| НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ |
|
|
|
|
Исходы
|
Возможными исходами случайного эксперимента называются все взаимоисключающие друг друга варианты, одним из которых он должен завершиться.
В результате эксперимента всегда происходит один и только один из его исходов. То есть, с одной стороны, в одном эксперименте не могут произойти сразу два исхода, с другой - эксперимент не может завершиться вообще без всякого исхода.
Заметим, что число возможных исходов случайного опыта может быть любым – от двух до бесконечности. Например, опыт с монетой имеет всего два возможных исхода (орел и решка), а опыт с кубиком – шесть. Но далеко не во всех случаях все возможные исходы опыта столь очевидны.
|
|
Элементарные исходы
|
Из коробки с одним белым и двумя черными шарами вытаскивают наугад один шар. Сколько возможных исходов у этого опыта? Можно сказать два: шар окажется либо белым, либо черным. А можно сказать три: белый, черный-1, черный-2. И то, и другое правильно, просто во втором случае исходы выбраны более элементарными, а сам опыт описывается ими более детально.
Исходы эксперимента называют элементарными, если их нельзя поделить на более простые. Элементарные исходы в теории вероятностей называют еще элементарными событиями.
|
|
Элементарные или неэлементарные
|
Элементарность исхода – понятие довольно относительное. Как вам уже известно из курса естествознания, молекулы долгое время считались элементарными, пока не открыли, что они состоят из атомов. Название «атом» было выбрано от греческого atomos - неделимый. И вдруг выяснилось, что атомы еще как делятся и состоят из элементарных частиц…
Так же (или почти так) обстоит дело и с исходами: в одном и том же опыте можно опускаться на разные ступени «элементарности» при выборе системы исходов. При этом нужно понимать, что чем элементарнее исходы, тем детальнее они описывают эксперимент, но и тем сложнее становится это описание. Рассмотрим уже знакомый нам опыт, в котором делается выстрел по мишени:
Абсолютно правильно будет сказать, что этот опыт может завершиться одним из 11-ти возможных исходов: стрелок может выбить 0, 1, 2,…, 10 очков. Но будут ли они элементарными? Ведь одно и то же число очков можно заработать разными попаданиями. Даже для того, чтобы выбить десятку, не обязательно попадать точно в центр. Можно считать исходом каждого выстрела расстояние от точки попадания до центра мишени. Такие исходы будут уже более элементарными. При этом их будет уже бесконечно много: любое действительное число от 0 до  . Но и на этом элементарность не заканчивается: ведь можно считать исходом каждого выстрела не расстояние до центра, а саму точку попадания. При этом каждый исход будет обозначаться уже не одним числом, а парой чисел – координат этой точки.
Как видите, делая исходы опыта все более элементарными, мы неизбежно увеличиваем их количество. Поэтому в каждом конкретном случае нужно выбирать систему исходов, исходя из здравого смысла и условий проведения опыта.
|
|
|
|
|
Пример 1.
Орел и решка
|
Простейший случайный опыт с монетой имеет всего два элементарных исхода – «орел» и «решка». Мы будем обозначать эти исходы буквами О и Р.
! Проведите несколько таких опытов в виртуальной лаборатории.
? Как вы думаете, какие данные выводятся при этом на закладке «Исходы»?
|
|
|
|
|
Пример 2.
Шляпка и острие
|
Упавшая на пол кнопка может выпасть на шляпку или острие. Эти два исхода мы будем обозначать буквами ш и о.
! Запустите серию таких опытов.
? В опыте с кнопкой, как и в опыте с монетой, всего два элементарных исхода. А в чем тогда принципиальная разница между этими опытами?
|
|
|
|
|
Пример 3.
Шесть граней кубика
|
В результате этого опыта на кубике может выпасть одна из его шести граней, которые мы будем кодировать числами от 1 до 6.
! Запустите серию таких опытов.
? Что можно сказать о 6-ти возможных исходах этого опыта?
|
|
|
|
|
Пример 4.
1 шар из 6
|
В коробке лежат 1 красный, 2 желтых и 3 зеленых шара. Из нее, не глядя, вытаскивают один шар. Опыт может завершиться одним из трех исходов: К, Ж, З.
! Проведите несколько таких опытов.
? Будут ли эти исходы элементарными? Постройте в этом опыте систему элементарных исходов. Для этого нажмите кнопку  и поставьте опцию «Пронумеровать все предметы»
|
|
|
|
|
Пример 5.
Две монеты
|
В этом опыте две монеты бросают одновременно. В результате монеты могут выпасть так: ОО, ОР, РО, РР - всего четыре исхода.
