Section IV. Engineering (Технические науки)
Звягин Е.М., Исламов М.Ф, Гасымов Э.И.
Тюменский государственный нефтегазовый университет
Основы построения геологической модели. Геологическая модель как источник исходных данных для гидродинамической модели
Отправной точкой к адаптации универсальных гидродинамических моделей месторождений к конкретным ГПП, служит построение их геологических моделей, которые описывают распределение свойств пластовой системы необходимые в качестве исходных данных для модели ГПП. Такими свойствами в основном являются:
– абсолютные проницаемости пород коллекторов по направлениям X, Y и Z;
– нефте, водо и газонасыщенности;
– начальные или текущие пластовые давления;
– коэффициенты открытой пористости;
– коэффициенты песчанистости или отношения эффективной толщины к полной толщине пластов;
– абсолютные отметки кровли и подошвы пластов
Полноценная геологическая модель подразумевает описание геолого-физических свойств пластов, объединенных ГПП в системе трех координат X, Y и Z.
Таким образом, геологическая модель фактически систематизирует обработанные данные геофизических и гидродинамических исследований, посредством восстановления геометрии геологических объектов и распределения по их объему фильтрационно-емкостных свойств, а также ряд других физических свойств, необходимых для формирования замыкающих отношений в каждом элементе пласта.
В настоящее время существует множество методик построения геологических моделей, однако все они основаны на методах численных методах интерполяции и аппроксимации.
Интерполяция в математике – это отыскание промежуточных значений величины по некоторым известным её значениям. Например, отыскание значений функции f(x) в точках х, лежащих между точками (узлами интерполирования) x0 < x1 < ... < xn, по известным значениям yi = f (xi) (где i = 0, 1, ..., n). В случае если х лежит вне интервала, заключённого между x0 и xn, аналогичная задача называется задачей экстраполяции. При простейшей линейной интерполяции значение f(x) в точке х, удовлетворяющей неравенствам x0 < x < x1, принимают равным значению линейной функции, совпадающей с f(x) в точках х = x0 и х = x1.
 (1)
Задача интерполяции со строго математической точки зрения является неопределённой: если про функцию f(x) ничего неизвестно, кроме её значений в точках x0, x1,..., хn, то её значение в точке х, отличной от всех этих точек, остаётся совершенно произвольным. Задача интерполяции приобретает определённый смысл, если функция f (x) и её производные подчинены некоторым неравенствам.
 (2)
Более сложные интерполяционные формулы имеет смысл применять лишь в том случае, если есть уверенность в достаточной «гладкости» функции, т.е. в том, что она обладает достаточным числом не слишком быстро возрастающих производных.
Кроме вычисления значений функций, интерполяция имеет и другие многочисленные приложения (например, при приближённом интегрировании, приближённом решении уравнений, в статистике при сглаживании рядов распределения с целью устранения случайных искажений).
Таким образом, задача интерполяции сводится к нахождению коэффициентов заданной (которой определяется метод) функции таким образом, чтобы кривая или поверхность проходила через заданные точки [1].
При выборе того, или иного метода возникает ряд проблем, связанных с адекватностью выбора метода, с помощью которого возможно получить наиболее достоверную геологическую модель. Суть проблемы состоит в том, что тот или иной вид функции может частично повторять природную суть отражаемого (в модели) объекта или не повторять ее совсем. Однако правильность выбора функции (метода интерполяции) можно проверить только при получении дополнительных данных.
В дальнейшем под геологической моделью (будь то, геометрия пласта или распределение фильтрационно-емкостных свойств) будем подразумевать функцию P=f(x,y) связывающую параметр P и координаты x и y, где P – может быть абсолютной отметкой (если восстанавливается геометрия) или, например, проницаемостью (если восстанавливается распределение проницаемости по простиранию пласта в плоскости X–Y).
На данный момент развития методологии интерполяции, аппроксимации и экстраполяции существует также проблема представления и хранения информации, описывающей взаимосвязь между значениями функции и ее аргументов.
Существует два основных способа представления функций:
аналитическое представление;
сеточное представление («табулированные» функции).
Аналитическое представление функции имеет преимущество по сравнению с сеточным представлением: компактность хранения и точность воспроизведения (отражения) значений функции в зависимости от значений аргументов. Такой способ представления функции используется повсеместно во всех теориях для описания различных моделей поведения природных объектов. Однако для отражения форм природных объектов на данном этапе развития человечества, данный способ представления функции применить не возможно, ввиду отсутствия возможности описания одной (пусть даже сложной) формулой взаимосвязи между несколькими параметрами.[2]
В связи с этим, для представления геологических моделей используется второй способ: сеточное представление функции.
