Задача 1. Как обычно, первая задача темы несложная — она проверяет понимание материала листа определений (а заодно заставляет детей вспомнить материал из курса математики о различии строгих и нестрогих неравенств).
Ответ: СПРОСОНЬЯ, ПОПРЫГУНЬЯ, ГОВОРУНЬЯ, ХВАСТУНЬЯ.
Задача 2. Здесь, как и в предыдущей задаче, для решения достаточно понимания того, что такое длина цепочки.
Решение задачи:
Цепочка
|
Г
|
Е
|
Ж
|
И
|
Н
|
П
|
Длина цепочки
|
7
|
3
|
11
|
0
|
4
|
7
|
Задача 3. Задача на повторение понятий «следующий», «предыдущий» и понятий, относящихся к общему порядку бусин в цепочке. В этой задаче используется и новое понятие — «длина цепочки». Подходящих решений в задаче много, в частности, потому, что о второй и третьей бусинах цепочки в условии вообще не говорится. Зато к четвёртой бусине относятся сразу два утверждения — первое и третье.
Задача 4. При решении задачи дети могут использовать разные стратегии. Кто-то сразу пометит в мешках все пары одинаковых букв. Кто-то будет помечать и дописывать буквы одновременно. Кто-то, возможно, вообще не захочет пользоваться пометками. В процессе работы в мешках могут появиться «лишние» буквы, например, ученик допишет в один из мешков букву Ш. Её необязательно вычёркивать: чтобы поправить дело, достаточно в другой мешок тоже дописать эту букву. Попросите детей проверить своё решение самостоятельно — соединить одинаковые буквы в пары и проверить, не осталось ли непарных букв.
Задача 5 (необязательная). Повторяем тему «Таблица для мешка», используя при этом знаки дорожного движения. Задача нетрудная, но достаточно объёмная. Эта задача может стать перекидным мостиком к классному часу по правилам дорожного движения. Можно обсудить знаки, используемые в этой задаче, можно поиграть с ребятами в игру «Кто знает, что обозначает этот знак?». Все знаки, которые ребята вспомнят, пометьте прямо в таблице. Остальные знаки можно распределить по рядам и попросить выяснить их назначение у родителей или посмотреть в правилах дорожного движения. Ниже приводятся названия и назначение знаков, встречающихся в задаче, и заполненная таблица.
По окончании решения можно организовать взаимную проверку: попросите учащихся, которые решали задачу, сравнить таблицы и, если они не окажутся одинаковыми, выяснить, кто допустил ошибку. После заполнения таблицы ребята легко найдут четвёрку одинаковых знаков — «Полоса для маршрутных транспортных средств».
Ответ:
Задача 6 (необязательная). Данная задача относится к числу непростых, поскольку в условии довольно много утверждений. Все эти утверждения нужно проанализировать по отдельности, а затем сопоставить между собой. При этом новое понятие («длина цепочки») используется более содержательно, чем в похожей задаче 3. После такой работы с утверждениями выяснится, что требуется построить две цепочки, каждая из которых состоит из пяти одинаковых цифр, причём нижняя цепочка — из пяти пятёрок, а верхняя — из пяти «не пятёрок».
Урок «Цепочка цепочек»
К настоящему моменту дети уже привыкли к цепочкам и легко выделяют их в объектах и явлениях окружающего мира. Цепочки цепочек тем не менее могут показаться им какой-то экзотикой. В то же время вокруг нас можно найти много примеров цепочек цепочек. Например, рассказывая о том, что ребёнок делает обычно с утра, он говорит: «Утром встал, сделал зарядку, умылся, оделся, позавтракал, пошёл в школу». При этом в каждом событии этой цепочки нетрудно выделить внутреннюю структуру: зарядку разбить на отдельные упражнения; уточнить, в какой последовательности ребёнок надевает предметы одежды; маршрут в школу разделить на отдельные прямолинейные участки и повороты. Устная речь воспринимается как последовательность слов (и в некоторых письменностях почти каждое слово отображается своим иероглифом), но во многих языках слова записываются в виде цепочек букв. В арифметических выражениях отдельные числа могут либо считаться бусинами цепочек, либо представляться как последовательности цифр. Использование скобок и подстановка выражения вместо переменной — примеры явлений того же рода.
