| НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ |
|
|
Наконец-то мы подошли к самому главному понятию всего нашего курса – понятию вероятности. В толковом словаре русского языка С.И.Ожегова и Н.Ю.Шведовой читаем: «Вероятность - возможность исполнения, осуществимости чего-нибудь». Мы часто употребляем в повседневной жизни слова «вероятно», «вероятнее», «невероятно», оценивая тем самым возможность исполнения различных событий.
Основатель современной теории вероятностей А.Н.Колмогоров писал о вероятности так: «Вероятность математическая – это числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях».
Итак, в математике вероятность случайного события выражается числом. О том, что это за число, как его можно найти и использовать на практике, мы и начинаем разговор в этом параграфе.
|
|
Стабилизация относительных частот
|
Удобно измерять вероятность случайных событий числами от 0 до 1. Достоверным событиям будет соответствовать вероятность 1 (максимально возможная), невозможным – вероятность 0 (минимально возможная), а всем остальным – что-то промежуточное (причем, чем вероятнее событие, тем ближе к 1).
В предыдущем параграфе мы выяснили, что именно так ведет себя относительная частота случайного события. Может быть, ее и следует принять за вероятность? К сожалению, такое определение нас вряд ли устроит: значение частоты зависит не только от случайного события, но и от каждой конкретной серии опытов, а ведь мы хотим определить числовую характеристику события.
Но не будем торопиться с выводами и отвергать относительную частоту, как меру возможности случайного события. Давайте понаблюдаем, как изменяется относительная частота одного и того же случайного события в разных сериях экспериментов. На представлен опыт с подбрасыванием кубика, в котором можно наблюдать за изменением относительной частоты события A = {На кубике выпадет четное число}.
! Проведите серию из 1000 таких опытов. Что происходит с относительной частотой события A?
! Проведите еще несколько таких серий и убедитесь, что найденная закономерность продолжает выполняться.
|
|
Вероятность
|
Фундаментальным свойством относительных частот (если хотите – законом природы) является тот факт, что с увеличением числа опытов относительная частота случайного события постепенно стабилизируется и приближается к вполне определенному числу, которое и следует считать его вероятностью.
Только что вы могли наблюдать этот факт для опыта с кубиком. Проверьте, что то же самое можно наблюдать и в опыте с шарами, также записанном на .
? Как вы думаете, к какому числу приближается относительная частота события A = {вынуты шары одного цвета} с ростом числа опытов?
Все сказанное дает возможность дать следующее определение: вероятностью случайного события A называется число  , к которому приближается относительная частота этого события в длинной серии экспериментов. Обозначение происходит от первой буквы французского слова probabilite — вероятность.
|
|
Как быстро частота приближается к вероятности?
|
Данное только что определение вероятности оставляет без ответа один важный вопрос: даже если допустить, что в любой серии экспериментов вероятность заданного события приближается к одному и тому же числу, то насколько длинной должна быть серия, чтобы полученная в ней относительная частота приближала вероятность с нужной нам точностью?
Другими словами, сколько опытов нужно провести, чтобы полученная в них относительная частота интересующего нас события отклонялась от вероятности не более, чем на 0,1? 0,001? И вообще, на любую заранее заданную величину?
Ответ на этот вопрос мы получим только в самом конце нашего курса, когда познакомимся с фундаментальным законом больших чисел. Пока же можно руководствоваться следующим простым правилом: для повышения точности приближения в  раз необходимо увеличить количество опытов примерно в  раз. Так, если мы хотим оценить вероятность с точностью до 0,1, то придется провести, по крайней мере, 100 опытов, с точностью до 0,01 – 10000 опытов и т.д.
|
|
Можно ли найти вероятность без эксперимента?
|
Вслед за таким необычным («приближенным») определением вероятности возникает вопрос: а существуют ли какие-либо теоретические, не связанные с проведением экспериментов, методы вычисления вероятностей? Да, существуют, и мы совсем скоро с ними познакомимся. Но, к сожалению, применять эти методы можно далеко не ко всяким случайным опытам. А вот приведенное выше статистическое определение в этом смысле универсально.
? В каких из рассмотренных ранее опытов вы готовы предсказать вероятность любого исхода или события без проведения каких-либо экспериментов? На чем основана эта уверенность?
|
|
|
|
|
Свойства вероятности
|
Из свойств относительных частот, полученных на предыдущем уроке, вытекает несколько важнейших свойств, которыми обладает вероятность. Сформулируем эти свойства:
Вероятность исхода или события выражается действительным числом от 0 до 1. Вероятность невозможного события равна 0, вероятность достоверного – 1.
Сумма вероятностей всех возможных исходов опыта равна 1.
Вероятность случайного события равна сумме вероятностей благоприятных для него исходов.
|
|
|
|
|
Пример 1.
Подбрасывание монеты
|
Перед вами хорошо знакомая модель опыта с монетой (см. ).
