Учебно-методический комплекс дисциплины обсужден на заседании кафедры компьютерных систем «03» октября 2012 г. Составитель (ли): Т.

Проверка правильности введения формул

Для проверки правильности введенных формул производите поочередно двойное нажатие левой клавиши мыши на ячейки с формулами. При этом на экране рамкой будут выделяться ячейки, используемые в формуле (рис.1.4 и 1.5).Рис.1.4. Проверка правильности введения формулы в целевую ячейку F6

Рис.1.5. Проверка правильности введения формулы в ячейку F12для левой части ограничения3

Задание ЦФ

Дальнейшие действия производятся в окне "Поиск решения", которое вызывается из меню "Сервис" (рис.1.6):

• 
  поставьте курсор в поле "Установить целевую ячейку";
  
• 
  введите адрес целевой ячейки $F$6 или сделайте одно нажатие левой клавиши мыши на целевую ячейку в экранной форме - это будет равносильно вводу адреса с клавиатуры;
  
• 
  введите направление оптимизации ЦФ, щелкнув один раз левой клавишей мыши по селекторной кнопке "максимальному значению".
  

Рис.1.6. Окно "Поиск решения" задачи (1.1)

Ввод ограничений и граничных условий

Задание ячеек переменных

В окно "Поиск решения" в поле "Изменяя ячейки" впишите адреса $B$3:$E$3. Необходимые адреса можно вносить в поле "Изменяя ячейки" и автоматически путем выделения мышью соответствующих ячеек переменных непосредственно в экранной форме.

Задание граничных условий для допустимых значений переменных

В нашем случае на значения переменных накладывается только граничное условие неотрицательности, то есть их нижняя граница должна быть равна нулю (см. рис.1.1).

• 
  Нажмите кнопку "Добавить", после чего появится окно "Добавление ограничения" (рис.1.7).
  
• 
  В поле "Ссылка на ячейку" введите адреса ячеек переменных $B$3:$E$3. Это можно сделать как с клавиатуры, так и путем выделения мышью всех ячеек переменных непосредственно в экранной форме.
  
• 
  В поле знака откройте список предлагаемых знаков и выберите .
  
• 
  В поле "Ограничение" введите адреса ячеек нижней границы значений переменных, то есть $B$4:$E$4. Их также можно ввести путем выделения мышью непосредственно в экранной форме.
  

Рис.1.7. Добавление условия неотрицательности переменных задачи (1.1)

Задание знаков ограничений, , =

• 
  Нажмите кнопку "Добавить" в окне "Добавление ограничения".
  
• 
  В поле "Ссылка на ячейку" введите адрес ячейки левой части конкретного ограничения, например $F$10. Это можно сделать как с клавиатуры, так и путем выделения мышью нужной ячейки непосредственно в экранной форме.
  
• 
  В соответствии с условием задачи (1.1) выбрать в поле знака необходимый знак, например =.
  
• 
  В поле "Ограничение" введите адрес ячейки правой части рассматриваемого ограничения, например $H$10.
  
• 
  Аналогично введите ограничения: $F$11>=$H$11, $F$12<=$H$12.
  
• 
  Подтвердите ввод всех перечисленных выше условий нажатием кнопки OK.
  

Окно "Поиск решения" после ввода всех необходимых данных задачи (1.1) представлено на рис.1.6.

Если при вводе условия задачи возникает необходимость в изменении или удалении внесенных ограничений или граничных условий, то это делают, нажав кнопки "Изменить" или "Удалить" (см. рис.1.6).

РАБОТА 4. Моделирование макроэкономических и микроэкономических процессов и систем (6 час.)

Цель работы: изучение модели Солоу, исследование возможности внесения в нее изменений и изучение поведения модели при смене значений некоторых параметров, что соответствует регулированию экономической системы.

Задание 1.Построить имитационную схему для модели Солоу и проследить ее динамику на протяжении 30 лет для следующих значений параметров:

ν=0,1μ=0,3ρ=0,4 Х=3K0,6L0,4

Начальные значения переменных:

K=800000 L=1000000

v - темп прироста населения;

µ - темп потерь фондов;

p - норма накопления;

K - объем основных производственных фондов;

L - трудовые ресурсы.