Списки и языки программирования
Самые первые компьютеры использовались только для числовых вычислений. В определённый момент, однако, большинство задач, решаемых компьютерами, стало относиться к текстам, изображениям, звукам. Сегодня обработка текстов и изображений — главное занятие компьютеров.
Чтобы объяснить компьютеру, что делать с текстом, надо было создать специальные языки программирования (язык, на котором человек даёт инструкцию компьютеру). Самым знаменитым языком, предназначенными для обработки текстов и записи программ, моделирующих интеллектуальную деятельность человека, стал язык LISP. При его разработке математики и специалисты по компьютерам воспользовались языком, изобретённым математиками ещё в 30-е гг. ХХ в. (Вообще очень многое из применённого в компьютерной технологии было открыто в математике ещё до появления компьютеров.) Основным информационным объектом этого языка были цепочки цепочек. В языке LISP они называются списками (по-английски lists). Английское слово list вошло и в название знаменитого языка: LISt Processing (в переводе на русский язык — обработка списков). Язык LISP послужил основой для многих систем так называемого искусственного интеллекта, в которых люди пытались поручить машине задачи, например, распознавание изображений (как роботу перемещаться в пространстве, брать деталь и обрабатывать её) и человеческой речи (как компьютеру понимать устные приказания человека).
Сегодня персональные компьютеры распознают напечатанный текст, понимают устную речь, играют в шахматы на очень высоком уровне. Сегодня на многих заводах число рабочих и техников исчисляется всего десятками, а число роботов — тысячами; простейших роботов, например, роботов, распознающих изображения, школьники собирают из деталей конструктора ЛЕГО ДАКТА. А начинается всё это с цепочек цепочек. (Кстати, мешки тоже появились в научных работах по искусственному интеллекту в 60-е гг. прошлого века.)
Решение задач 7—13 из учебника
Задача 7. Дети должны усвоить, что Х — это цепочка, которая, как они привыкли, имеет начало, конец и бусины, идущие в строгом порядке. Отличие от тех цепочек, с которыми работали раньше, лишь одно: каждая бусина цепочки Х сама является цепочкой бусин. Именно поэтому мы называем новый объект цепочка цепочек. Настолько же, насколько это название естественно для языка формальной логики, оно непривычно для разговорного и литературного языка. В русском языке принято избегать повторения однокоренных слов в одном предложении. Поэтому структуры, похожие на цепочку цепочек, стараются называть словосочетанием из двух разных слов. Например, принято говорить «последовательность месяцев», а не «цепочка цепочек дней». Только в этой непривычности и может корениться причина того, что кому-то тема вначале покажется сложной. Ведь со структурами двойного порядка ребята уже имели дело и на уроках русского языка (предложение — это цепочка цепочек букв), и на уроках математики (арифметический пример — это структура из цепочек цифр).
При ответе на первый вопрос кто-то может попытаться сосчитать общее число цветных бусин, входящих в цепочки цепочки Х. Такому ученику нужно посоветовать снова вернуться к листу определений.
Ответ: длина цепочки Х равна 4, третья бусина цепочки Х — это цепочка длины 3, вторая бусина — цепочка длины 0.
