1.8. Ряды динамики и их применение в анализе социально-экономических явлений
1.8.1. Установление вида ряда динамики
Основная цель статистического изучения динамики экономических процессов состоит в выявлении и измерении закономерностей их развития во времени. Это достигается посредством построения и анализа статистических рядов динамики.
Рядами динамики называются статистические данные, отображающие развитие изучаемого явления во времени. В каждом ряду динамики имеются два основных элемента: показатель времени t; соответствующие им уровни развития изучаемого явления у. В качестве показаний времени в рядах динамики выступают либо определенные даты (моменты) времени, либо отдельные периоды (годы, кварталы, месяцы, сутки).
Уровни рядов динамики отображают количественную оценку (меру) развития во времени изучаемого явления. Они могут выражаться абсолютными, относительными или средними величинами.
В зависимости от характера изучаемого явления уровни рядов динамики могут относиться или к определенным датам (моментам) времени, или к отдельным периодам. В соответствии с этим, ряды динамики подразделяются на моментные и интервальные.
Моментные ряды динамики отображают состояние изучаемых явлений на определенные даты (моменты) времени.
Примером моментного ряда динамики является следующая информация о списочной численности работников фирмы N в 1994 г.:
Дата1.011.041.071.101.01Год1994 г.1994 г.1994 г.1994 г.1995 г.Число работников, чел.192190195198200
Особенностью моментного ряда динамики является то, что в его уровни могут входить одни и те же единицы изучаемой совокупности. Так, основная часть персонала фирмы N, составляющая списочную численность на 1.01.1994г., продолжающая работать в течение данного года, отображена в уровнях последующих периодов. Поэтому при суммировании уровней моментного ряда динамики может возникнуть повторный счет.
Интервальные ряды динамики отображают итоги развития (функционирования) изучаемых явлений за отдельные периоды (интервалы) времени.
Примером интервального ряда динамики могут служить данные о розничном товарообороте магазина в 1990-1994 гг.:
Год19901991199219931994Объем розничного товарооборота, тыс. руб.885,7932,6980,11028,71088,4Особенностью интервального ряда динамики является то, что каждый его уровень складывается из данных за более короткие интервалы времени. Например, суммируя товарооборот за первые три месяца года, получают его объем за I квартал, а сумма товарооборота четырех кварталов дает объем товарооборота за год и т.д.
Ряды динамики могут быть полными и неполными.
Полный ряд - ряд динамики, в котором одноименные моменты времени или периоды времени строго следуют один за другим в календарном порядке или равноотстоят друг от друга.
Неполный ряд динамики - ряд, в котором уровни зафиксированы в неравноотстоящие моменты или периоды времени.
Пример.
Численность населения СССР характеризуется данными переписей, млн. чел.:
1939 1959 1970 1979 неполный моментный ряд
170,6 208,8 241,7 262, 4 абсолютных величин
Пример.
Производство электроэнергии характеризуется следующими данными, млрд. кВт-ч.:
1930 1940 1950 1960 полный интервальный ряд
48,6 91,2 292,3 740,9 абсолютных величин
1.8.2. Приведение рядов динамики в сопоставимый вид
Ряды динамики, изучающие изменение статистического показателя, могут охватывать значительный период времени, на протяжении которого могут происходить события, нарушающие сопоставимость отдельных уровней ряда динамики (изменение методологии учета, изменение цен и т.д.).
Для того, чтобы анализ ряда был объективен, необходимо учитывать события, приводящие к несопоставимости уровней ряда и использовать приемы обработки рядов для приведения их в сопоставимый вид.
Наиболее характерные случаи несопоставимости уровней ряда динамики:
1) территориальные изменения объекта исследования, к которому относится изучаемый показатель (изменение границ городского района, пересмотр административного деления области и т.д.);
2) разновеликие интервалы времени, к которым относится показатель (так, например, в феврале - 28 дней, в марте - 31 день; анализируя изменения показателя по месяцам, необходимо учитывать разницу в количестве дней);
3) изменение даты учета (например, численность поголовья скота в разные годы могла определяться по состоянию на 1 января или на 1 октября, что в данном случае приводит к несопоставимости);
4) изменение методологии учета или расчета показателя;
5) изменение цен;
6) изменение единиц измерения.