Построим имитационную схему для модели Солоу и проследим ее динамику на протяжении 50 лет:

Найдем значения K и L, воспользовавшись следующими соотношениями:





Система уравнений модели выглядит следующим образом:







- инвестиции

- непроизводственное потребление

- норма потребления

имитационный солоу фондовооруженность

Найдем решение с использованием электронных таблиц MicrosoftExcel:

t	K	L	X	I	C	k
0	800000	1000000	2624069	1049628	1574441	0,8
1	1609628	1100000	4146805	1658722	2488083	1,463298
2	2785461	1210000	5986509	2394604	3591906	2,302034
3	4344427	1331000	8119924	3247970	4871954	3,264032
4	6289068	1464100	10531769	4212708	6319061	4,295518
5	8615055	1610510	13214827	5285931	7928896	5,349272
6	11316469	1771561	16169265	6467706	9701559	6,387852
7	14389234	1948717	19401861	7760744	11641117	7,383952
8	17833208	2143589	22925327	9170131	13755196	8,319323
9	21653377	2357948	26757794	10703117	16054676	9,183145
10	25860481	2593742	30922454	12368982	18553473	9,970335
11	30471319	2853117	35447354	14178941	21268412	10,68001
12	35508864	3138428	40365303	16146121	24219182	11,31422
13	41002326	3452271	45713904	18285562	27428343	11,87691
14	46987190	3797498	51535676	20614270	30921406	12,3732
15	53505303	4177248	57878260	23151304	34726956	12,80874
16	60605016	4594973	64794715	25917886	38876829	13,18942
17	68341397	5054470	72343885	28937554	43406331	13,52098
18	76776532	5559917	80590840	32236336	48354504	13,80893
19	85979908	6115909	89607394	35842958	53764437	14,0584
20	96028894	6727500	99472697	39789079	59683618	14,27408
21	1,07E+08	7400250	1,1E+08	44109560	66164340	14,46023
22	1,19E+08	8140275	1,22E+08	48842765	73264148	14,62065
23	1,32E+08	8954302	1,35E+08	54030896	81046344	14,75872
24	1,47E+08	9849733	1,49E+08	59720363	89580544	14,87743
25	1,62E+08	10834706	1,65E+08	65962199	98943299	14,97941
26	1,8E+08	11918177	1,82E+08	72812518	1,09E+08	15,06694
27	1,99E+08	13109994	2,01E+08	80333013	1,2E+08	15,14202
28	2,19E+08	14420994	2,21E+08	88591517	1,33E+08	15,20639
29	2,42E+08	15863093	2,44E+08	97662611	1,46E+08	15,26155
30	2,67E+08	17449402	2,69E+08	1,08E+08	1,61E+08	15,3088

Как видно из расчетов при увеличении объемов инвестиций и потребления в динамике за 30 лет фондовооруженность увеличивается, что соответствует первому режиму изменения фондовооруженности.

Задание 2. Вычислить стационарное значение фондовооруженности

Найдем значение стационарной фондовооруженности по формуле:



В нашем случаеk*= 15,58846.

Вычислим теоретические значения критической фондовооруженности

по формуле:

Получили:

= 4,346916
Задание 3. Подобрать начальные значения K,L таким образом, чтобы смоделировать два режима изменения фодовооруженности

Начальные параметры берем K=13570000 и L=1425000. Остальные параметры оставим без изменения.

t	K1	L1	k1*	X1	I1
0	13570000	1425000	9,522807	16527041	6610816
1	16109816	1567500	10,27739	19030869	7612348
2	18889219	1724250	10,95504	21751527	8700611
3	21923064	1896675	11,55868	24709228	9883691
4	25229836	2086343	12,09285	27926992	11170797
5	28831682	2294977	12,56295	31430737	12572295
6	32754472	2524474	12,97477	35249423	14099769
7	37027900	2776922	13,33415	39415239	15766096
8	41685625	3054614	13,64677	43963837	17585535
9	46765472	3360075	13,91798	48934602	19573841
10	52309672	3696083	14,15273	54370977	21748391
11	58365161	4065691	14,35553	60320819	24128327
12	64983940	4472260	14,53045	66836810	26734724
13	72223482	4919486	14,6811	73976915	29590766
14	80147203	5411435	14,81071	81804889	32721956
15	88824998	5952579	14,9221	90390843	36156337
16	98333836	6547837	15,01776	99811866	39924746
17	1,09E+08	7202620	15,09984	1,1E+08	44061087
18	1,2E+08	7922882	15,17024	1,22E+08	48602638
19	1,33E+08	8715170	15,23057	1,34E+08	53590383
20	1,47E+08	9586687	15,28227	1,48E+08	59069386
21	1,62E+08	10545356	15,32654	1,63E+08	65089200
22	1,78E+08	11599892	15,36444	1,79E+08	71704308
23	1,96E+08	12759881	15,39688	1,97E+08	78974626
24	2,16E+08	14035869	15,42465	2,17E+08	86966037
25	2,39E+08	15439456	15,4484	2,39E+08	95750997
26	2,63E+08	16983402	15,46871	2,64E+08	1,05E+08
27	2,89E+08	18681742	15,48609	2,9E+08	1,16E+08
28	3,19E+08	20549916	15,50095	3,19E+08	1,28E+08
29	3,51E+08	22604907	15,51366	3,51E+08	1,41E+08
30	3,86E+08	24865398	15,52452	3,87E+08	1,55E+08

Эти данные соответствуют второму режиму фондовооруженности.


