Случайные события и вероятность
В предыдущей главе мы говорили о том, какой огромный поток статистических данных ежедневно обрушивается на человечество. Существуют ли хоть какие-то законы, которым они подчиняются? Ведь если их нет, то только сбор и накопление данных о каких-либо процессах вряд ли помогут нам предсказывать их поведение в будущем.
К счастью, оказывается, что даже самые непредсказуемые явления подчиняются законам, которые носят универсальный характер. Знание этих законов позволяет успешно планировать бюджет государства, правильно рассчитывать ресурс двигателя, предсказывать ураган и … никогда не проигрывать в «рулетку», - просто отказываясь в нее играть. А вот их незнание порой и приводит к экономическим кризисам, падениям самолетов и банкротству!
Поэтому любой образованный человек должен быть знаком с основами науки, занимающейся изучением законов случая, - теории вероятностей.
2.1. Случайный эксперимент и его свойства
Случайное событие
Случайный эксперимент. Непредсказуемость. Повторяемость
Моделирование эксперимента
Пример 1. Подбрасывание монеты
Пример 2. Подбрасывание кнопки
Пример 3. Подбрасывание кубика
Пример 4. Случайный выбор перчаток
Пример 5. Случайный выбор шаров
Пример 6. Стрельба по мишени
Пример 7. Монета и тетрадный лист
Пример 8. Лотерея "Спортлото 5 из 36"
Пример 9. Рулетка
Пример 10. Весеннее половодье
| НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ |
|
|
Случайное событие
|
Мы называем событие случайным, если при одних и тех же условиях оно может как произойти, так и не произойти. Случайными будут, например, события:
при подбрасывании игрального кубика выпадет 6 очков;
при подбрасывании монеты выпадет орел;
при выстреле в мишень пуля попадет в «десятку»;
по пути в школу вы встретите черную кошку.
Чтобы говорить о случайности или неслучайности какого-то события, нужно иметь возможность неоднократно наблюдать за ним. Недаром каждый из перечисленных примеров начинается со слов «при …» - то есть, при выполнении определенных условий. Эти условия могут создаваться специально или возникать в окружающей нас жизни.
|
Случайный эксперимент
|
Случайным опытом или случайным экспериментом называют комплекс действий или условий, которые можно многократно повторять, а исход, к которому они приводят, заранее непредсказуем.
С примерами случайных экспериментов вы, наверняка, сталкивались и раньше:
подбрасывание монеты или игрального кубика;
проведение лотереи;
стрельба по мишени;
подъем уровня воды во время весеннего половодья.
Последний пример показывает, что случайные эксперименты может совершать и сама природа – в этом случае нам остается лишь наблюдать за их исходами.
Остановимся еще раз на двух важнейших свойствах случайного опыта - непредсказуемости и повторяемости.
|
Непредсказуемость
|
Первым важным свойством случайного опыта является его непредсказуемость: мы не можем заранее предсказать
на какую сторону упадет подброшенная вверх монета или кубик;
какой шар выпадет из лототрона;
в какую точку мишени попадет пуля;
на какой уровень поднимется вода в реке во время весеннего половодья.
|
Повторяемость
|
Вторым важным свойством случайного опыта является его повторяемость: мы (или природа) можем повторять опыт неограниченное число раз в одних и тех же (или очень близких) условиях.
Теория вероятностей не изучает уникальные эксперименты, которые нельзя повторить многократно. Даже если их исходы непредсказуемы.
В 2005 году был запущен космический аппарат «Вояджер», который в 2007 году должен покинуть пределы Солнечной системы. Основная задача «Вояджера» - попытаться обнаружить в нашей галактике «братьев по разуму». Исход этого эксперимента непредсказуем, но повторить его многократно нельзя - во всяком случае до тех пор, пока такие запуски не станут делом повседневным...
|
Моделирование эксперимента
|
Мы будем изучать случайные эксперименты и связанные с ними случайные события на протяжении всей этой главы. Как ни странно, главным помощником при их изучении станет компьютер. Дело в том, что очень часто мы будем заменять реальный случайный опыт его компьютерной моделью.
Моделированием называют исследование каких-либо реальных явлений, процессов через построение их моделей. Моделирование играет в современной науке важнейшую роль. Наблюдение реальных процессов зачастую не только дорого, но и просто невозможно. Именно благодаря моделированию можно правильно рассчитать траекторию космического аппарата или спланировать бюджет страны на следующий год. Правильно построенная модель позволяет изучить все особенности реального процесса и даже предсказать его поведение в будущем.
Модель (от латинского modulus - мера, образец) - идеальный образ, воспроизводящий основные черты изучаемого явления.
Сегодня этот идеальный образ создается чаще всего с помощью компьютера. Именно так мы будем моделировать случайные эксперименты. Вы убедитесь, что компьютерные модели подчиняются тем же закономерностям, что и реальные случайные эксперименты. Поэтому полученные с их помощью результаты можно с уверенностью применять на практике.
