Задача 27. Попросите детей проверить своё решение: в окне должны быть все бусины-листья дерева Ч, причём только они. Чтобы не запутаться, можно сразу помечать на дереве Ч каждый нарисованный в мешке лист.
Задача 28. Если вы хотите быстро проверить правильность выполнения задания, попросите каждого определить истинность следующего утверждения для своего дерева: «Ни у одной вершины дерева нет следующих вершин». При правильном построении дерева данное утверждение должно быть истинным. Если кто-то из детей построил дерево неверно, попросите его вернуться к листу определений.
Задача 29. В задаче используются практически все понятия, относящиеся к теме «Деревья», особенно активно — понятия «следующая вершина» и «предыдущая вершина». Несмотря на то что эта терминология знакома учащимся по работе с цепочками, в применении к деревьям появятся дополнительные трудности. В цепочке каждая бусина имеет не более одной предыдущей и не более одной следующей. Поэтому мы употребляли в единственном числе словосочетание «следующая бусина» аналогично словосочетаниям «следующий день», «следующий урок». В дереве каждая вершина может иметь несколько следующих вершин, поэтому мы употребляем множественное число: «следующие вершины». В русском языке словосочетание типа «следующие дни» имеет несколько другое значение: обычно имеется в виду и следующий день, и второй, и третий, и ещё несколько следующих за ним дней. Мы же на листе определений договорились понимать словосочетание «следующие вершины» только как «вершины, следующие непосредственно после указанной». Такое различие значений может поначалу стать источником ошибок. Например, кто-то из ребят может ошибочно посчитать утверждение G (У бегемота четыре следующие фигуры — волк, гусь, заяц, индюк) истинным. Необходимо попросить такого ученика вернуться к примерам на листе определений и разобраться, какие вершины дерева мы договорились называть следующими после данной.
Ответ: ложные утверждения для дерева У:
Утверждение В (предыдущая фигурка перед дельфином — белка).
Утверждение С (у жирафа три следующие фигурки — лев, лось и курица).
Утверждение Н (фигурка верблюда в дереве есть).
Утверждение G (у бегемота две следующие фигурки — волк и гусь).
Утверждение К (предыдущая фигурка перед курицей — жираф).
Остальные утверждения истинны.
Задача 30. В этой задаче проверяется, насколько хорошо ученики усвоили понятие «дерево» и основные свойства деревьев. Желательно эту задачу обсудить всем классом. Попросите детей сформулировать обоснования, почему каждый объект является или не является деревом, например: F не является деревом, поскольку у синей квадратной бусины две предыдущих. Это же условие нарушено и в схемах J и V. Оставшиеся две схемы являются деревьями.
Задача 31. Задачи на расстановку слов в словарном порядке постепенно усложняются. В этой задаче упорядочение идёт по второй, а в некоторых парах — и по третьей букве. Кроме того, детям здесь понадобится правило упорядочения для случая, когда одно слово является частью другого. Как обычно, лучше сначала записывать слова в цепочку карандашом и только после проверки обвести их ручкой. Кроме того, чтобы не пропускать слова и не писать их дважды, лучше помечать каждое слово из мешка, которое записано в цепочку.
Ответ: КАША
КИЛЬКА
КОМОД
КОТИК
КРЕСТ
КРУЖКА
КТО
КТО-ТО
КУСТ
Задача 32 (необязательная). Задачи на поиск одинаковых мешков дети решали уже не раз. При этом они использовали разные стратегии: это и хаотичное сравнение пар мешков, и систематический перебор (и сравнение) таких пар. Многие ребята к настоящему моменту умеют разбивать мешки на группы по некоторому признаку. Здесь в качестве такого признака может быть наличие или отсутствие некоторой птицы, например попугая.
