МЕТОД «ШАНСОВ» ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ПРИ МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ РАЗВИТИЯ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ МОЛОДЕЖИ
С.А. Пиявский
Самарский государственный архитектурно-строительный университет
г. Самара
Рассматриваются задачи многокритериального принятия решений, в которых альтернативы характеризуются набором частных критериев, могущих к тому же зависеть от ряда неопределенных факторов. Предлагается метод, позволяющий лицу, принимающему решение, с использованием специального программного обеспечения легко и обоснованно решать такие задачи на основе естественных для него суждений. Метод обладает максимально возможной объективностью, поскольку не использует искусственных приемов, направленных на полную формализацию задачи за счет отыскания якобы адекватного ей единственного способа учета неопределенности («принципа оптимальности»), а учитывает все множество таких способов.
Введение. Современный этап развития человечества характеризуется усложнением принимаемых решений, необходимостью учитывать при этом все большее число разнокачественных и размытых факторов, существенным увеличением выигрыша от выбора наиболее рационального решения и одновременно возрастанием «цены ошибки». К счастью, научно-технический прогресс создал и предпосылки для успешного преодоления этой проблемы. Они состоят в том, чтобы использовать информационные технологии для широкого внедрения в сферу принятия решений достаточно сложных и трудоемких системно-математических методов. Коллизия состоит в том, что для того, чтобы действительно применяться, эти методы должны быть понятны тому лицу, которое пользуется их результатами.
Дело в том, что в центре процедуры принятия любого решения, в конечном счете, находится человек или небольшая группа людей: субъект, который принято обобщенно называть Лицом, принимающим решения – ЛПР. Это вызвано тем принципиальным обстоятельством, что любая, даже всего только двухкритериальная, задача принятия решений математически незамкнута. Поэтому ЛПР призван дополнить в той или иной форме постановку проблемы до содержательной замкнутости, позволяющей, в конечном счете, прийти к единственному «наиболее рациональному решению». В силу своих полномочий он обладает необходимым неформализованным пониманием решаемой им проблемы, а любой метод поддержки принятия решений направлен на то, чтобы формализовать это пониманием в форме, строго логически приводящей к однозначному окончательному решению, то есть выявить присущий ЛПР-у способ учета неопределенности, существующий в решаемой им задаче. При этом важно не требовать от ЛПР невозможного, например, участия в многократных процедурах попарного сравнения критериев или вариантов, количественных оценок вроде «весовых коэффициентов» критериев, задания «функций принадлежности» нечетких (размытых) множеств.
В настоящей статье предлагается метод принятия решений, который оценивает предпочтительность каждой альтернативы ее шансами оказаться наилучшей. Эти шансы подсчитываются, исходя из перебора всего множества факторов, влияющих на многокритериальную оценку альтернатив. Это множество формируется таким образом, чтобы отвечать всем суждениям ЛПР, которые органичны для его понимания решаемой им задачи и в справедливости которых он уверен.
Базовая постановка задачи. Рассмотрим классическую задачу многокритериальной оптимизации. Обозначим:
 - множество вариантов решений (альтернатив),  - вектор-функция  частных критериев оптимальности, определенных на множестве альтернатив. Лицо, принимающее решение (ЛПР), желает выбрать из множества альтернатив «наиболее рациональный» вариант.
Известно, что в этой задаче наиболее рациональный вариант решения  должен быть Парето-оптимальным, то-есть удовлетворять известному условию (при стремлении минимизировать каждый частный критерий):
 .
Поскольку же все Парето-оптимальные варианты с равным основанием могут быть признаны наиболее рациональными, то для того, чтобы остановить свой выбор на одном из них, ЛПР должен использовать, в той или иной форме, дополнительную информацию или суждения.
Одно из наиболее естественных суждений состоит в том, чтобы ввести в рассмотрение некоторый скалярный комплексный критерий оптимальности  , соразмеряющий сравнительную важность различных частных критериев и позволяющий выбрать наиболее рациональный вариант решения строго математически:
 .
Тем самым задача принятия решения перестает быть многокритериальной и при задании конкретной функции  наиболее рациональный вариант решения определяется путем обычной скалярной оптимизации. Однако, поскольку конкретный вид функции ЛПР-у неизвестен, тем самым в задачу вводится новое множество: множество допустимых способов учета неопределенности  , которое представляет собой множество допустимых функций  .
Без ограничения общности рассмотрения будем полагать далее, что значения всех частных критериев, а также комплексного критерия, нормированы от 0 до 1. Тогда способ учета неопределенности – это строго монотонная функция, определенная на -мерном единичной гиперкубе и сопоставляющая каждому вектору из него числовое значение, также заключенное то нуля до единицы. Для того, чтобы подчеркнуть там, где необходимо, именно этот смысл обозначения в отличие от значения комплексного критерия при конкретном значении аргумента  , мы будем использовать в этом втором смысле обозначение  .