Главное преимущество компьютерных экспериментов состоит в том, что их можно мгновенно повторить очень большое число раз (например, 10000 раз «бросить» монету). Сейчас вы убедитесь в этом сами...
|
|
|
Пример 1.
Подбрасывание монеты
Орел
Решка
|
Этот эксперимент в некотором смысле можно считать простейшим случайным опытом. В результате такого эксперимента монета может упасть на одну из двух своих сторон - орла или решку. Напомним, что решкой называется лицевая сторона монеты (аверс), на которой выбит ее номинал - например, 1 рубль. Орлом называется обратная сторона монеты (реверс). На российских монетах на этой стороне изображен герб Российского государства - двуглавый орел.
Считается, что при подбрасывании монеты она с равными шансами может выпасть на орла или решку. Для реальных монет это может быть не совсем так - ведь, в конце концов, стороны монеты не совсем одинаковые. Кроме того, монета может упасть на ребро или вообще закатиться в щель под пол. Однако в теории вероятностей, говоря об эксперименте с монетой, имеют в виду некую идеальную монету, для которой шансы орла и решки в каждом эксперименте равны, и других исходов быть не может.
На вы найдете модель простейшего опыта с монетой, созданную в виртуальной лаборатории «Классическая вероятность».
! Нажмите на кнопку  и проведите несколько случайных опытов с монетой.
! Нажмите на кнопку  и проведите серию из 1000 случайных опытов с монетой. Засеките время, которое потратит на их проведение компьютер, и сравните его со временем, которое пришлось бы потратить вам на проведение реальных 1000 опытов с монетой.
! Нажмите на кнопку  и экспортируйте результаты проведенной серии экспериментов в MS Excel.
|
|
|
Пример 2.
Подбрасывание кнопки
Шляпка
Острие
|
Кнопка отличается от монеты тем, что она явно несимметричная: с одной стороны у нее выступает острие. Если кнопку бросить на стол, то она упадет на него одним из двух возможных способов – шляпкой или острием. Как и в опыте с монетой, точно предсказать, каким из этих двух исходов закончится опыт, невозможно.
На вы найдете модель опыта с кнопкой, созданную в виртуальной лаборатории «Классическая вероятность».
! Нажмите на кнопку и проведите серию случайных опытов с кнопкой.
? Как вы думаете, какой из двух исходов для этой кнопки вероятнее: шляпка или острие?
|
|
|
Пример 3.
Подбрасывание кубика
Развертка
кубика
|
Это следующий по популярности после монеты случайный эксперимент. Речь в нем идет об игральном кубике (или игральной кости), на гранях которого выбиты точки, символизирующие количество очков от 1 до 6.
Если кубик симметричный, то при его подбрасывании он может с равными шансами выпасть на любую из шести граней. Именно с такими идеальными кубиками мы и будем иметь дело в дальнейшем. В реальных кубиках шансы граней могут сильно отличаться. Иногда этого добиваются специально, запаивая внутрь кубика дробинку, смещенную к одной из его граней. Если, например, сместить такую дробинку к грани с 1, то на кубике будет чаще выпадать 6 (см. развертку).
На приведена модель опыта с кубиком, созданная в виртуальной лаборатории «Классическая вероятность».
! Нажмите на кнопку и проведите несколько случайных опытов с кубиком.
? Какой из двух опытов – с кнопкой или кубиком – кажется вам более непредсказуемым? Точнее: в каком из этих опытов, труднее предсказать исход? Почему?
|
|
|
Пример 4.
Случайный выбор перчаток
|
Представьте себе, что в закрытой коробке лежат 3 пары одинаковых перчаток. Из нее, не глядя, вытаскивают две перчатки. Говоря «не глядя», мы лишний раз подчеркиваем непредсказуемость результатов данного опыта. Более точно: мы считаем, что все шесть перчаток имеют одинаковые шансы быть вынутыми из коробки.
На приведена модель случайного выбора, созданная в виртуальной лаборатории «Классическая вероятность».
! Нажмите на кнопку и проведите серию случайных опытов с перчатками.
? Как вам кажется, чаще удается вынуть перчатки на одну руку или на разные? Или эти исходы происходят одинаково часто?
|
|
|
Пример 5.
Случайный выбор шаров
|
В коробке лежат 3 белых и 3 черных шара. Из нее, не глядя, вытаскивают два шара. Ситуация очень напоминает опыт с перчатками: в коробке снова шесть предметов (только на этот раз – шаров). Как и перчатки, они делятся на два вида – черные и белые (перчатки были левые и правые). И выбираем мы опять два из этих шести предметов. По большому счету, это вообще тот же самый опыт: мы, как часто бывает в математике, просто «сменили обозначения».