Следовательно, прежде чем анализировать ряд динамики, надо. Исходя из цели исследования, обеспечить сопоставимость уровней ряда дополнительными расчетами, т.е. произвести так называемое смыкание рядов динамики.
Пример.
Динамика изменения численности населения района области по состоянию на 1 января (в тыс. человек) представлена рядом динамики:
1982 1983 1984
22,0 22,3 22,8 - в старых границах района.
В 1984 году произошло изменение административного деления области, и площадь района увеличилась, соответственно увеличилась и численность населения района:
1984 1985 1986
34,2 34,3 34,4 - в новых границах района.
Для приведения ряда в сопоставимый вид необходимо для 1984 года знать численность населения в старых и новых границах района для определения коэффициента пересчета:
Все уровни ряда, предшествующие 1984 году, умножаются на коэффициент К и ряд принимает вид:
1982 1983 1984 1985 1986
33,0 33,3 34,2 34,3 34,4
После этого преобразования ряда динамики возможен дальнейший анализ ряда (определение темпов роста и др.).
1.8.3. Определение среднего уровня ряда динамики
В качестве обобщенной характеристики уровней ряда динамики служит средний уровень ряда динамики . В зависимости от типа ряда динамики используются различные расчетные формулы.
Интервальный ряд абсолютных величин с равными периодами (интервалами времени): .
Моментный ряд с равными интервалами между датами:
Моментный ряд с неравными интервалами между датами: , где - уровни ряда, сохраняющиеся без изменения на протяжении интервала времени .
1.8.4. Показатели изменения уровней ряда динамики
Одним из важнейших направлений анализа рядов динамики является изучение особенностей развития явления за отдельные периоды времени.
С этой целью для динамических рядов рассчитывают ряд показателей:
К – коэффициенты роста;
Т - темпы роста;
- абсолютные приросты;
- темпы прироста.
Коэффициент роста - относительный показатель, получающийся в результате деления двух уровней одного ряда друг на друга. Коэффициент роста показывает, во сколько раз уровень одного периода больше (меньше) другого, принимаемого за базу для сравнения. Коэффициенты роста могут рассчитываться как цепные, когда каждый уровень ряда сопоставляется с предшествующим ему уровнем: , либо как базисные, когда все уровни ряда сопоставляются с одним и тем же уровнем , выбранным за базу сравнения:.
Коэффициенты роста, представленные в виде процентов, называются темпами роста. Темп роста показывает, сколько процентов уровень одного периода составляет по отношению к уровню другого периода, принимаемого за базу для сравнения.
Абсолютный прирост - разность между двумя уровнями ряда динамики, имеет ту же размерность, что и уровни самого ряда динамики. Он показывает, на сколько в абсолютном выражении уровень одного периода больше (меньше) другого, принимаемого за базу для сравнения. Абсолютные приросты могут быть цепными и базисными, в зависимости от способа выбора базы для сравнения:
цепной абсолютный прирост - ;
базисный абсолютный прирост - .
Для относительной оценки абсолютных приростов рассчитываются показатели темпов прироста.
Темп прироста - относительный показатель, показывающий, на сколько процентов один уровень ряда динамики больше (или меньше) другого, принимаемого за базу для сравнения: Т = Т - 100%.
Если разделить абсолютный прирост (цепной) на темп прироста (цепной) за соответствующий период, получим показатель, называемый - абсолютное значение одного процента прироста: .
Между базисными и цепными абсолютными приростами существует взаимосвязь: сумма цепных абсолютных приростов равна базисному абсолютному приросту последнего периода ряда динамики.
Взаимосвязь между базисными и цепными коэффициентами роста такова: произведение последовательных цепных коэффициентов роста равно базисному коэффициенту роста, а частное от деления последующего базисного коэффициента роста на предыдущий равно соответствующему цепному коэффициенту роста.