Линейная свертка критериев как не очень удачный способ скаляризации задачи. Большинство существующих формализованных методов принятия решений направлены на то, чтобы отыскать «правильный» для условий конкретной задачи способ учета неопределенности  , после чего наиболее рациональный вариант решения определяется чисто математическим путем, как правило, однозначно. Простейшим, и наиболее часто используемым на практике, примером такого подхода является введение линейной свертки частных критериев:
 , (1)
где весовые коэффициенты  задаются экспертным путем.
Обсудим обоснованность такого подхода.
Отметим, что при этом ЛПР сделал два суждения:
первое – что именно такой вид способа учета неопределенности в виде линейной свертки полностью адекватен данной задаче принятия решения,
второе – что именно выбранные им эксперты, способ организации экспертизы и способ обработки мнений экспертов приводят к абсолютно достоверным значениям весовых коэффициентов.
Оба суждения могут быть оспорены с разумных позиций. Действительно, линейная свертка обладает рядом известных недостатков. В частности, как известно, она может «не видеть» некоторые Парето-оптимальные варианты решения ни при каких значениях весовых коэффициентов. Так, например, на рис. 1 для двух минимизируемых критериев все варианты решений, образы которых в критериальном пространстве лежат выше пунктирной линии, не будут признаны наиболее рациональными ни при каких значениях весовых коэффициентов линейной свертки, хотя они являются Парето-оптимальными ([1]).
Рис. 1. Пример, демонстрирующий некорректность линейной свертки
Тем самым в этом примере использование линейной свертки нарушает естественное требование к множеству способов учета неопределенности , а именно, что любому Парето-оптимальному варианту из множества допустимых вариантов решений должна соответствовать хотя бы одна функция  , при использовании которой этот вариант решения является наиболее рациональным. Невыполнение этого требования сужает возможности выбора ЛПР за счет чисто математических особенностей применяемого аппарата, что недопустимо. Обозначим через  множество всех Парето-оптимальных вариантов решений из множества . Тогда приведенное условие имеет вид:
 . (2)
Конкретизируем (2) для задачи принятия решений с конечным множеством допустимых вариантов решений  . Обозначим  . Тогда при использовании линейной свертки условие (2) означает, что для любых  , таких, что  , должна быть совместна система следующих неравенств относительно переменных 
 . (3)
Если условие (2.3) не выполняется, использование линейной свертки не обеспечивает полноценного анализа задачи принятия решения. Между тем, выполнение этого условия на практике никогда не проверяется.
Кроме того, помимо линейной свертки существует целый ряд столь же известных принципов оптимальности (Паскаля, Вальда, минимального сожаления и пр.), а также широкий спектр методик многокритериального выбора решения (см., например [2],[3]), позволяющих по-своему вычислить значения комплексного критерия  . Почему же ЛПР выбрал именно линейную свертку? Ее простота не может быть решающим доводом, так как наличие ЭВМ позволяет сделать незатруднительным для ЛПР любой, сколь угодно сложный, метод расчета.
Субъективность же определения значений весовых коэффициентов с помощью экспертизы очевидна.
Таким образом, оказывается, что выбор линейной свертки в качестве принятого ЛПР-ом способа учета неопределенности отнюдь не является его «уверенным суждением», подобным требованию Парето-оптимальности наиболее рационального решения, а требует серьезного обоснования. Ясно, что при принятом способе скаляризации задачи на самом деле неопределенность не устраняется, а просто переносится с сопоставления частных критериев на сопоставление различных способов учета неопределенности, суть которых еще более далека от ЛПР-а.
Непосредственное использование всего множества способов учета неопределенности (идея метода ПРИНН). Более корректный путь решения задачи многокритериального выбора решения состоит, по нашему мнению, в том, чтобы, отказавшись от стремления устранить неопределенность выбором конкретного способа ее «свертывания», использовать для принятия решения непосредственно ВСЕ МНОЖЕСТВО способов учета неопределенности. В методе ПРИНН ( [4] - [6] и др.) мы осуществили такой подход в три этапа. Первые два этапа носят универсальный характер, и лишь третий реализуется при решении конкретной задачи.
На первом этапе было дано математическое описание универсального множества способов учета неопределенности для задачи, в которой скалярный критерий оптимальности зависит от функции  , принимающей значения на элементах  некоторого множества неопределенности  . Показано, что множество есть множество непрерывных строго монотонных функций одной переменной  (так называемых порождающих функций), определенных на отрезке [0,1] и удовлетворяющих условиям  . Значение комплексного критерия при способе учета неопределенности рассчитывается по формуле
 (4)
или
 , (5)
где  .