Задача 8. Дети работали с цепочками слов и раньше, но сейчас они смогут составить законченное представление о таких объектах, как цепочки цепочек букв. Кроме темы текущего листа определений, в этой задаче повторяются ещё и предыдущие темы, в частности, в задаче активно работает понятие «длина цепочки». При этом в утверждениях речь идёт как о длине самой цепочки слов, так и о длине входящих в неё цепочек. Это может вызвать трудности. Проще всего начать с того, что выбрать из всех названий месяцев те, длина которых больше 6, их всего четыре: февраль, сентябрь, октябрь, декабрь. Поскольку в цепочке не должно быть одинаковых слов и длина цепочки должна быть больше 3, именно из этих слов-бусин и будет состоять искомая цепочка. Таким образом, ответы у детей будут различаться только порядком месяцев (этот порядок может быть любым).
Задача 9. Ответ:
Задача 10 (необязательная). Здесь даётся пример цепочки цепочек цепочек бусин. Это цепочка, бусинами которой являются цепочки цепочек. Ученики видели такую цепочку на листе определений (это цепочка W), но видеть и понимать — это не одно и то же. Чтобы сильные дети могли разобраться в этом, им предлагается ответить на несколько вопросов о цепочке Е. Цепочка Е состоит из двух цепочек цепочек (а значит, она длины 2). Первая бусина цепочки Е — цепочка, состоящая из двух цепочек (а значит, она тоже длины 2). Вторая бусина цепочки Е — цепочка, состоящая из трёх цепочек (а значит, она длины 3).
Задача 11. Для полного решения задачи нужно перебирать все слова и отмечать каждую букву в мешке и в слове. Существует способ сократить процесс, обратив внимание на отдельные характеристики слов. Например, в мешке всего 5 букв, значит, слова, где букв не пять, можно не рассматривать. В мешке две гласные, обе О: выбрасываем ещё пару неподходящих слов. В мешке есть буква Р: выбрасываем те слова, где буквы Р нет. Теперь остаётся проверить только два слова. Мы не предлагаем объяснять эту модель рассуждения учащимся, но вполне разумно поддерживать элементы такой модели в их рассуждениях.
Ответ: ТОПОР и РОПОТ.
Задача 12. Задача напоминает детям такой метод подсчёта элементов мешка, при котором сначала заполняется рабочая таблица и только потом заполняется окончательная сводная таблица. Такой метод оправдывает себя только при работе с большим количеством объектов, поэтому мы предлагаем в этой задаче мешок с большим количеством грузинских букв. Надеемся, что решение этой задачи уже не займёт у детей слишком много времени.
Грузинские буквы, в отличие от знакомых букв или фигурок, для ребят лишь закорючки, которые очень легко спутать друг с другом. Напомните ребятам принцип работы: помечаем букву из мешка и ставим крестик в рабочей таблице в столбце, соответствующем данной букве, и т. д. Таблица для мешка, приведённая в задании, заполняется лишь после того, как заполнена рабочая таблица.
Ответ:
Задача 13 (необязательная). Здесь работает уже знакомая детям идея порядка: понятия «вчера» и «сегодня» для дней недели аналогичны понятиям «предыдущий» и «следующий» для бусин в цепочке.
Ответ: пятница, воскресенье, четверг.
Урок «Таблица для мешка (по двум признакам)»
Мешки-векторы
Ребята уже знакомы с мешками и одномерными таблицами для мешков. Надеемся, что работа с данными математическими объектами не вызовет у них особых трудностей. Однако для математики введение этих объектов оказалось достаточно важным шагом. Дело в том, что числа, прежде всего натуральные, очень удобны для измерений, например, времени (в секундах), или веса (в граммах), или пройденного расстояния (в метрах). Но если мы хотим указать не сколько мы прошли, а куда пришли, то ситуация становится сложнее. Нам приходится указывать два измерения — два числа или два символа. Это похоже на то, как мы указываем положение в городе (например, говорим: «угол Ленина и Розы Люксембург») или поле на шахматной доске (например, e2). Самый распространённый в математике способ состоит в том, что на поверхность наносится сетка, как на бумаге в клетку. Если взять лист клетчатой бумаги, то с каждой клеткой на нём можно сопоставить два натуральных числа. Одно из этих чисел означает, сколько шагов надо сделать из нашей клетки, чтобы оказаться у левого края листа, а другое — сколько шагов надо сделать, чтобы добраться до нижнего края. Два таких числа называют координатами квадрата, их нельзя поменять местами — это не просто мешок, в котором лежат два числа, но упорядоченная пара (цепочка!), о которой мы договорились, что первое число — всегда расстояние до левого края листа, а второе — расстояние до нижнего края.