? А как можно построить систему исходов этого опыта, чтобы она содержала всего три исхода? Постройте в этом опыте такую систему исходов. Для этого нажмите кнопку и уберите опцию «Различать монеты»
|
|
|
|
|
Пример 6.
2 шара из 6
|
В коробке по-прежнему лежат 1 красный, 2 желтых и 3 зеленых шара. Из нее вытаскивают одновременно два шара. Теперь возможных исходов больше: ЖЖ, ЖЗ, ЖК, ЗЗ, ЗК.
! Проведите несколько таких опытов.
? Будут ли эти исходы элементарными? Постройте в этом опыте систему элементарных исходов. Для этого нажмите кнопку и поставьте опцию «Пронумеровать все предметы»
|
|
|
|
|
Пример 7.
Две перчатки
|
В коробке лежат 3 пары одинаковых перчаток. Из нее, не глядя, вытаскивают две перчатки. Возможны следующие исходы: ЛЛ, ЛП, ПП (Л - левая, П - правая).
! Проведите несколько таких опытов.
? Будут ли эти исходы элементарными? Постройте в этом опыте систему элементарных исходов. Для этого нажмите кнопку и поставьте опцию «Пронумеровать все предметы»
|
|
|
|
|
Пример 8.
Куда попала пуля?
|
По мишени делают выстрел. Возможный исход - любая точка в плоскости мишени. Если принять центр мишени за начало координат, то элементарные исходы можно обозначать парами чисел (x,y) - координатами точек, в которые попадает пуля.
? Проведите серию таких опытов и выясните, все ли точки плоскости считаются возможными исходами в этой модели? Каким условием на (x,y) их можно описать?
|
|
|
|
|
Пример 9.
Расстояние до ближайшей линейки
|
На тетрадный лист в линейку наудачу бросается монета. Как и в опыте с мишенью, исходами можно считать точки на плоскости листа, в которые попадает центр монеты. Но если интересоваться только расположением монеты по отношению к линейкам, то в качестве элементарных исходов можно принять расстояние от центра монеты до ближайшей линейки.
? В каких пределах меняется это расстояние?
|
|
|
|
|
Пример 10.
ЕГЭ по математике
|
При наблюдении за реальными процессами и явлениями выбор возможных исходов опыта часто определяется целью проводимого исследования. Перед вами таблица, в которой приведены результаты 11-классников, сдавших единый государственный экзамен по математике (ЕГЭ). Этот экзамен оценивается сначала по 100-балльной шкале (первый столбец таблицы), а затем переводится в пятибалльную для выставления оценок в школьный аттестат (второй столбец). И то, и другое можно считать исходами данного случайного опыта.
? Сколько таких исходов будет в первом случае и сколько во втором?
|
|
|
|
| ТЕСТЫ |
|
|
Вопрос №1
|
В результате случайного опыта может произойти ровно ? из его исходов.
|
|
|
Вопрос №2
|
Если исходы случайного опыта нельзя поделить на более простые, то такие исходы называют:
случайными;
невозможными;
элементарными;
простейшими.
|
|
|
Вопрос №3
|
Каково наименьшее возможное число исходов случайного опыта?
|
|
|
|
| ПРАКТИКУМ |
|
|
|
|
Задание №1
|
Из коробки, в которой 1 красный, 2 желтых и 3 зеленых шара, не глядя, вытаскивают один шар. Сколько элементарных исходов у этого опыта? Сколько исходов получится, если не различать шары одного цвета между собой? Постройте соответствующие модели в лаборатории.
|
|
|
|
|
Задание №2
|
Бросают два кубика. Сколько элементарных исходов у этого опыта? Сколько исходов получится, если не различать кубики между собой? Постройте соответствующие модели в лаборатории.
|
|
|
|
|
Задание №3
|
Бросают две монеты. Сколько элементарных исходов у этого опыта? Сколько исходов получится, если не различать монеты между собой?
Используя возможности лаборатории, ответьте на эти же вопросы для трех, четырех и пяти монет. Видна ли какая-то закономерность?
|
|
|
|
|
Задание №4
|
Одновременный выбор. Из коробки, в которой 2 белых и 2 черных шара, вытаскивают одновременно два шара. Сколько элементарных исходов у этого опыта? Сколько исходов получится, если не различать шары одного цвета между собой? Постройте соответствующие модели в лаборатории.
|
|
|
|
|
Задание №5
|
Выбор без возвращения. Из коробки, в которой 2 белых и 2 черных шара, вытаскивают друг за другом два шара. Сколько элементарных исходов у этого опыта? Сколько исходов получится, если не различать шары одного цвета между собой? Постройте соответствующие модели в лаборатории.