? Проведите серию из 1000 таких опытов и оцените по их результатам вероятность каждого из двух исходов. Для этого введите предполагаемую величину вероятности в столбец «Вероятность» на закладке «Исходы».
|
|
|
|
|
Пример 2.
Подбрасывание кубика
|
Перед вами модель опыта с кубиком (см. ).
? Проведите серию из 1000 таких опытов и оцените по их результатам вероятность каждого из двух исходов. Для этого введите предполагаемую величину вероятности в столбец «Вероятность» на закладке «Исходы».
? Оцените по результатам этой серии вероятность события «Выпадет простое число». Для этого откройте закладку «События» и передвиньте уровень вероятности так, чтобы он был максимально близок к относительной частоте.
|
|
|
|
|
Пример 3.
Случайный выбор одного шара
|
Из коробки, в которой 1 красный, 2 синих и 3 зеленых шара, извлекают один шар.
! Проведите серию таких опытов и убедитесь, что относительные частоты исходов стабилизируются около заданных вероятностей.
|
|
|
|
|
Пример 4.
Случайный выбор двух шаров
|
Из коробки, в которой 1 красный, 2 синих и 3 зеленых шара, извлекают одновременно два шара.
! Проведите серию таких опытов и убедитесь, что относительные частоты событий A = {Шары будут одного цвета} и  = {шары будут разного цвета} стабилизируются около значений 4/15 и 11/15 соответственно.
|
|
|
|
|
Пример 5.
Случайный выбор перчаток
|
Рассмотрим хорошо знакомый нам опыт с перчатками. Вы уже видели, что при извлечении двух из шести перчаток вероятнее, что они будут парными. Попробуем оценить, насколько это вероятно.
! Проведите серию опытов и убедитесь, что относительные частоты исходов стабилизируются около заданных вероятностей.
|
|
|
|
|
Пример 6.
Стрельба по мишени
|
Стрелок, не целясь, делает выстрел по круговой мишени. С какой вероятностью выпущенная им пуля попадет в десятку? Почему это значение не равно 1/10, как можно было бы ожидать?
? Как вы понимаете фразу «не целясь» в условии задачи?
|
|
|
|
|
Пример 7.
Вероятность в природе
|
С какой вероятностью у случайно взятого больного будет та или иная группа крови? Мы уже вычисляли частоты соответствующих исходов по опытным данным, содержащим сведения о 78-ми пациентах больницы. Можно ли использовать вычисленные частоты для оценки вероятностей?
|
|
|
|
| ТЕСТЫ |
|
|
Вопрос №1
|
? случайного события - это число, к которому приближается относительная частота случайного события в длинной серии опытов.
|
|
|
Вопрос №2
|
Вероятность всегда принадлежит отрезку от ? до ? .
|
|
|
Вопрос №3
|
Если 1000 раз подбросить монету, то орлов выпадет:
ровно 500
около 500
не более 500
не менее 500.
|
|
|
Вопрос №4
|
Чтобы оценить вероятность с точностью до 0,001 нужно провести около
10 опытов;
100 опытов;
1000 опытов;
10 000 опытов;
100 000 опытов;
1 000 000 опытов.
|
|
|
Вопрос №5
|
Какие из следующих утверждений вы считаете верными?
если провести много опытов, то полученная в них относительная частота случайного события будет приближенно равна его вероятности;
вероятность достоверного события всегда равна 1;
вероятность невозможного события всегда равна 0;
если вероятность события равна 1, то оно достоверное;
если вероятность события равна 0, то оно невозможное.
|
|
|
|
| ПРАКТИКУМ |
|
|
|
|
Задание №1
|
Из коробки, в которой 1 красный, 2 желтых и 3 зеленых шара, не глядя, вынимают одновременно три шара. Найдите с точностью до 0,02 вероятности следующих событий:
A = {Среди них будет ровно один красный};
B = {Среди них будет ровно два желтых};
C = {Среди них будет ровно три зеленых}.
|
|
|
|
|
Задание №2
|
Из корзинки, в которой осталось 3 пирожка с повидлом, 4 – с яблоками и 2 – с капустой, случайно выбирают два пирожка. С какой вероятностью они будут с разной начинкой? Постройте модель этого опыта, сконструируйте нужное событие и оцените с точностью до 0,02 его вероятность.
Указание: не ищите в лаборатории пирожков – попробуйте обойтись разноцветными шарами.
|
|
|
|
|
Задание №3
|
Коля, Оля, Артем и Наташа разыгрывают по жребию два билета в кино. Постройте модель этого опыта, сконструируйте случайные события и оцените их вероятность с точностью до 0,02:
A = {В кино пойдут Оля и Артем}
B = {В кино пойдут две девочки}
C = {В кино пойдут мальчик и девочка}
D = {Коле достанется один из двух билетов}
|
|
|
|
|
Задание №4
|
Три человека пришли в ресторан в одинаковых шляпах и сдали их в гардероб. Расходились они в темноте и разобрали шляпы наугад. Количество людей, ушедших в своих шляпах, могло оказаться равным 0, 1, 2, 3.