Пример.
Выпуск продукции предприятия за 1985 - 1990 гг. характеризуются следующими данными (в сопоставимых ценах), млн. руб.:
19851986198719881989199023,324,926,627,629,032,2Требуется произвести анализ динамики выпуска продукции предприятием за пять лет.
1. Определяем цепные и базисные коэффициенты роста (К).
Цепные: Базисные:
2. Определяем цепные и базисные темпы роста (Т).
Цепные: Базисные:
3. Определяем цепные и базисные абсолютные приросты ().
Цепные: Базисные:
4. Определяем цепные и базисные темпы прироста ().
Цепные: Базисные:
Проверим связь между базисными и цепными абсолютными приростами:
.
Проверим связь между базисными и цепными коэффициентами роста:
.
1.8.5. Определение средних показателей динамики
По показателям изменения уровней ряда динамики (абсолютные приросты, темпы роста и прироста), полученным в результате анализа исходного ряда, могут быть рассчитаны обобщающие показатели в виде средних величин - средний абсолютный прирост, средний темп роста, средний темп прироста.
Средний абсолютный прирост может быть получен по одной из формул:
или , где n - число уровней ряда динамики;
- первый уровень ряда динамики;
- последний уровень ряда динамики;
- цепные абсолютные приросты.
Средний коэффициент роста можно определить, пользуясь формулами:
; ; ,
где n - число рассчитанных цепных или базисных темпов роста;
- уровень ряда, принятый за базу для сравнения;
- последний уровень ряда;
- цепные коэффициенты роста;
- первый базисный коэффициент роста;
- последний базисный коэффициент роста.
Средний темп роста вычисляется по формуле:
.
Средний темп прироста:
, или .
Средняя величина абсолютного значения 1% прироста:
1.8.6. Определение в рядах динамики общей тенденции развития (тренд)
Определение уровней ряда динамики на протяжении длительного периода времени обусловлено действием ряда факторов, которые неоднородны по силе и направлению воздействия, оказываемого на изучаемое явление.
Рассматривая динамические ряды, пытаются разделить эти факторы на постоянно действующие и оказывающие определяющее воздействие на уровни ряда, формирующие основную тенденцию развития, и случайные факторы, приводящие к кратковременным изменениям уровней ряда динамики. Наиболее важна при анализе ряда динамики его основная тенденция развития (тренд), но часто по одному лишь внешнему виду ряда динамики ее установить невозможно, поэтому используют специальные методы обработки, позволяющие показать основную тенденцию ряда. Методы обработки используются как простые, так и достаточно сложные.
Простейший способ обработки ряда динамики, применяемый с целью установления закономерностей развития - метод укрупнения интервалов.
Суть метода в том, чтобы от интервалов, или периодов времени, для которых определены исходные уровни ряда динамики, перейти к более продолжительным периодам времени и посмотреть, как уровни ряда изменяются в этом случае.
Пример.
Данные о реализации молочной продукции в магазинах города по месяцам представлены таблицей (в тоннах)
месяц198719881989январь5,35,35,4февраль5,35,15,2март7,98,38,2апрель 8,29,09,3май9,89,510,1июнь12,513,013,1июль11,812,212,5август10,310,410,8сентябрь8,28,08,3октябрь6,56,66,8ноябрь5,45,55,7декабрь5,55,55,6итого за год96,798,4101Исходные уровни ряда динамики подвержены сезонным изменениям; для определения общей тенденции развития переходят от ежемесячных уровней к годовым уровням:
1987г. - 96,7 тонн
1988г. - 98,4 тонн
1989г. - 101 тонна
Эти цифры, полученные в результате перехода к годовым уровням ряда динамики, показывают общую тенденцию роста реализации молочной продукции.
Другой способ определения тенденции в ряду динамики — метод скользящих средних. Суть метода заключается в том, что фактические уровни ряда заменяются средними уровнями, вычисленными по определённому правилу, например:
— исходные или фактические уровни ряда динамики заменяются средними уровнями:
...