Задача 33. Задача готовит ребят к проекту «Одинаковые мешки». В комментарии к предыдущей задаче мы напомнили о знакомых детям разных стратегиях поиска одинаковых мешков. Здесь ребята встречаются с ещё одной стратегией: заполнить таблицу для каждого мешка. В сводной таблице каждый мешок будет представлен отдельной строкой. Остаётся сравнить эти строки между собой и найти две одинаковые. Ясно, что упорядоченные строки чисел сравнить легче, чем беспорядочные наборы предметов.
Заполнять таблицу можно как по строкам, так и по столбцам. По строкам для каждого мешка указывается количество птиц каждого вида (если каких-то птиц в мешке нет, в соответствующей клетке записываем 0). По столбцам выбираются по очереди не мешки, а птицы и отмечается их число в каждом мешке. Когда вся таблица оказывается заполненной, дети переходят ко второй части задания.
Уроки «Уровень вершины дерева»
Понятие «уровень вершины дерева» не является, строго говоря, содержательным понятием. Это скорее технический термин — как, скажем, понятия «начало цепочки» и «конец цепочки». Введение понятия «уровень дерева» поможет ребёнку при самостоятельном построении дерева. Также это понятие позволит нам сформулировать интересные, но не слишком трудные для учащихся задания.
Решение задач 34—45 из учебника
Задача 34. На предыдущем уроке дети лишь однажды (в задаче 28) строили дерево. При этом все вершины были корневые, поэтому вряд ли дети могли столкнуться с проблемой расположения вершин дерева в окне. Дальше ребятам придётся строить более сложные деревья, поэтому такая проблема обязательно появится. Лучше столкнуться с ней на примере этой простой по содержанию задачи. Проследите, чтобы все рисовали дерево по уровням. Обратите внимание ребят на то, что пунктирные линии в окне (в рабочей тетради) — это линии, которые разделяют окно на уровни. Бусины нужно рисовать между линиями, а не на них. Именно поэтому горизонтальных полос в окне четыре, как и уровней в условии задачи (а пунктирных линий всего три!). Деревья у ребят могут быть самыми разными, ограничений здесь не много. По условию у дерева должно быть четыре уровня, значит, на четвёртом уровне должна располагаться хотя бы одна бусина. Кроме того, дерево по ширине должно помещаться в окно. Ну и конечно, это не должна быть простая цепочка бусин: в дереве должно содержаться хотя бы одно ветвление.
Задача 35. Задача аналогична предыдущей задаче. При дефиците времени её можно пропустить или задать на дом.
Математическое словоупотребление
Возьмём мешок:
Верно ли утверждение «Все бусины в этом мешке — квадратные»? Вероятно, вы скажете, что верно. Однако многие люди, в том числе и ваши ученики, могут сказать: «Как же так, в утверждении говорится все, а здесь всего одна бусина! Данное утверждение или бессмысленно, или неверно». На это можно возразить, приведя такой пример. Вы просите всех, кто не сделал домашнее задание, поднять руки и обещаете всем, кто его не сделал, поставить двойку (и всем, кто поднял руку, дать возможность эту двойку исправить). Поднял руку один Вася (все остальные домашнее задание сделали). Верно ли, что подняли руку все, кто задание не сделал? Кажется, да. Если вы поставите бездельнику Васе двойку, верно ли, что все, кто не сделал домашнего задания, получили двойку? Скорее всего верно. Но ведь Вася один! Этот пример может кого-то убедить.
Дело, однако, не в убедительности примера, а в том, что некоторые слова математики используют не «по здравому смыслу» (хотя и согласуясь с ним), а «по договорённости». Это значит, что они, заранее договорившись о смысле какого-то слова, дальше всегда используют именно его, несмотря на то что слово может иметь и другие смыслы в обычном языке. Важно при этом, что математики заботятся о том, чтобы такие договорённости были осмысленными и простыми.
Например, математики договорились и о том, как понимать смысл слова существует. Когда они говорят, что в мешке существует, найдётся объект с данными свойствами, то это верно, если в мешке объект с этим свойством один или больше или даже все объекты в мешке обладают этим свойством.
