| НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ |
|
|
Числовые характеристики и таблица частот
|
Мы дали определение трех числовых характеристик, которые можно вычислить для произвольного числового ряда. Однако в статистике, как вы помните, результаты наблюдений удобно представлять не в виде последовательности чисел, а в виде таблицы частот. Как в этом случае найти среднее арифметическое, моду и медиану?
Конечно, можно пойти по такому пути: восстановить по таблице саму выборку (точнее, вариационный ряд) и «свести задачу к предыдущей». К счастью, в этом случае есть более рациональный способ вычислений.
|
|
|
Пример 1.
Средний балл по географии
|
Вернемся к примеру 1 из предыдущего урока. Среднее арифметическое в этом примере мы нашли, просуммировав все оценки и поделив на их количество:
Представим себе, что вместо исходного ряда чисел нам дана таблица частот:
Оценка
|
Абсолютная частота
|
Относительная частота
|
2
|
1
|
0,1
|
4
|
3
|
0,3
|
5
|
6
|
0,6
|
|
10
|
1
|
Как найти по ней сумму всех чисел исходного ряда? В эту сумму каждая из оценок 2, 4 и 5 входит такое же количество раз, какова его абсолютная частота – поэтому формула для среднего будет выглядеть так:
В числителе этой дроби стоят различные значения ряда (первый столбец таблицы), умноженные на их абсолютные частоты (второй столбец). Если поделить почленно числитель нашей дроби на знаменатель, то получится еще одна формула для среднего, в которой используются уже не абсолютные, а относительные частоты:
|
|
|
Вычисление среднего по таблице частот
|
Запишем полученные формулы в общем виде. Пусть  - все различные значения, встречавшиеся в выборке;  - их абсолютные частоты;  - их относительные частоты:
Значения
|
Абсолютная частота
|
Относительная частота
|
|
|
|
|
|
|
…
|
…
|
…
|
|
|
|
Тогда среднее арифметическое выборки может быть найдено по любой из двух формул:
 или 
|
|
|
Вычисление среднего в MS Excel
|
При подсчете среднего по таблице частот функция СРЗНАЧ() в MS Excel уже неприменима! Ее использование неизбежно приведет к ошибке (вы найдете среднее арифметическое различных значений ряда без учета их частоты).
Для правильного подсчета следует добавить к таблице частот еще один столбец, содержащий произведения значений на их относительную частоту, а затем найти сумму чисел в этом столбце:
Значения
|
Абсолютная частота
|
Относительная частота
|
Произведения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
…
|
…
|
…
|
…
|
|
|
|
|
На ³ приведен пример такого вычисления.
|
|
|
Пример 2.
Среднее количество детей
|
Вернемся к распределению женщин по количеству детей, полученному по результатам последней переписи населения. На ³ показано, как по этим данным посчитать среднее количество детей в российской семье. Заметьте, что относительные частоты в таблице заданы в процентах.
Можно сказать (как это ни странно звучит), что в средней российской семье 1,48 ребенка.
|
|
|
Вычисление среднего по интервальной таблице
|
Вычисление числовых характеристик выборки по интервальной таблице частот нуждается в дополнительном разъяснении. Ведь в такой таблице первый столбец занимают не числовые значения ряда, а целые интервалы. Каким образом умножать их на абсолютные или относительные частоты? В этом случае вместо интервалов используют их середины, т.е. полусуммы концов каждого интервала.
|
|
|
Пример 3.
Средний вес портфеля
|
На одном из предыдущих уроков мы рассматривали пример случайной выборки, полученной при взвешивании портфелей первоклассников. По этим результатам была построена интервальная таблица частот. На ³ показано, как посчитать по ней средний вес портфеля.
Полученный результат – 2,43 кг – отличается от среднего веса, посчитанного по самой выборке – 2,3975 кг. Понятно, откуда берется это различие: ведь мы заменяем целую группу чисел, попадающих в интервал, его серединой, поэтому получаем лишь приближенное значение среднего. Но с таким приближением вполне можно смириться: во-первых, величина интервалов небольшая; во-вторых, исходные значения выборки, как правило, лежат как слева, так и справа от середины; наконец, в-третьих, все статистические характеристики все равно носят изменчивый характер - в другой выборке они получатся иными.
|
|
|
Вычисление моды по таблице частот
|
Что касается моды, то ее вычисление по таблице частот происходит совсем просто (это даже нельзя назвать вычислением). Для этого достаточно найти максимальное значение в столбце абсолютных или относительных частот и выбрать соответствующее ему значение числового ряда. В примере с оценками по географии это будет выглядеть так:
Оценка
|
Абсолютная частота
|
Относительная частота
|
2
|
1
|
0,1
|
4
|
3
|
0,3
|
5
|
6
|
0,6
|
|
10
|
1
|
Максимальная абсолютная частота равна 6 (относительная – 0,6); соответствующее ей значение ряда – 5. Значит, мода равна 5.
Если максимальных частот в таблице несколько, то выборка не имеет моды (будет полимодальной).
|
|
|
Пример 4.