|
|
|
|
|
Задание №6
|
Выбор с возвращением. Из коробки, в которой 2 белых и 2 черных шара, вытаскивают сначала один шар. Затем возвращают его обратно, шары перемешивают и вытаскивают другой шар. Сколько элементарных исходов у этого опыта? Сколько исходов получится, если не различать шары одного цвета между собой? Постройте соответствующие модели в лаборатории.
|
|
|
|
|
Задание №7
|
Из коробки, в которой 2 синих, 2 зеленых и 2 красных шара, вытаскивают одновременно два шара. Сколько элементарных исходов у этого опыта? Сколько исходов получится, если не различать шары одного цвета между собой? Попробуйте найти ответ в уме, а потом проверьте себя с помощью лаборатории.
|
|
|
|
|
Задание №8
|
Перед вами даты рождения ваших одноклассников, собранные ранее с помощью . Будем считать каждую такую дату результатом случайного опыта. Сколько у него возможных исходов и сколько из них осуществилось в приведенных 30-ти опытах, если считать исходами
все возможные даты рождения (число, месяц, год);
все возможные дни рождения (число и месяц);
все возможные месяцы рождения;
все возможные дни недели.
|
|
|
|
|
Задание №9
|
При определении группы крови имеет значение не только номер группы (от 1 до 4), но и так называемый резус-фактор, который может быть положительным или отрицательным.
Перед вами данные о 78 пациентах хирургического отделения больницы. В двух последних столбцах таблицы указаны группа крови и резус-фактор каждого пациента. Будем считать их результатом случайного эксперимента. Сколько у этого эксперимента возможных исходов? Сколько из них осуществилось в приведенной серии из 78 опытов?
|
|
|
|
|
Задание №10
|
Перед вами уже знакомые вам результаты 240 матчей чемпионата России по футболу 2006 года. Будем считать каждый такой матч случайным опытом. Сколько у него возможных исходов, если считать, что больше 9 голов за игру ни одна из команд не забивает? Сколько из этих исходов осуществилось в процессе чемпионата? Порядок чисел в счете учитывается (т.е. считается, что 2:1 и 1:2 это разные исходы).
|
|
|
|
|
Задание №11
|
Проводится опыт с кубиком. Как вы думаете, будет ли какой-то из шести исходов этого опыта происходить чаще остальных? Для ответа на этот вопрос проведите серию экспериментов и посмотрите на результаты, полученные в лаборатории. Можно ли было дать этот ответ, не проводя серию опытов? Если да, объясните, из каких соображений.
|
|
|
|
|
Задание №12
|
У маленькой Вари две одинаковые пары перчаток. Уходя на улицу, она случайно выбирает из них две. Рассмотрим «неэлементарные» исходы этого опыта, считая две пары варежек абсолютно одинаковыми: ЛЛ, ЛП, ПП. Как вы думаете, какой из них будет происходить чаще остальных? Для ответа на этот вопрос проведите серию экспериментов. Можно ли было дать этот ответ, не проводя опытов?
|
|
|
|
|
Задание №13
|
Из коробки, в которой 3 синих, 3 зеленых и 3 красных шара, не глядя, вытаскивают одновременно три шара. Рассмотрим «неэлементарные» исходы этого опыта, считая шары одного цвета неразличимыми между собой. Как вы думаете, будет ли какой-то из исходов этого опыта происходить чаще остальных? Для ответа на этот вопрос проведите серию экспериментов. Можно ли было дать этот ответ, не проводя серию опытов? Если да, объясните, из каких соображений.
|
|
|
|
|
Задание №14
|
Перед вами круговая мишень, по которой производятся выстрелы. Будем считать, что стрелок не целится и с равными шансами может попасть в любую точку мишени (но не в «молоко»!).
Как вы думаете, сколько очков он, скорее всего, выбьет? Для ответа на этот вопрос проведите серию экспериментов и посмотрите на результаты, полученные в лаборатории. Можно ли было дать этот ответ, не проводя серию опытов? Если да, объясните, из каких соображений.
|
|
|
|
|
| ИГРЫ |
|
|
|
|
Два кубика
|
Вам предлагается сыграть с компьютером в следующую вероятностную игру. Перед вами два не совсем обычных игральных кубика (см. рисунок слева). Вы можете первыми выбрать кубик, которым будете играть. Оставшийся кубик достается компьютеру. Игроки подбрасывают свои кубики и тот, у кого на кубике выпало больше, получает 1 очко. Все очки автоматически суммируются и показываются на диаграмме.
? Какой кубик вы выбираете?
|
|
|
|
|