Задача 36. Здесь дети впервые сталкиваются с явным употреблением понятия «все» в случае, когда объект всего один. Например, третий пункт инструкции гласит: «Раскрась все квадратные бусины четвёртого уровня синим», а среди бусин четвёртого уровня квадратная бусина всего одна.
Задача 37. В отличие от задачи 36, где нужно было найти на готовом дереве бусины на разных уровнях, в этой задаче даны мешки бусин первых трёх уровней дерева, детям необходимо нарисовать дерево в окне. Здесь, как и во всех подобных задачах, окно в рабочей тетради разделено на уровни. Мы надеемся, что это поможет детям правильно расположить бусины дерева по уровням и нарисовать в окне аккуратное дерево. Учащийся может, например, сразу нарисовать бусины из каждого мешка на соответствующем уровне (конечно, в любом порядке), добавить по желанию бусины на четвёртом и пятом уровнях, а потом уже соединить все нарисованные бусины в дерево.
Задача 38 (необязательная). Задача на повторение понятий «все», «есть», «нет». Как и в других задачах со словом все, здесь необходим полный перебор всех месяцев года и проверка для каждого из них обоих условий. Условию задачи удовлетворяют три слова.
Задача 39. В задаче настолько мало ограничений, что кто-то, прочитав условие, возможно, будет просто сидеть, не зная с чего начать. На самом деле можно нарисовать первое дерево каким угодно, а затем из его бусин сконструировать второе дерево так, чтобы уровней в нём было больше (или меньше).
Задача 40. Одинаковое общее количество мышей в таблице и в мешке является необходимым, но не достаточным условием правильности решения. Если эти числа не совпадают, то в решении точно допущена ошибка, если же они совпадают, то это не гарантирует правильности заполнения таблицы. Ребёнок мог, заполняя одну клетку, сосчитать какую-то мышь дважды, а заполняя другую клетку, пропустить одну мышь.
Таблица будет заполнена верно, если не только общее число мышей, но и суммы по строкам и столбцам будут совпадать с действительным числом мышей в мешке, обладающих именно этим одним признаком. В мешке 6 мышей в красных майках, значит, сумма всех клеток верхней строки должна быть равна шести. Если это условие не выполняется для какой-то строки или столбца, то так мы узнаём, каких мышек нужно снова пересчитать. Этот метод можно использовать и в случае, если у ребёнка сразу не сошлось число мышей в таблице и в мешке. Чтобы не пересчитывать всё заново, можно посчитать число мышей в майках каждого цвета, а затем проверить суммы по строкам. В строке, где эти числа не сойдутся, нужно искать ошибку. Если провести такую работу ещё и по столбцам, то можно будет назвать клетку таблицы, где число вписано неверно.
Решение задачи:
Задача 41. Начинать решать задачу можно так же, как и задачу 37: написать сначала все буквы на своих уровнях. Здесь уже нельзя соединять буквы в дереве как угодно: нужно, чтобы были истинны оба утверждения. Из первого утверждения следует, что после каждой гласной на каждом уровне можно сразу поставить стрелочку листа. Рисуем стрелочки, читаем второе утверждение. Если все листья — это гласные, то других листьев, кроме уже помеченных на дереве, быть не должно. Остаётся соединить буквы, учитывая, что все согласные буквы не являются листьями и обязательно должны иметь хотя бы одну следующую букву. Эта задача не требует общего обсуждения. Проходя по классу, вам будет достаточно указать ученику на то, что для какой-либо буквы полученного им дерева одно из утверждений ложно, — дальше он скорее всего справится сам.
