом будет выводиться график изменения частоты каждого события, обновляемый после проведения каждого опыта.
|
|
|
Пример 1.
Частота исходов в ВЛ
|
При проведении опытов с кубиком в виртуальной лаборатории автоматически подсчитывается абсолютная и относительная частота каждого исхода. Результаты выводятся в таблицу и показываются на столбчатой диаграмме.
! Проведите 1000 опытов с кубиком и проследите за изменением частот исходов.
? Проверьте выполнение отмеченных ранее соотношений для абсолютных и относительных частот всех возможных исходов.
|
|
|
Пример 2.
Частота событий в ВЛ
|
Из урны, в которой находится 3 красных, 3 зеленых и 3 синих шара, вытаскивают, не глядя, одновременно 2 шара. Рассмотрим событие A = {среди вынутых шаров есть красный} и противоположное к нему событие = {среди вынутых шаров нет красных}.
! Проведите 1000 таких опытов и проследите за изменением частот событий A и в виртуальной лаборатории.
? Что можно сказать о графиках частот для событий A и ? Чем объясняется такая симметрия?
|
|
|
Подсчет частот в MS Excel
|
При проведении случайных опытов в виртуальных лабораториях у вас всегда есть возможность экспортировать полученные данные в MS Excel для дальнейшей обработки и подсчета частот. Для этого достаточно нажать кнопку  . Имея результаты серии случайных опытов в формате электронной таблицы, можно найти частоты исходов и событий с помощью функций MS Excel.
В примере, который вы видите на , даны результаты 1000 испытаний с кубиком. Чтобы найти частоту каждого из шести исходов, в столбце B были выписаны все эти исходы от 1 до 6, в столбце C с помощью функции СЧЕТЕСЛИ () посчитаны их абсолютные частоты, а в столбце D – найдены относительные:
! Раскройте приведенный пример и изучите все использованные в нем формулы.
|
|
|
Пример 3.
Частота исходов в MS Excel
|
На записаны данные о пациентах хирургического отделения больницы. В предпоследнем столбце указана группа крови – число от 1 до 4. Группу крови можно считать результатом случайного эксперимента с четырьмя возможными исходами. Посчитать частоту каждого такого исхода в MS Excel можно, как уже говорилось, с помощью функции СЧЕТЕСЛИ().
Однако при переливании крови имеет значение не только номер группы (от 1 до 4), но и так называемый резус-фактор, который может быть положительным или отрицательным. В последнем столбце таблицы он обозначен символами «+» и «–» . При таком взгляде на наш случайный эксперимент у него будет уже не 4, а 8 возможных исходов. Чтобы воспользоваться для подсчета их частоты функцией СЧЕТЕСЛИ() в таблице, которая приведена на , использован следующий прием: построен дополнительный столбец, в котором значения столбцов «Группа крови» и «Резус-фактор» склеены в одну строку с помощью операции «&»; и уже к этому столбцу применена функция СЧЕТЕСЛИ().
|
|
|
Пример 4.
Экспорт результатов в MS Excel
|
В лаборатории «Классическая вероятность» была проведена серия из 1000 случайных опытов: из урны, содержащей 3 красных, 2 желтых и 1 зеленый шар, извлекались одновременно 2 шара. Полученные результаты были экспортированы в MS Excel, где и была посчитана частота каждого из возможных исходов опыта.
Как и в предыдущем примере, исход каждого опыта, представленный в виде трех отдельных значений (букв К, Ж и З), пришлось склеить в одно слово и записать в новый столбец, а затем применить к нему функцию СЧЕТЕСЛИ().
! Раскройте таблицу и изучите все использованные в ней формулы.
|
|
|
Пример 5.
Зачем нужен экспорт результатов?
|
Предыдущий пример может вызвать вопрос: зачем экспортировать результаты в MS Excel, если частота исходов и событий автоматически считается прямо в виртуальной лаборатории? Дело в том, что электронная таблица дает большую гибкость для обработки полученных данных.
Рассмотрим снова игровой автомат с тремя окошками, в каждом из которых может выпасть любая из цифр от 0 до 9. По результатам 1000 опытов с таким автоматом вам нужно посчитать, как часто все три цифры, которые появляются в окошках, оказываются разными. Конечно, можно решить эту задачу средствами лаборатории: отметить благоприятные для этого события исходы и запустить серию опытов. Но нужно сказать, что это будет довольно утомительным – у этого события 720 благоприятных исходов (скоро вы узнаете, как их можно посчитать)!