...
...
В результате получается сглаженный ряд, состоящий из скользящих пятизвенных средних уровней . Между расположением уровней и устанавливается соответствие:
— — — — ,
сглаженный ряд короче исходного на число уровней , где k - число уровней, выбранных для определения средних уровней ряда.
Сглаживание методом скользящих средних можно производить по четырём, пяти или другому числу уровней ряда, используя соответствующие формулы для усреднения исходных уровней.
Полученные при этом средние уровни называются четырёхзвенными скользящими средними, пятизвенными скользящими средними и т.д.
При сглаживании ряда динамики по чётному числу уровней выполняется дополнительная операция, называемая центрированием, поскольку, при вычислении скользящего среднего, например по четырём уровням, относится к временной точке между моментами времени, когда были зафиксированы фактические уровни и . Схема вычислений и расположений уровней сглаженного ряда становится сложнее:
... — исходные уровни;
— — ... — сглаженные уровни;
— — ... — центрированные сглаженные уровни;
.
Метод скользящих средних не позволяет получить численные оценки для выражения основной тенденции в ряду динамики, давая лишь наглядное графическое представление (пример 1).
Пример.
Таблица 1.
ГодыВаловый сбор хлопка-сырца, млн. т.Скользящая средняя по 5 уровням19604,3— 19614,5— 19624,34,7219635,25,0019645,35,3019655,75,6419666,05,7819676,05,8619685,96,1019695,76,3219706,96,5819717,16,9419727,37,4819737,77,6819748,47,9219757,98,2219768,38,3819778,88,5419788,58,9419799,29,1819809,99,3019819,6— 19829,3—
На рис. 1 показан график, построенный по данным о валовом сборе хлопка-сырца в стране за ряд лет наблюдения и по расчетным данным, представленным в таблице 1.
Рис. 1. Валовый сбор хлопка - сырца
Наиболее совершенным способом определения тенденции развития в ряду динамики является метод аналитического выравнивания. При этом методе исходные уровни ряда динамики заменяются теоретическими или расчетными , которые представляют из себя некоторую достаточно простую математическую функцию времени, выражающую общую тенденцию развития ряда динамики. Чаще всего в качестве такой функции выбирают прямую, параболу, экспоненту и др.
Например, ,
где - коэффициенты, определяемые в методе аналитического выравнивания;
- моменты времени, для которых были получены исходные и соответствующие теоретические уровни ряда динамики, образующие прямую, определяемую коэффициентами .
Расчет коэффициентов ведется на основе метода наименьших квадратов:
Если вместо подставить (или соответствующее выражение для других математических функций), получим:
Это функция двух переменных (все и известны), которая при определенных достигает минимума. Из этого выражения на основе знаний, полученных в курсе высшей математики об экстремуме функций n переменных, получают значения коэффициентов .
Для прямой:
где n — число моментов времени, для которых были получены исходные уровни ряда .
Если вместо абсолютного времени выбрать условное время таким образом, чтобы , то записанные выражения для определения упрощаются:
Пример.
Нечетное число уровня ряда.
1981198219831984198519861987 абсолютное время-3-2-10123условное время
Чётное число уровней ряда.
19811982198319841985198619871988абсолютное время-7-5-3-11357условное время
В обоих случаях .
Пример.
Выполняется аналитическое выравнивание ряда, отражающего производство стали в стране по годам (млн. т).
19851986198719881989141,3144,8146,7151,5149,0
В качестве математической функции, отражающей тенденцию развития, выбирается прямая , определение производится для условного времени, в результате , .
ГодПроизводство стали Условное время
Теоретические уровни
1985141,3-2142,21986144,8-1144,41987146,70146,71988151,51148,91989149,02151,1
1.8.7. Определение в рядах внутригодовой динамики (учет сезонных изменений)
Многие процессы хозяйственной деятельности, торговли, сельского хозяйства и других сфер человеческой деятельности подвержены сезонным изменениям, например, продажа мороженого, потребление электроэнергии, производство молока, сахара, продажа сельхозпродукции и др.