Обратите внимание, все ли дети справились с ситуацией, связанной с мнимой похожестью утверждений, данных в задаче. Возможно, кто-то спросит, зачем здесь два утверждения, в которых говорится «одно и то же». По опыту учителей математики среднего звена известно, что часто детям и в 7 классе, например, утверждения «Вертикальные углы равны» и «Равные углы вертикальны» кажутся одинаковыми. Поэтому, если у кого-то такой вопрос возник, советуем остановиться и на понятных примерах показать, что первое и второе утверждения различаются по содержанию. Советуем привести понятные примеры, например, утверждения «Все мальчики нашего класса — отличные спортсмены» и «Все отличные спортсмены — мальчики нашего класса» означают не одно и то же (первое может быть истинным, а второе явно ложное). Если на примерах из жизни все понятно, то можно вернуться к задаче и попробовать построить дерево.
Ответ: вариантов правильных ответов к этой задаче довольно много. Мы приводим только один из них.
Задача 42. Помимо повторения темы «Словарный порядок», в задаче проводится пропедевтика видов сортировки, в частности упорядочения. На примере этой задачи ребята могут увидеть, что упорядочить одни и те же элементы можно по разным критериям. Одним из таких критериев расстановки слов является словарный порядок, другим — календарный порядок месяцев. Конечно, можно придумать и другие принципы упорядочения. Например, по возрастанию (убыванию) числа букв в названии месяца, а если число букв двух месяцев одинаково — по алфавиту. Можно упорядочивать в обратном словарном порядке и т. д.
Задача 43 (необязательная). Важно обсудить с детьми, как они решали задачу. Как обычно, стратегии здесь могут быть разными: систематически перебирать все пары, перебирать пары наугад (метод проб и ошибок). При поиске одинаковых мешков также полезно использовать разные особенности конкретного набора мешков: некоторые объекты есть почти в каждом мешке, другие — только в небольшом числе мешков. Начав рассматривать ситуацию под этим углом зрения, мы обнаруживаем, что, например, лампочка есть в каждом мешке. Открыв эту закономерность, мы можем «перестать видеть» лампочки в мешках, не сравнивать мешки по наличию в них лампочек и т. д.
Ещё одна хорошая идея — пересчитать число объектов в каждом мешке и разбить их на группы по этому числу. Такая идея уже использовалась ранее, и не исключено, что кто-то из детей её вспомнит или изобретёт заново. Оказывается, что во всех мешках по четыре предмета.
Ещё одна из идей может состоять в том, чтобы перейти от наглядного, но из-за различного взаимного расположения предметов сбивающего с толку представления к более формальному. В частности, перейти от мешка к его таблице. Такую таблицу удобно выписывать сокращённо, просто в виде списка, столбиком (например, рядом с мешком), указывая в алфавитном порядке, какие объекты в мешке есть: (В)илка, (К)арандаш, (ЛА)мпочка, (ЛО)жка, (Н)ож, (Ч)ашка. При этом, если мы уже исключили из рассмотрения электрическую лампочку и ложку, столбики будут иметь высоту 2. Потом надо будет искать одинаковые столбики.
При выполнении этой задачи необходимо дать как можно больше свободы для принятия решений каждому учащемуся. Индивидуальное обсуждение способа работы с задачей полезно только после того, как ребёнок уже нашёл решение или по крайней мере достаточно много потрудился над задачей и попросил вашей помощи. Эта задача является одной из подготовительных для проекта «Одинаковые мешки». В работе над проектом будет проведено общее обсуждение того, какие существуют способы решения подобных задач.
Задача 44 (необязательная). Эту задачу, как и многие другие задачи, можно решать методом перебора (последовательного или случайного) или уменьшить объём работы с помощью рассуждений или поиска некоторой закономерности. В данном случае нетрудно заметить, что некоторые буквы есть во всех словах (например, А или П), а некоторые — не во всех (например, У или Е). Так, слов с буквой У всего два, поэтому их можно сразу вычеркнуть. Среди оставшихся слов три слова с буквой Е и четыре слова — без неё. В одной из этих групп и находятся три искомых слова.
|