Существует более простое решение. Экспортируем результаты в MS Excel. Построим по трем полученным столбцам – A, B и C – четвертый, в который введем такую формулу:
= (A1-B1)*(B1-C1)*(A1-C1)
Если хотя бы два значения в столбцах A, B, C совпадают, то формула дает 0; если все три числа различны, то произведение будет ненулевым. Остается посчитать с помощью СЧЕТЕСЛИ(), сколько ненулевых значений оказалось в столбце D, и задача решена!
! Придумайте, как найти частоту события «Все цифры одинаковые».
|
|
|
| ТЕСТЫ |
|
|
Вопрос №1
|
Укажите соответствие:
Абсолютная частота случайного события А.
Относительная частота случайного события А.
Сумма абсолютных частот всех исходов опыта.
|
Доля опытов данной серии, в которых произошло А.
Число проведенных опытов.
Число опытов данной серии, в которых произошло событие А.
|
|
|
|
Вопрос №2
|
Опыт провели 100 раз. Чему равна сумма абсолютных частот всех возможных исходов этого опыта?
|
|
|
Вопрос №3
|
Опыт провели 100 раз. Чему равна сумма относительных частот всех возможных исходов этого опыта?
|
|
|
| ПРАКТИКУМ |
|
|
Задание №1
|
Проведите 1000 опытов с кубиком и ответьте на вопросы:
Какой исход повторялся в этой серии чаще всего?
Чему равна его абсолютная частота?
Чему равна его относительная частота?
Сравните свои результаты с результатами одноклассников с помощью . Проявляются ли какие-то закономерности?
|
|
|
Задание №2
|
Из коробки, в которой 2 красных, 2 зеленых и 2 синих шара, выбирают наугад 2 шара. Проведите 1000 таких опытов и ответьте на вопросы:
Какой исход опыта повторялся чаще всего?
Чему равна его относительная частота?
Чему равна сумма абсолютных частот всех исходов?
Чему равна сумма относительных частот?
Сравните свои результаты с результатами одноклассников с помощью . На какие из поставленных вопросов можно было ответить, не проводя опыт?
|
|
|
Задание №3
|
Проведите 1000 опытов с двумя кубиками. Экспортируйте полученные результаты в MS Excel и для каждого опыта найдите сумму чисел, выпавших на кубиках. С помощью функции СЧЕТЕСЛИ() вычислите абсолютную и относительную частоты каждого из возможных значений суммы и ответьте на вопросы:
Какое значение суммы выпадало чаще всего?
Чему равна его абсолютная частота?
Чему равна его относительная частота?
Сравните свои результаты с результатами одноклассников с помощью . Видна ли какая-то закономерность?
|
|
|
Задание №4
|
Проведите 1000 опытов с двумя кубиками. Экспортируйте полученные результаты в MS Excel и для каждого опыта найдите максимальное из двух чисел, выпавших на кубиках. С помощью функции СЧЕТЕСЛИ() вычислите абсолютную и относительную частоты каждого из возможных значений максимума и ответьте на вопросы:
Какое значение максимума выпадало чаще всего?
Чему равна относительная частота этого значения?
Какое значение максимума выпадало реже всего?
Чему равна относительная частота этого значения?
Сравните свои результаты с результатами одноклассников с помощью . Видна ли какая-то закономерность?
|
|
|
Задание №5
|
Коля, Оля, Артем и Наташа разыгрывают по жребию два билета в кино. Смоделируйте этот эксперимент в виртуальной лаборатории. Проведите серию из 1000 таких опытов. Найдите относительную частоту каждого из событий:
A = {В кино пойдут мальчик с девочкой};
B = {В кино пойдут 2 мальчика};
C = {В кино пойдут Коля и Оля}.
|
|
|
Задание №6
|
Перед вами три таблицы с результатами спортивных состязаний: все матчи чемпионата России по футболу 2006, итоговая таблица чемпионата России по хоккею 2006/07 и результаты матчей чемпионата мира по футболу 1982.
Найдите относительную частоту ничьих в каждой таблице.