Тем не менее координаты можно сложить в мешок. Для этого понадобятся бусины двух типов: бусина одного типа будет обозначать один шаг влево, а бусина другого — один шаг вниз. Какими именно будут бусины — вопрос договорённости. Например, квадратными и круглыми или синими и зелёными. А могут быть карточки, на которых написано «Влево» и «Вниз». Таким образом, каждой клетке на листе можно сопоставить мешок, в котором будет некоторое количество бусин «Влево» и некоторое количество бусин «Вниз».
Построив одномерную таблицу для такого мешка, получим пару чисел, аналогичную координатам: ведь в таблице для каждого числа ясно, количество каких именно карточек оно обозначает. Получится так называемый вектор. Конечно, вектор может иметь не только два, но и больше параметров (соответствующая цепочка чисел может быть длиннее). И в нашем мешке могут тоже лежать бусины многих типов. В отличие от множества в мешке (мультимножестве) может быть несколько объектов одного типа. Значит, в таблице для мешка будут не только единицы и нули.
С понятия «вектор» начинается изучение науки, которую называют аналитической геометрией. Данное понятие лежит в фундаменте физики и многих разделов математики.
Тема нового урока — двумерные таблицы для мешков. С научной точки зрения двумерные таблицы — это следующая по сложности структура, набор векторов. Конечно, не нужно сейчас нагружать детей этой сложной терминологией. Достаточно того, что они научатся сортировать и классифицировать элементы мешка по двум признакам и аккуратно заполнять таблицу.
Решение задач 14—18 из учебника
Задача 14. В мешке G довольно много фруктов. Если кто-то из детей запутается, посоветуйте ему как-то помечать посчитанные фигурки. Именно для этого мы поместили в рабочую тетрадь копию мешка. Итак, выберем некоторую клетку в таблице и будем искать в мешке все фрукты соответствующего вида и цвета. При этом будем помечать посчитанные фрукты в мешке — обводить, вычёркивать и т. п. Если по окончании заполнения таблицы не все фигурки окажутся помеченными, можно будет легко найти, какая клетка в таблице заполнена неверно, и исправить ошибку. Возможно, дети в ходе решения будут использовать и другие стратегии. Например, будут считать сначала все жёлтые фрукты — яблоки, а потом — груши.
Ответ:
Задача 15. Вначале требуется заполнить четыре (одномерные) таблицы, т. е. классифицировать лица поочерёдно по четырём различным признакам — виду носа, виду рта, виду глаз и виду бровей. Перед сильным ребёнком можно поставить вопрос, как проверить правильность заполнения всех четырёх таблиц: сумма чисел в каждой таблице должна быть одной и той же. Попросите ученика объяснить, почему так получается. Действительно, по какому бы (одному) признаку мы ни классифицировали лица, в сумме мы должны получить то количество фигурок, которое лежит в мешке.
Решение задачи (одномерные таблицы):
 
 
Вторая часть задачи — заполнение двумерных таблиц — технически более сложная. Трудность, во-первых, состоит в том, что дети должны помнить одновременно два признака и полностью отключиться от остальных. Во-вторых, признаки хотя и осмысленные, но однотипные (палочки и закорючки), поэтому легко путаются, а предметы в мешке при этом не различаются ни формой, ни размером, ни цветом. В-третьих, одновременно с поиском лиц ученик должен их ещё и считать. Задание специально составлено таким образом, чтобы каждый ребёнок почувствовал необходимость выработки собственной системы работы. Если кто-то начал запутываться, можно помочь ему и обсудить, какую именно систему он использует для работы, или выработать такую систему в ходе совместного обсуждения. В зависимости от того, к чему будет склоняться ученик, мы предлагаем вам один из трёх возможных подходов.