Вычисляем аналогично, взяв за начальные параметры K=13000000 иL=670000.

t	K2	L2	k2*	X2	I2
0	13000000	670000	19,40299	11910149	4764060
1	13864060	737000	18,81148	12860045	5144018
2	14848860	810700	18,3161	13921345	5568538
3	15962740	891770	17,90006	15103822	6041529
4	17215447	980947	17,54982	16418385	6567354
5	18618167	1079042	17,25435	17877167	7150867
6	20183584	1186946	17,00464	19493624	7797450
7	21925958	1305640	16,79326	21282657	8513063
8	23861233	1436205	16,61409	23260739	9304295
9	26007159	1579825	16,46205	25446062	10178425
10	28383436	1737807	16,3329	27858703	11143481
11	31011887	1911588	16,2231	30520799	12208320
12	33916640	2102747	16,12968	33456751	13382700
13	37124349	2313022	16,05015	36693441	14677377
14	40664421	2544324	15,98241	40260482	16104193
15	44569287	2798756	15,92468	44190478	17676191
16	48874692	3078632	15,87546	48519328	19407731
17	53620016	3386495	15,83348	53286549	21314620
18	58848631	3725145	15,79768	58535634	23414254
19	64608295	4097659	15,76712	64314449	25725780
20	70951586	4507425	15,74105	70675668	28270267
21	77936378	4958167	15,71879	77677253	31070901
22	85626366	5453984	15,69978	85382981	34153192
23	94091648	5999383	15,68356	93863020	37545208
24	1,03E+08	6599321	15,6697	1,03E+08	41277830
25	1,14E+08	7259253	15,65786	1,13E+08	45385033
26	1,25E+08	7985178	15,64775	1,25E+08	49904196
27	1,37E+08	8783696	15,63912	1,37E+08	54876438
28	1,51E+08	9662066	15,63174	1,51E+08	60346998
29	1,66E+08	10628272	15,62544	1,66E+08	66365641
30	1,83E+08	11691100	15,62006	1,82E+08	72987114

Из таблицы видно, что эти данные соответствую третьему режиму фондовооруженности.

Задание 4. Проверить «золотое правило накопления»

Данная имитационная схема позволяет менять параметры исходной модели, рассматриваемые там как постоянные величины. Так, регулируя норму накопления, можно добиться увеличения в перспективе нормы потребления. «Золотое правило накопления», выводимое на основе аналитического решения, дает для нормы накопления наилучшее значение .

Найдем норму потребления с для каждого значения p, принадлежащий промежутку (0,1;0,9) (с шагом 0,1), на пять периодов:


Задание 5. Планирование производства

Постановка задачи.

В этой задаче считается, что доход нелинейно зависит от объемов выпуска, поскольку цена реализации за продукт представлена нелинейной функцией, которая зависит от объема реализации. Нужно определить оптимальный план производства трех видов продуктов с использованием имеющихся четырех видов машин и покупки пяти видов сырья. Данные представлены в табл. 2.1. Доход от реализации продукта определяется величиной: Доход=Цена реализации*Кол-во продукции, где цена реализации задана нелинейной функцией, которая зависит от объема реализации:

1. 
   при количестве <= Спрос/4: Цена реализации = Базовая цена;
   
2. 
   при количестве <= Спрос/2: Цена реализации = Базовая цена – Базовая цена * Кол-во продукции/2 * Спрос;
   
3. 
   при количестве > Спрос/2: Цена реализации = Базовая цена/2.
   

Целевая функция (прибыль) есть разница между доходом от реализации всей продукции и затратами на их производство. Экономико-математическая модель. Найти такой план, чтобы: Прибыль=Доход–Затраты → mах, где Доход=Цена реализации*План; Затраты=Кол-во сырья*Цена при ограничениях:

• 
  Затраты машинных ресурсов <= Запас;
  
• 
  План <= Спрос;
  
• 
  План >= 0.
  

Технология выполнения работы

Реализация. Создайтев Excel таблицу с формулами, которые связывают план, ограничения и целевую функцию (Прибыль) (рис. 2.1).



Рис. 2.1

1. 
   В строку Доход введите формулы: =Цена реализации*План или =B7*B3.
   