Как вы думаете, в каком виде спорта частота ничьих выше – в футболе или хоккее?
|
|
|
Задание №7
|
Перед вами таблица, в которой представлен возраст учеников 7-го класса. Сколько различных исходов встречалось в этой серии опытов? Найдите абсолютную и относительную частоту каждого из них. Какой исход повторялся чаще всего?
Соберите данные о возрасте одноклассников с помощью , экспортируйте их в MS Excel и ответьте по ним на те же вопросы.
|
|
|
Задание №8
|
Перед вами таблица с результатами медицинского обследования учеников 7-го класса: в первом столбце записан вес каждого ученика (в кг), во втором - рост (в см). Одна из формул идеального веса выглядит так:
Вес = Рост – 100.
При этом вес задается в килограммах, рост - в сантиметрах. Например, для роста 155 см идеальным весом будет 55 кг. Допускается отклонение от этого соотношения в ту или другую сторону на 2 кг. Найдите по этим данным относительные частоты следующих событий:
A = {Вес в пределах нормы}
B = {Вес избыточен}
C = {Вес недостаточен}
Проведите такое же исследование для своего класса с помощью .
|
|
|
Задание №9
|
Перед вами модель опыта с шестью монетами. В каждом из этих опытов нас будет интересовать число выпавших орлов, которое может изменяться от 0 до 6. Проведите серию из 1000 таких опытов, проследите за изменением абсолютных и относительных частот каждого из этих исходов и ответьте на вопросы:
Какое число орлов выпадало чаще всего?
Какова его относительная частота?
Какое число орлов выпадало реже всего?
Какова его относительная частота?
Сравните свои результаты с результатами одноклассников с помощью . Видна ли какая-то закономерность?
|
|
|
Задание №10
|
Из коробки, в которой 3 желтых, 3 зеленых и 3 красных шара, не глядя, вытаскивают одновременно три шара. Среди вынутых шаров может оказаться от 0 до 3 красных шаров. Постройте для каждой из этих ситуаций случайное событие, проведите 1000 экспериментов и найдите относительную частоту каждого из них.
Какое число красных шаров вынималось чаще всего? Какое реже всего?
Сравните свои результаты с результатами одноклассников с помощью . Видна ли какая-то закономерность?
|
|
|
Задание №11
|
При наборе текста на компьютере используется 256 символов (буквы, цифры, знаки и т.д.). Каждый символ имеет свой специальный код - число от 0 до 255. Маленькие и заглавные буквы различаются. При этом и те, и другие расположены в кодовой таблице по алфавиту. Перед вами таблица, в которой посчитана абсолютная частота каждого из 256 символов, с которой он встречался в некотором текстовом файле. Но вместо символов в этой таблице указаны их коды.
Зная, что исходный файл содержал литературный текст на русском языке, определите по этой таблице, какие коды имеют маленькие и заглавные русские буквы. Какая буква встречалась в тексте чаще всего?
|
|
|
| ИССЛЕДОВАНИЯ |
|
|
Клавиатура компьютера
|
Вы задумывались когда-нибудь, почему именно так (не по алфавиту!) располагаются буквы на клавиатуре компьютера? Оказывается, это связано с частотой их использования в русском языке. Перед вами таблица с 32 русскими буквами и их частотами (без буквы «ё»):
А
|
0,062
|
И
|
0,062
|
Р
|
0,04
|
Ш
|
0,006
|
Б
|
0,014
|
Й
|
0,01
|
С
|
0,045
|
Щ
|
0,003
|
В
|
0,038
|
К
|
0,028
|
Т
|
0,053
|
Ъ
|
0,001
|
Г
|
0,013
|
Л
|
0,035
|
У
|
0,021
|
Ы
|
0,016
|
Д
|
0,025
|
М
|
0,026
|
Ф
|
0,002
|
Ь
|
0,013
|
Е
|
0,072
|
Н
|
0,053
|
Х
|
0,009
|
Э
|
0,003
|
Ж
|
0,007
|
О
|
0,09
|
Ц
|
0,004
|
Ю
|
0,006
|
З
|
0,016
|
П
|
0,023
|
Ч
|
0,012
|
Я
|
0,018
|
Выясните, каким образом эти частоты связаны с расположением клавиш. Для этого расположите буквы в таблице так, как они располагаются на клавиатуре, и постройте над каждой буквой столбик, высота которого пропорциональна ее частоте (это можно сделать с помощью MS Excel).
|