Модель этого опыта, созданная в ВЛ «Классическая вероятность», также есть на .
! С помощью кнопки  добавьте в коробку еще три красных шара и проведите после этого несколько таких же опытов.
|
|
|
Пример 6.
Стрельба по мишени
|
Стрелок делает выстрел по круглой мишени. Даже если он стреляет очень прицельно, предсказать на все 100%, попадет ли он в «яблочко», невозможно. Правда, в отличие от предыдущих примеров, здесь трудно представить себе многократное повторение опыта в неизменных условиях: от выстрела к выстрелу стрелок может уставать и стрелять хуже или, наоборот, «набивать руку» и улучшать прицельность своей стрельбы.
И все же, в первом приближении, этот опыт тоже можно считать случайным. Модель такого опыта вы также найдете на . Она создана в ВЛ «Геометрическая вероятность», с которой мы познакомимся позднее.
|
|
|
Пример 7.
Монета и тетрадный лист
|
На тетрадный лист в линейку наудачу бросается монета. Но на этот раз интересуются не тем, какой стороной упала монета, а тем, сколько линеек она при этом пересекла. Налицо все признаки случайного эксперимента – непредсказуемость и возможность многократного повторения. Модель этого опыта есть на .
? Может ли монета при данных параметрах модели пересечь 4 линейки? 3? 2? 1? 0?
! С помощью кнопки задайте такой размер монеты, чтобы она могла упасть, не пересекая ни одной линейки.
|
|
|
Пример 8.
Лотерея Спортлото «5 из 36»
|
В лотерее «Спортлото» нужно заполнить карточку, в которой из 36 номеров с названиями видов спорта необходимо зачеркнуть те 5 номеров, которые, по вашему мнению, окажутся выигрышными. Заполненная карточка отправляется по почте в оргкомитет лотереи и участвует в тираже, при проведении которого и определяются 5 выигрышных номеров. Делается это так: из барабана, в котором непрерывно перемешиваются 36 шаров, друг за другом выкатываются 5 выигрышных номеров. Модель такого опыта есть на .
? Что означает в этой модели цвет шаров?
! Проведите серию из 100 «тиражей» Спортлото. Какое максимальное количество номеров вам удалось при этом «угадать»?
|
|
|
Пример 9.
Рулетка
|
Слово рулетка происходит от французского roulette - колесико. Рулетка представляет собой круг, разделенный на сектора, которые могут быть пронумерованы и окрашены в разные цвета.
Чтобы наугад выбрать один из этих секторов, используют разные способы:
раскручивают стрелку, закрепленную в центре круга;
раскручивают сам круг, а стрелку делают неподвижной;
вместо стрелки используют шарик, который бросают на раскрученный круг и ждут, когда он остановится в какой-то из лунок, сделанных в каждом секторе.
Первый способ вы можете увидеть в телевизионной игре «Что? Где? Когда?», второй – в телешоу «Поле чудес», а третий используется в азартной игре, которая так и называется «Рулетка». Все три описанных модели вы найдете на .
! С помощью кнопки попробуйте поменять вид и способ раскручивания рулетки. Проведите несколько случайных опытов.
|
|
|
Пример 10.
Весеннее половодье
|
Во время весеннего половодья уровень воды в реках начинает резко подниматься. Реки выходят из берегов и могут затопить значительные участки суши, находящиеся в пойме. Заранее предсказать, каков будет максимальный уровень подъема воды, невозможно: слишком много причин на это влияют. Именно это обстоятельство позволяет рассматривать весеннее половодье как пример случайного эксперимента, который ставит за нас сама природа.
На представлены результаты таких «экспериментов» над рекой Окой в районе города Калуги за последние 20 лет.
? В каком году разлив был самым сильным?
? Если бы вас попросили сделать прогноз уровня подъема воды в Оке в следующем году, как бы вы поступили?
|
|
|
| ТЕСТЫ |
Вопрос №1
|
Событие, которое при одних и тех же условиях может как произойти, так и не произойти, называется:
непредсказуемым;
случайным;
закономерным;
неизвестным.
|
|
|
Вопрос №2
|
Важнейшие свойства случайного опыта – это ? и ? .
|
|
|
Вопрос №3
|
Укажите соответствие:
Стрельба по мишени
При выстреле в мишень пуля попала в «десятку»
|
Случайное событие
Случайный опыт
|
|
|
|
Вопрос №4
|
? – это исследование каких-либо реальных явлений, процессов через построение их моделей.
|
| ПРАКТИКУМ |
|
|
Задание №1
|
Перед вами модель случайного опыта с монетой. Попробуйте предсказать исход ближайшего опыта: введите свой прогноз и нажмите кнопку «Готово». Сколько попыток вам понадобилось для того, чтобы угадать, чем закончится опыт?