«Мода» на количество детей
|
Возвращаясь в этом примере к данным Всероссийской переписи, мы можем найти наиболее частое количество детей для женщин каждой возрастной группы. На ³ приведена таблица частот для разных групп. Максимальная частота в каждой выборке выделена цветом. Видно, что в разных возрастных группах мода колеблется от 0 до 2 детей.
|
|
|
Вычисление моды по интервальной таблице
|
Если данные сгруппированы в интервалы, то вместо моды-числа чаще всего указывают модальный интервал – т.е. такой интервал значений, частота попадания в который максимальна.
|
|
|
Пример 5.
Когда чаще всего забиваются голы?
|
В этом примере на ³ дана выборка матчей футбольного чемпионата России 2003, в которой зафиксировано, на каких минутах забивались голы. Данные сгруппированы в 18 интервалов по 5 минут каждый. На построенной гистограмме хорошо виден интервал, в котором количество забитых голов максимально - от 40 до 45 мин:
|
|
|
Вычисление медианы по таблице частот
|
Нетрудно понять, что для вычисления медианы по таблице частот нужно найти первое значение накопленной частоты, превосходящее 0,5, и выбрать соответствующее ему значение числового ряда. В примере с оценками это будет выглядеть так:
Оценка
|
Абсолютная частота
|
Относительная частота
|
Накопленная частота
|
2
|
1
|
0,1
|
0,1
|
4
|
3
|
0,3
|
0,4
|
5
|
6
|
0,6
|
1
|
|
10
|
1
|
|
Накопленная частота впервые превосходит 0,5 только в последней строке таблицы, значит, медианой выборки будет 5.
А что будет медианой выборки, если одна из накопленных частот в точности равна 0,5? Отметим, что это может случиться только в том случае, если ряд имеет четное число слагаемых (иначе сумма абсолютных частот, равная объему выборки, не разделится ровно пополам). Тогда ровно посредине вариационного ряда будут находиться два значения: то, для которого накопленная частота равна 0,5, и следующее за ним. Значит, для вычисления медианы нужно взять их полусумму.
|
|
|
Пример 6.
Медианный возраст населения
|
В демографии, помимо распределения населения по возрастным группам, важной обобщенной характеристикой возрастного состава служит медианный возраст населения, который разделяет все население на две равные части: одну - моложе, а другую - старше этого возраста. По данным ООН, медианный возраст населения мира составляет на сегодняшний день около 28 лет. К 2050 году по прогнозам той же ООН он должен повыситься до 38 лет.
На ³ приведены данные последней переписи населения России – распределение населения по возрастным группам – и показано, как на основе этих данных посчитать медианный возраст населения России. Полученный результат заставляет задуматься: уже сейчас медианный возраст в России составляет почти 37 лет…
|
|
|
Вычисление медианы по интервальной таблице
|
Для вычисления медианы по интервальной таблице частот используют пропорциональное деление отрезка, на котором происходит «перевал» накопленной частоты через 0,5. Разберем это на уже знакомом примере с портфелями:
Вес портфеля
|
Абс. частота
|
Отн. частота
|
Накопл. частота
|
от 1 до 2
|
6
|
0,3
|
0,3
|
от 2 до 3
|
10
|
0,5
|
0,8
|
от 3 до 4
|
3
|
0,15
|
0,95
|
от 4 до 5
|
1
|
0,05
|
1
|
Переход накопленной частоты через 0,5 происходит на интервале от 2 до 3. При этом, в левом конце интервала накопленная частота равна 0,3, а в правом – 0,8:
Обозначив неизвестную нам медиану через  , составим следующую пропорцию:
 ,
откуда  .
|
|
|
| ТЕСТЫ |
|
|
Вопрос №1
|
Найдите среднее значение, моду и медиану ряда, заданного таблицей относительных частот:
Значение
|
-2
|
-1
|
0
|
1
|
2
|
Относительная частота
|
0,2
|
0,3
|
0,4
|
0
|
0,1
|
|
|
|
Вопрос №2
|
В течение года Лена получила следующие отметки за контрольные по алгебре: три «двойки», две «тройки», четыре «четверки» и одну «пятерку». Найдите среднее арифметическое, моду и медиану этих данных.
|
|
|
Вопрос №3
|
Президент компании получает зарплату 100 000 р. в месяц, четверо его заместителей получают по 20 000 р., а 20 служащих компании – по 10 000 р. Найдите все средние характеристики зарплат в компании.
|
|
|
| ПРАКТИКУМ |
|
|
Задание №1
|
В таблице приведены данные о возрастном составе участников школьного хора:
Возраст (лет)
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
Число участников
|
3
|
6
|
5
|
1
|
2
|
3
|
2
|
2
|
1
|
Найдите его среднее арифметическое, моду и медиану.
|
|
|
Задание №2
|
В таблице приведены данные о росте участников легкоатлетических соревнований:
Рост (см)
|
[160;165)
|
[165;170)
|
[170;175)
|
[175;180)
|
[180;185)
|
[185;190)
|
Число участников
|
5
|
12
|
19
|
25
|
10
|
7
|
Найдите его среднее арифметическое, интервальную моду и медиану.