Для анализа рядов динамики, подверженных сезонным изменениям, используются специальные методы, позволяющие установить и описать особенности изменения уровней ряда. Прежде, чем использовать методы изучения сезонности, необходимо подготовить данные, приведённые в сопоставимый вид, за несколько лет наблюдения по месяцам или кварталам. Изменения сезонных колебаний производится с помощью индексов сезонности. В зависимости от существующих в ряду динамики тенденций используются различные правила построения индексов.
1. Ряд динамики не имеет общей тенденции развития, либо она не велика.
Индекс сезонности: ,
где — средний уровень ряда, полученный в результате осреднения уровней ряда за одноимённые периоды времени (например, средний уровень января за все годы наблюдения); — общий средний уровень ряда за всё время наблюдения.
Вывод о наличии или отсутствия в ряду динамики ярко выраженной тенденции может производиться, например, при помощи метода укрупнения интервалов.
Пример. Имеются данные заключения брака в городе за ряд лет наблюдения:
Месяц198619871988январь173183178февраль184185179март167162161апрель142160184май137143151июнь145150156июль153167177август171173181сентябрь143150157октябрь162165174ноябрь178181193декабрь185189197итого за год194020082088При переходе от месячных к годовым уровням можно установить, что тенденция роста очень незначительна.
Общий средний уровень ряда:
— среднее число браков, заключаемых за один день.
Средний уровень января:
— среднее число браков за один день января.
Аналогично рассчитывается средние уровни февраля, марта и т.д. Результаты расчётов сведены в таблицу:
Месяцянварь5,74104,2февраль6,45117,1март5,2795,6апрель5,488,0май4,6384,0июнь5,0191,0июль5,3496,9август5,64102,4сентябрь5,090,7октябрь5,3997,8ноябрь6,13111,3декабрь6,14111,4Полученные индексы сезонности дают оценку того, как в отдельные месяцы года количество заключённых браков отклоняется от среднего значения. Построенный по полученным индексам сезонности линейный график наглядно покажет сезонность рассматриваемого процесса.
2. Ряд динамики имеет общую тенденцию, и она определена либо методом скользящего среднего, либо методом аналитического выравнивания.
Индекс сезонности ,
где — исходные уровни ряда:
— уровни ряда, полученные в результате определения скользящих средних для тех же периодов времени, что и исходные уровни:
I — номер месяца или квартала, для которого определяется индекс сезонности:
n — число лет наблюдения за процессом.
В случае, если тенденция развития определялась методом аналитического выравнивания, расчетная формула получения индексов сезонности совершенно аналогична предыдущей, но вместо — уровней, полученных методом скользящих средних, используются — полученные методом аналитического выравнивания.
Пример.
На основе исходных данных о реализации сахара в продовольственных магазинах города в 1990 — 1992 гг. (т), определены скользящие средние по трем уровням ряда:
199019911992МесяцИсходные уровни
Сглажен. уровни
Исходные уровни
Сглажен. уровни
Исходные уровни
Сглажен. уровни
январь78,9-------108,6106,2129,1131,3февраль78,181,0107,9107,8128,6129,5март86,087,2106,8115,4130,7137,4апрель97,588,9132,1117,3152,8141,1май83,388,9113,0119,0139,8146,7июнь86,086,6111,8116,4147,4150,3июль90,687,6124,4116,8163,8152,5август86,186,0114,1115,6146,3149,3сентябрь81,390,8108,4115,6137,8145,4октябрь105,194,5124,0117,0152,2144,4ноябрь97,2101,5118,0126,2143,2150,6декабрь102,1102,6136,3128,0156,5-------
На основе исходных и сглаженных уровней ряда строятся индексы сезонности:
Так для января:
Для февраля:
и т.д.
Индексы сезонности по месяцам сведены в таблицу:
Месяц123456789101112
100
98
96
110
95
98
106
96
93
107
95
103Построив линейный график, можно увидеть закономерности изменения объёма продаж сахара по месяцам года.
|