Суть данного способа состоит в хранении значений функции в точках равномерно распределенных по областям определения аргументов.
Сеточное представление функций является универсальным, однако имеет ряд недостатков:
(4.227)
Необходим большой объем информации для хранения данных, причем тем больший, чем больше требуемая точность. Наиболее часто используемой сеткой для интерполяции поверхностей кровли и подошвы пластов является сетка 100100 – 300300, а использование более плотной сетки является информационно емким: для сетки 500500, объем информации составляет 5005003 значения 8 байт/значение и равно 6000000 Байт на хранение поверхности кровли/подошвы. Допустим ГПП состоит из 5 пластов, для построения геологической модели по каждому из пластов необходимо хранить и обрабатывать поверхности кровли, подошвы, распределения абсолютной проницаемости, пластового давления, открытой пористости, нефтенасыщенности, водонасыщенности, газонасыщенности и песчанистости. Для распределения фильтрационно-емкостных (ФЭС) свойств по объему пластов их распределение необходимо описать отдельными поверхностями для каждого слоя. Допустим, количество слоев для каждого пласта составляет 9, тогда общее количество поверхностей будет
 , (3)
где  – количество слоев для распределения ФЭС по объему;
 – количество величины ФЭС;
 – количество пластов в ГПП.
Тогда объем информации необходимый для хранения и использования геологической модели будет определяться зависимостью
 , (4)
где VI – объем информации, байт;
 – количество точек сетки по Х;
 – количество точек сетки по Y;
 – количество байт для хранения одного числа, (4, 8 или 10).
Причем множитель 3 означает хранение трех координат, что необходимо для геологических моделей, пласты которых имеют разные границы области определения X–Y. Если границы одинаковы, тогда сомножитель 3 можно исключить. Если  , то
 Байт или =2059.9 МБайт.
Из приведенного расчета следует, что использование сетки 500500 практически невозможно, так как работа ЭВМ с таким объемом информации будет недопустимо медленной. Поэтому наиболее часто используемой сеткой является 100100, а объем информации для нашего примера составляет
 МБайт.
Такой объем информации вполне приемлем для обработки и хранения на ЭВМ широкого спектра. Однако расстояние между соседними значениями аргументов X и Y может достигать 50–250 м, что ведет к значительным погрешностям отражения поверхностей для пластов с большими перепадами интерполируемых параметров.
Невозможность точного прохождения поверхности или линии через заданные (исходные для интерполяции) точки во всех случаях, кроме совпадения дискретных (сеточных) значений аргументов с исходными значениями.
При использовании и/или отображении функции требуется равномерная линеаризация каждого участка xi–xi+1, yj–yj+1, (приведение к плоскости, ограниченной парой треугольников), что не позволяет точно отразить форму поверхности в зонах с резкими перепадами интерполируемого параметра (P)
Рассмотрим часто применяемые методы интерполяции [3].
В ходе исследования выявлено, что погрешность построения поверхности функции, на основе нелинейной интерполяции исходных данных, связана с двумя основными факторами:
полученная поверхность проходит вблизи (не пересекает) исходных точек, а в ряде случаев, удалена от них на значительное расстояние.
в сетке поверхности присутствуют необоснованные скачки значений функции, т.е. интерполируемого параметра – P.
Ошибка удаленности точек. Выявлено, что во всех методах, за исключением методов построения с помощью триангуляции Делоне полученная поверхность не пересекает исходных точек.
Для того чтобы определить причины возникновения такой погрешности, рассмотрим подробнее процесс построения интерполяционной поверхности. Для наглядности изложения будем использовать систему двух координат, а методом построения – сплайн.
Согласно цели интерполяции, как видно из рисунка 1 – а, происходит соединение исходных точек некой плавной линией (например, сплайном). Полученная кривая точно проходит через исходные точки.
Для сеточного представления (хранения) область определения аргумента на оси Х разбивается на равные интервалы (см. рисунок 1 – б), а точки пересечения интерполирующей функции f(x) с вертикальными лучами, соединяются отрезками прямых линий. Таким образом, получается результирующая (конечная) сеточная функция – fc(x). Естественно, и как видно, из рисунка 1 – б, она сильно отличается от результата интерполяции рисунке 1 – а, и не проходит через исходные точки, так как выбранное значении GX не удовлетворяет условию точности, однако, как отмечалось выше такое условие трудно выполнить из-за большого объема информации.