|
|
|
Задание №3
|
Вернемся к данным о количестве детей в семьях россиянок, участвовавших в последней переписи населения. Определите по данным, представленным на ³, все средние характеристики этой выборки.
|
|
|
Задание №4
|
Среди пользователей одного из Интернет-сайтов был проведен опрос: сколько времени они проводят в Интернете. Результаты опроса приведены на ³. Сколько часов в день проводит в Интернете средний пользователь этого сайта?
|
|
|
Задание №5
|
На ³ записана таблица, содержащая статистические данные по всем странам мира. В частности, в ней есть такие характеристики, как территория, население и плотность населения в каждой из стран. Требуется найти среднюю плотность населения на Земле. Какой из следующих способов верный:
Способ 1-й: найти среднее арифметическое плотностей населения всех стран, приведенных в таблице.
Способ 2-й: сложить население всех стран, и поделить их на суммарную площадь этих стран.
А может быть, оба способа дают одинаковый ответ? Выберите правильный способ и найдите среднюю плотность населения на земном шаре.
|
|
|
Задание №6
|
На ³ представлен баланс матчей сборной России по футболу за все годы ее выступления в официальных международных матчах (до 2006 года). Найдите, сколько мячей в среднем забивает и пропускает сборная России за один матч.
|
|
|
Задание №7
|
На ³ приведено статистическое распределение случайной выборки взрослых (старше 15 лет) мужчин по размерам обуви. Какие средние характеристики могут иметь смысл в этой ситуации? Отметьте их и найдите, чему они равны.
|
|
|
Задание №8
|
На ³ данные, полученные в результате случайной выборки более, чем 10 000 дорожно-транспортных происшествий, произошедших за последние несколько лет на дорогах России. Приведенная таблица показывает статистическое распределение количества пострадавших. Найдите по этим данным среднее значение, моду и медиану для количества пострадавших в одном ДТП. На основе полученных данных ответьте на вопрос: какой из перечисленных видов ДТП является по статистике наиболее частым?
|
|
|
Задание №9
|
На ³ приведены результаты одного из тиражей лотереи «Спортлото 6 из 49», в которой нужно угадать 6 чисел из 49. За 3, 4, 5 и 6 угаданных номеров дается выигрыш (размер выигрыша также указан на ³). Какой доход с одной карточки получают устроители лотереи, если цена одной карточки – 50 рублей?
|
|
|
Задание №10
|
На ³ приведены данные о возрастном составе публики, полученные в результате опроса посетителей на выставках в Государственном Русском Музее (в % к числу опрошенных). Определите, какая из выставок пользовалась большей популярностью среди молодежи, а какая – среди людей пожилого возраста.
|
|
|
Задание №11
|
На ³ приведены официальные данные ГКС о распределении населения России по уровню доходов с 2002 по 2006 год. Найдите по этим данным, как за этот период изменялся доход среднестатистического россиянина.
|
|
|
Задание №12
|
На ³ приведены официальные данные ГКС РФ о распределении населения России по величине среднедушевых доходов и прожиточном минимуме. Вычислите и подставьте вместо многоточий соответствующие числовые характеристики:
В 2004 году средний доход россиянина составлял ... рублей.
В 2003 году около половины россиян имело доход свыше ... рублей на человека.
В 2002 году около ... % всех россиян жило за чертой бедности, т.е. имело доход меньше прожиточного минимума.
|
|
|
Задание №13
|
Одним из электронных журналов был проведен опрос, в котором каждый подписчик должен был указать название своего любимого Web-сайта и свой месячный доход. В результате была получена таблица, представленная на ³. Определите сайты, посетители которых имеют в среднем самый большой доход и самый маленький доход.
|
|
|
Задание №14
|
На ³ содержатся статистические данные о возрасте женщин, родивших детей в г. Москве с 2000 по 2002 годы. Найдите по эти данным средний возраст рожениц.
|
|
|
Задание №15
|
На ³ содержатся статистические данные о возрасте женщин, родивших детей в г. Москве в течение 2002 года с разделением их по округам. Найдите по эти данным самый «молодой» округ и самый «пожилой».
|
|
|
Задание №16
|
На ³ записаны три таблицы, полученные в результате последних переписей населения в России, Белоруссии и Украине. Определите по этим данным, как соотносится между собой медианный возраст населения в этих трех странах.
|
|
|
Задание №17
|
В двух таблицах на ³ содержатся результаты ЕГЭ в 2005 году по всем регионам России: в первой дано количество участников в каждом регионе, во второй – средний балл по каждому региону. Найдите средний балл по математике по всей России в целом.
|
|
|
| ИССЛЕДОВАНИЯ |
|
|
ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ
|
Проведите в своей школе социологический вопрос для определения среднего времени, которое тратят на приготовление домашних заданий ученики разных классов. Попробуйте разработать такую анкету, чтобы попутно выяснить и на что тратится остальное время (сон, дорога в школу, занятия спортом, телевизор и т.д.).
|
|
|