Сравните свои успехи с результатами одноклассников с помощью . Какое число попыток было наименьшим? Какое наибольшим? Сколько попыток понадобилось в среднем по всему классу?
|
|
|
Задание №2
|
Перед вами модель случайного опыта с кубиком. Попробуйте предсказать исход ближайшего опыта: введите свой прогноз и нажмите кнопку «Готово». Сколько попыток вам понадобилось для того, чтобы угадать, чем закончится опыт?
Сравните свои успехи с результатами одноклассников с помощью . Какое число попыток было наименьшим? Какое наибольшим? Сколько попыток понадобилось в среднем по всему классу? В каком опыте - с монетой или кубиком - предсказать исход было легче? С чем это связано?
|
|
|
Задание №3
|
Перед вами модель случайного опыта с двумя кубиками. Попробуйте предсказать, какая сумма очков выпадет на кубиках: введите свой прогноз и нажмите кнопку «Готово». Сколько попыток вам понадобилось для того, чтобы угадать будущее значение суммы?
Сравните свои успехи с результатами одноклассников с помощью . Какое число попыток было наименьшим? Какое наибольшим? Как вы думаете, как надо строить прогноз в этой задаче, чтобы он был наиболее успешным?
|
|
|
Задание №4
|
На приведены два опыта, в которых из коробки с 3-мя красными и 3-мя зелеными шарами друг за другом извлекают 4 шара. В одном из опытов извлеченный шар каждый раз возвращается обратно (выбор с возвращением) в другом - не возвращается (выбор без возвращения).
Определите, какая модель какому опыту соответствует. Свой ответ обоснуйте результатами экспериментов.
|
|
|
Задание №5
|
В игровом автомате три окошка, в каждом из которых может выпасть любая из цифр от 0 до 9. Смоделируйте такой случайный опыт и проведите серию из 100 экспериментов.
|
|
|
Задание №6
|
В коробке лежат три красных и три синих носка. Какое минимальное количество носков нужно одновременно вытащить из коробки, чтобы среди них наверняка оказались носки одного цвета? Постройте соответствующий случайный опыт в лаборатории.
|
|
|
Задание №7
|
На тетрадный лист бросают монету. Расстояние между линейками равно 14 мм. При каком радиусе монеты она наверняка пересечет хотя бы одну линейку? Смоделируйте такой опыт в лаборатории и проверьте свой ответ экспериментально.
|
|
|
Задание №8
|
Перед вами результаты 240 матчей чемпионата России по футболу 2006 года. С определенными оговорками эти матчи можно считать серией случайных опытов, а результатом каждого опыта – две случайные цифры от 0 до 6 (именно в этом диапазоне менялось количество голов, забитых одной командой).
Попробуйте смоделировать такой опыт в лаборатории. Проведите серию из 240 таких опытов и сравните полученные результаты с исходными данными. Есть ли между ними принципиальное отличие? В чем оно состоит?
|
|
|
Задание №9
|
Перед вами данные о 78 пациентах хирургического отделения больницы. В предпоследнем столбце таблицы указана группа крови каждого пациента – число от 1 до 4. Будем считать группу крови результатом случайного эксперимента.
Попробуйте смоделировать такой опыт в лаборатории. Проведите серию из 78 таких опытов и сравните полученные результаты с исходными данными. Есть ли между ними принципиальное отличие? В чем оно состоит?
|
|
|
Задание №10
|
Перед вами уже знакомый опыт, в котором из трех пар одинаковых перчаток наугад выбирают две. Каким случайным опытом с выбором шаров из урны его можно заменить?
Смоделируйте этот опыт в лаборатории. Проведите серию из 1000 опытов с перчатками и такую же серию с шарами. Сравните полученные результаты.
|
|
|
Задание №11
|
Перед вами опыт с тремя монетами. Каким случайным опытом с выбором шаров из урны его можно заменить?
Смоделируйте этот опыт в лаборатории. Проведите серию из 1000 опытов с монетами и такую же серию с шарами. Сравните полученные результаты.
|
|
|
| ИССЛЕДОВАНИЯ |
|
|
Случайные эксперименты вокруг нас
|
Вспомните и соберите как можно больше известных вам случайных экспериментов в природе, обществе, повседневной жизни. Запишите их, распределив по трем категориям:
можем провести сами;
можем наблюдать за ними в природе;
можем наблюдать за ними в общественной жизни.
Обоснуйте, почему их можно считать случайными опытами (для этого вспомните два основных свойства случайного опыта). Приведите результаты хотя бы одного из перечисленных экспериментов, повторив (или пронаблюдав) его не менее 10-ти раз. Как вы думаете, какие из приведенных экспериментов можно смоделировать на компьютере?
Подготовьте по результатам проведенного исследования презентацию в MS Power Point.
|
|