Первый подход состоит в том, чтобы заполнять клетки таблицы поочерёдно, т. е. искать каждый раз все те лица, в которых присутствуют два признака, соответствующие этой клетке. Основные проблемы при такой работе:
1. Соскальзывание с эталона — при переводе внимания с таблицы на объекты мешка ребёнок может забывать, какие именно признаки он ищет в данный момент, и переключаться на другие.
2. Сложность одновременно искать лица и считать их, даже пользуясь различными пометками.
Для устранения первой проблемы можно использовать шаблон: нарисовать на черновике глаза и нос, которые он ищет, и периодически поглядывать на этот образец. Для устранения второй проблемы можно использовать пометки: сначала найти и пометить все лица, а потом их сосчитать. Необходимо только помнить: пометки должны быть такие, чтобы дети не путали лица, помеченные на текущем и предыдущих этапах. Для этого можно использовать разные цвета пометок, или, наоборот, работать простым карандашом и стирать пометки после каждого этапа работы.
Второй подход состоит в том, чтобы поочередно брать лица из мешка и соотносить их с определённой клеткой в таблице. Например, лицо в левом нижнем углу имеет рот прямой чёрточкой и нахмуренные брови, значит, оно должно находиться в верхней клетке самого левого столбца второй таблицы. Ставим в этой клетке палочку карандашом и соответствующее лицо в мешке тоже помечаем карандашом (например, обводим). Когда все лица в мешке окажутся помеченными, подсчитаем палочки в каждой клетке таблицы и заменим их на полученные числа.
Третий подход — скопировать страничку учебника, вырезать все фигурки из мешка и рассортировать их на столе по необходимым признакам. Подсчитав, сколько фигурок оказалось в каждой кучке, заполнить таблицу. Этот способ самый простой. Не стоит его предлагать детям, которые хоть как-то справляются без него. Но если вы видите, что ребёнок никак не может сосредоточиться (внимание рассеивается), предложите ему этот способ и выдайте копию странички.
Выработав вместе с ребёнком систему работы, подходите к нему время от времени и обсуждайте снова, что он делает. После того как все дети определились со стратегией и начали работать, возможно, их начнут посещать идеи о соотношении одномерных и двумерных таблиц и о том, как это можно использовать при решении и проверке. Например, многие заметят, что лиц с одним из видов глаз в мешке нет. Кто-то сделает совершенно справедливый вывод, что комбинации этого вида глаз со всеми формами носа тем более отсутствуют, поэтому во всех строках последнего столбца левой двумерной таблицы можно сразу написать нули. Можно и дальше продолжить обсуждение соотношения одномерных и двумерных таблиц в ходе проверки. Например, спросить ребят: «Где в левой двумерной таблице находятся все лица с округлым носом?» (Ясное дело, в верхней строке.) «А сколько у нас всего лиц с круглым носом?» Эту информацию можно найти в первой одномерной таблице — таких лиц всего 15. Вывод: сумма всех чисел в верхней строке должна быть равна 15. Если у ученика это условие выполняется, он может переходить ко второй строке, если нет, пусть ищет ошибку в клетках верхней строки. После проверки по строкам можно провести проверку по столбцам на основании информации третьей одномерной таблицы. Если всё сходится, это гарантирует правильность заполнения двумерной таблицы (конечно, при условии, что одномерные таблицы перед этим были заполнены верно). Таким образом, отпадает необходимость фронтальной проверки. Напоминаем, что самая полезная проверка — это проверка, в ходе которой ребёнок самостоятельно нашёл свои ошибки.
Решение задачи (двумерные таблицы):
 |