 
а) б)
в)
Рисунок 1 - Построение поверхности по сетке координат оси Х
При построении геологических моделей зачастую используется метод постепенного уплотнения сетки: в первом приближении выбирается сетка с малой плотностью GX (с большими приращениями аргумента – x), затем, выбирая в качестве исходных точек предыдущую сеточную функцию – fc(x) (рисунок 1 – в), увеличивают плотность сетки до G1X и получают следующее приближение – f1(x), которое также переводят в сеточное представление – f1с(x). Данный способ является ложным (неправильным подходом) и, как видно из рисунка 1 –в, ведет к еще большим отклонениям от исходных точек [4].
Единственный способ повышения точности результатов интерполяции состоит в уплотнении координатной сетки настолько насколько это возможно для выполнения условия требуемой точности, или же следует отказаться представления искомой интерполирующей функции в равномерной сетке: необходимо табулировать интерполирующую функцию в неравномерной сетке так, чтобы координаты исходных точек в плоскости X–Y совпадали с координатами сетки. Это может привести к росту объема информации для хранения поверхности. Данный способ связан с негативным фактором увеличения объема данных, необходимых для хранения поверхности и, соответственно, с невозможностью динамичного ее отображения с помощью имеющихся компьютерных средств: размер сетки по каждой оси будет равен количеству отличающихся координат исходных точек по этой оси. Например, если имеется в качестве исходных данных координаты точек вскрытия пластов по 1000 скважинам, то размеры неравномерной сетки будут в общем случае 10001000, что соответствует недопустимому для эффективного использования
 МБайт.
Таким образом, при преобразовании f(x,y) в fc(x,y) происходит неизбежная ошибка.
Описываемая погрешность может быть также связана не только с сеточным представлением поверхностей, но и с особенностями самого метода интерполяции, т.е. поиска f(x,y).
Зачастую методы интерполяции подменяются методами аппроксимации, что для описания кровли или подошвы пластов является неприемлемым.
Рассмотрим ряд примеров интерполяции точек (см. таблицу 1) поверхности кровли гипотетического пласта с сеткой 5050 (для лучшего восприятия).
Таблица 1. Исходные точки – координаты точек
пересечения кровли пласта
-
Y, м
|
X, м
|
Z=АО, м
|
0
|
0
|
–1500
|
1000
|
0
|
–1500
|
1000
|
1000
|
–1500
|
0
|
1000
|
–1500
|
500
|
500
|
–1300
|
300
|
300
|
–1200
|
700
|
500
|
–1350
|
100
|
200
|
–1600
|
900
|
900
|
–1400
|
400
|
700
|
–1300
|
350
|
660
|
–1350
|
210
|
450
|
–1360
|
950
|
350
|
–1400
|
770
|
570
|
–1370
|
На рисунке 2 показан пример часто возникающей погрешности интерполяции связанной с эффектом чрезмерного сглаживания, т.е. фактически результаты решения соответствуют аппроксимации, а не интерполяции. Исходные точки на рисунке 2 отмечены черными точками, а интерполирующая сеточная поверхность плоскостями, ограниченными линиями.
Рисунок 2 - Построение поверхности методом Radial Basis
Другим негативным фактором интерполяции является чрезмерные отклонения от среднего значения функции.
Литература
С.И. Грачев, А.В. Стрекалов, М.Ю. Савастьин, Отчет–IV о проведенной научно-исследовательской работе по договору 06/06/306ММ от 28.02.2005 г. «Внедрение и адаптация программного комплекса (Hydra’Sym) имитации гидросистем к системе поддержания пластового давления Северо-Покурского месторождения». Тюмень 2007. 410 с.
Хасилев В.Я. Элементы теории гидравлических цепей: Автореф. дис. д-ра техн. наук. – Новосибирск: Секция техн. наук Объединенного ученого сове та СО АН СССР, 1966, 98 с.
Меренков А.П., Кривошеий Б.Л., Рогожина Х.Я., Сидлер Л.Е. Примене ние теории и методов расчета гидрав лических цепей к системам с неизо термическим течением газа. – Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1971, №6, с. 129–138.
УДК 678.023.334
|