На втором этапе все множество допустимых способов учета неопределенности было заменено оптимальной  -сетью, т.е конечным числом наиболее полно представляющих его способов учета неопределенности.
На третьем этапе между этими «представителями» организуется (конечно, в виде математического алгоритма) итеративная процедура согласования оценок каждого варианта решения каждым «представителем» с позиций присущего ему способа учета неопределенности, однако с учетом оценок, данных другими «представителями». Такой алгоритм моделирует известную процедуру ДЕЛФИ согласования мнений экспертов.
Уверенные суждения ЛПР и алгоритм принятия решения. Метод ПРИНН хорошо зарекомендовал себя при решении значительного числа практических задач, однако определенным его недостатком является субъективность предложенной процедуры выделения небольшого числа «представителей» из всего множества способов учета неопределенности и организации процедуры типа ДЕЛФИ. Из-за этого метод по сути также можно рассматривать как один из возможных конкретных способов учета неопределенности, наряду с методом линейной свертки и другими. В предлагаемом в настоящей статье методе этот недостаток устранен, так как при принятии решения используется непосредственно все множество способов учета неопределенности. Субъективность, которая является принципиальным правом ЛПР, включается (притом лишь при его желании) только через два вида его «уверенных» суждений. Предлагаемый метод назовем «методом шансов» (Method of chance, MC).
Уверенное суждение первого типа. При своей уверенности ЛПР может отнести различные частные критерии к различным группам важности. Например, «критерии 1 и 4 наиболее важны, критерии 2 и 6 просто важны, а критерий 5 имеет наименьшую важность». Подчеркнем, что не предполагается, что ЛПР дает количественную оценку степени сравнительной важности частных критериев, речь идет лишь об их качественном сравнении, притом необязательном.
Уверенное суждение второго типа. При желании ЛПР может сконструировать пары Парето-несравнимых векторов частных критериев, в отношении которых он уверен, что один из векторов «лучше» другого. При этом не требуется, чтобы эти вектора отражали эффективность каких-либо реальных объектов. Если  и  - такая пара, в которой «уверенно лучше», чем , то это накладывает следующее ограничение на множество :
 . (6)
Соответственно, предлагаемый нами метод шансов применительно к задаче многокритериального принятия решений, сформулированной в начале п.1, состоит из следующих четырех этапов.
Этап 1. Строится профиль неопределенности решаемой задачи. Он показывает для каждого варианта решения  диапазон изменения значений комплексного критерия эффективности на данном решении при всевозможных способах учета неопределенности. Профиль неопределенности задается парой определенных на функций:
минорантой  и мажорантой  . (7)
Заметим, что при этом могут быть выявлены заведомо нерациональные решения  , для которых существуют такие решения  , которые лучше их по комплексному критерию при любых возможных способах неопределенности. Условие выявления таких решений  имеет вид:
 . (8)
Основное назначение профиля неопределенности – дать ЛПР представление о степени влияния неопределенности на принятие решений в данной задаче. По мере добавления им «уверенных суждений» он сможет судить, насколько они уменьшают неопределенность.
Этап 2. По возможности сужается множество неопределенностей за счет учета в нем уверенных суждений ЛПР. При уверенных суждениях первого типа из множества исключаются не соответствующие этим суждениям способы учета неопределенности. При уверенных суждениях второго типа к описанию множества добавляются условия (2.7), исключающие те способы учета неопределенности, для которых не выполняются эти суждения.
В результате первых двух этапов исходное множество неопределенностей может сузиться, что отразится на профиле неопределенности решаемой задачи, однако вряд ли в нем останется лишь один элемент, или из множества вариантов решений по условию (8) будут исключены все варианты, кроме одного. Таким образом, неопределенность в задаче сохранится. Это и будет неустранимая неопределенность. Все образующие ее способы учета неопределенности полностью равноправны для ЛПР, поскольку свои возможности внести дополнительное содержание в описание задачи он уже внес утверждениями первого и второго типа. Не исключено, что могут быть найдены и другие типы уверенных суждений ЛПР, но они не изменят картину принципиально: все равно и после их использования неустранимая неопределенность в задаче останется.
Этап 3. Рассчитываются жесткий и мягкий рейтинги вариантов решений с учетом неустранимой неопределенности. Чтобы не вводить ненужный для понимания (и практического применения) сложный математический аппарат, будем считать, что множество содержит конечное число способов учета неопределенности  .
Тогда жесткий рейтинг  решения есть доля способов учета неопределенности, при которых это решение является наилучшим по сравнению с остальными решениями:
 . (9)
(В случае, если при каком-то способе учета неопределенности лучшими оказываются несколько (например,  ) решений, в жестком рейтинге каждого из них в сумме в числителе добавляется не 1, а  ).
|