Постройте соответствующие случайные события, проведите необходимое количество опытов и оцените вероятность каждого из этих значений с точностью до 0,01. Чему должна равняться сумма этих вероятностей? Почему?
|
|
|
|
|
Задание №5
|
Перед вами результаты многолетних наблюдений за максимальным уровнем весеннего подъема воды в реке Оке в районе г.Калуги. Самая нижняя улица города - улица Подвойского - подтапливается, если уровень воды поднимается выше 9 метров. Оцените по этим данным вероятность того, что в ближайший паводок улица Подвойского будет подтоплена.
|
|
|
|
|
Задание №6
|
Перед вами данные о количестве проданных билетов и количестве выигравших в каждом из последних 40 тиражей лотереи «Новое лото». Оцените по этим данным вероятность того, что купленный вами билет выиграет.
|
|
|
|
|
Задание №7
|
Перед вами данные о количестве билетов, которые были проданы на каждый из рейсов скорого поезда №13 Москва - Нижний Новгород за период с 1 по 31 июля. Вместимость всего поезда - 540 мест. Оцените по этим данным вероятность того, что в произвольно выбранный день в поезде будут свободные места.
Можно ли использовать эти данные, если вам нужно оценить вероятность такого же события для 31 декабря? 1 мая? Почему?
|
|
|
|
|
Задание №8
|
Перед вами интервалы времени (в секундах) между звонками, поступавшими на АТС в течение последнего часа. Оцените по этим данным вероятность того, что в ближайшие 30 секунд на АТС не поступит ни одного звонка.
|
|
|
|
|
Задание №9
|
Проводится опыт с четырьмя монетами. Оцените с точностью до 0,01 вероятность того, что все они выпадут на орла.
А смогли бы вы найти эту вероятность без проведения опыта?
|
|
|
|
|
Задание №10
|
Подбрасывают 4 монеты. Установите экспериментально и выберите из списка наиболее подходящее значение вероятности для события A = {Выпадет ровно 2 орла}:
|
|
|
|
|
Задание №11
|
Подбрасывают 3 кубика. Установите экспериментально и выберите из списка наиболее подходящее значение вероятности для события A = {Выпадет хотя бы одна шестерка}:
1/2; 91/216; 1; 1/3; 1/6.
|
|
|
|
|
Задание №12
|
Из коробки, в которой 3 желтых, 3 зеленых и 3 красных шара, не глядя, вытаскивают одновременно три шара.
Какие из перечисленных в лаборатории возможных исходов этого опыта наиболее вероятные? Постройте из них событие A.
Какие из перечисленных в лаборатории возможных исходов этого опыта наименее вероятные? Постройте из них событие B.
|
|
|
|
|
Задание №13
|
Из коробки, в которой 5 красных и 5 зеленых шаров, наугад вынимают два шара. Что вероятнее: они будут одного цвета или разного? Дайте ответ для трех разных способов случайного выбора:
одновременно;
последовательно без возвращения;
последовательно с возвращением.
|
|
|
|
|
Задание №14
|
С какой вероятностью при бросании шести кубиков выпадет хотя бы одна шестерка? Для ответа на этот вопрос проведите серию экспериментов в ВЛ «Классическая вероятность», обработайте полученные результаты в MS Excel и оцените вероятность с точностью до 0,02.
|
|
|
|
|
| ИССЛЕДОВАНИЯ |
|
|
|
|
Есть ли у природы память?
|
Вы знаете, что вероятности появления орла и решки при подбрасывании монеты равны 1/2. Следует ли из этого, что орлы и решки должны чередоваться при проведении серии последовательных опытов?
Проведите 10 000 экспериментов с монетой и найдите по ее результатам самую длинную серию из идущих подряд орлов.
Отправьте свой результат на . Найдите по полученным результатам среднюю длину такой серии.
|
|
|
|
| ИГРЫ |
|
|
Две козы и автомобиль
|
Несколько десятков лет тому назад популярное еженедельное телешоу заканчивалось розыгрышем главного приза, в котором «участвовали» две козы и автомобиль. Все три приза были спрятаны за тремя закрытыми дверями. Участник розыгрыша выбирал наугад одну из трех дверей, но ведущий, который знал, где находится автомобиль, не открывал ее сразу.
Вместо этого, он открывал перед участником одну из двух оставшихся дверей, причем такую, за которой была коза - хотя бы одна такая возможность у ведущего всегда была. После этого участнику предлагалось подумать: какую из двух оставшихся дверей выбрать окончательно. Этот выбор все и решал – участник забирал тот приз, который оказывался за дверью.
Попробуйте выиграть автомобиль. Роль ведущего будет исполнять компьютер. За каждый выигранный автомобиль вы будете получать очко, а за каждую козу очко будет получать компьютер.
|