2. 
   Строку Цена реализации заполните формулами:=ЕСЛИ(План<=Спрос/4;Базовая цена;ЕСЛИ(План<=Спрос/ 2; Базовая цена–(Базовая цена*Кол-во продукции)/ (2*Спрос); (Базовая цена/2))) или =ЕСЛИ(B3<=B6/4;B4;ЕСЛИ(B3<=B6/2;B4-(B4*B3)/(2*B6);B4/2))
   
3. 
   В столбец Затраты введите формулы:=СУММПРОИЗВ(План;Норма) или =СУММПРОИЗВ($B$3:$D$3;B9:D9).
   
4. 
   Столбец Остаток заполните формулой: =Запас–Затраты.
   
5. 
   В столбец Количество сырья введите формулы: =СУММПРОИЗВ(План;Цена) или =СУММПРОИЗВ($B$3:$D$3;B15:D15).
   
6. 
   Столбец Стоимость заполните формулами: =Цена*Количество сырья. В ячейку Затраты введите формулу суммы столбца Стоимость: =СУММ(G15:G19).
   
7. 
   В целевую ячейку введите формулу: =Доход–Затраты. Запустите программу Поиск решений командой Данные/Анализ/Поиск решения Сервис/Поиск решения(в Excel 2003 и ниже). В полях Установить целевую ячейку, Изменяя ячейки, Ограничения введите соответствующие адреса ячеек. Не забудьте зафиксировать в окне Параметры поиска решений переключатель на позицию Неотрицательные значения (рис. 2.2).
   
8. 
   Нажмите кнопку Выполнить и в появившемся окне Результаты поиска решения выведите Отчет по устойчивости (рис. 2.3).
   
9. 
   Анализ результата. Оптимальный план производства (25, 21,1, 30) обеспечивает максимальную прибыль. Множитель Лагранжа для дефицитной машины 2 указывает на увеличение целевой ячейки при увеличении его запаса на 1 ед.
   

Рис. 2.2

Рис. 2.3

Работа 5. Моделирование микроэкономических процессов и систем (8 час.)

9. 
   Цель занятия – освоить технологию моделирования микроэкономических процессов и систем на основе инструментария информационной технологии или языков программирования.
   
10. 
    Краткая теоретическая справка.
    
11. 
    Задание. Выполнить постановку задачи планирования и управления производством предприятия.
    
12. 
    Рассмотреть возможности реализации задачи с помощью пользовательского программного обеспечения или языков программирования.
    
13. 
    Задание. Изучить структуру и интерфейс выбранной технологии.
    
14. 
    Задание. Реализовать постановку задач на основе выбранной технологии.
    
15. 
    Технология выполнения задания.
    
16. 
    Отчет.
    

РАБОТА 6. Модели хаотической динамики (4 час.)

Задание. Исследовать модель динамического хаоса

Для моделей динамического хаоса характерно что предсказать поведение модели на длительный период невозможно. Данное свойство проявляется даже у сравнительно простых с точки зрения структуры модели систем различной природы – технических, химических, биологических, социальных, экономических и многих других.

Процессы в хаотических моделях имеют вид не регулярных колебаний в которой происходит изменения частоты, амплитуды и фазы колебаний. Примером модели динамического хаоса может служит модель странного аттрактора Лоренца, результаты моделирования которой приведены на рис. 10.1.



а б

Рис. 10.1. Результаты моделирования модели странного аттрактора Лоренца: а – вид процессов, б – фазовый портрет

Технология выполнения работы

1. Моделирование динамического хаоса в пакете MatLab

Для численного моделирования систем дифференциальных уравнений представленных в нормальной форме Коши MatLAB предоставляет возможностьдве функции использующие метод Рунге-Кутта: ode23() - 2-3 порядкаи ode45() -4-5 порядка. Вызов функций построен по следующему шаблону:

[<точки времени>,<значения переменных>]=ode23(<имя функции с моделью в НФК>, <начальное значение времени интегрирования>, <конечное значение времени>, <начальные значения переменных>, <точность интегрирования>) ;

Например, нам дано уравнение, не относящиеся к моделям хаоса, вида:

.

Преобразуем его к НФК:

Переписываем эту систему уравнений в виде функции MatLAB:

function xx=dx(t, x)

xx(1)=x(1).*(1-x(2).^2)-x(2) ;

xx(2)=x(1);

Функция должна быть сохранена в файле с именем, совпадающим с именем функции и имеющим расширение ‘M’. Для того что бы MatLAB мог найти функцию необходимо указать путь до каталога, в который сохранен файл с его текстом. Сделать это можно с помощью команды path. При вызове команды path без параметров выдается список всех путей используемых в MatLAB. С помощью вызова path( matlabpath,’новый путь’) можно добавить новый путь в список путей.

Вызов ode23 или ode45 позволяет рассчитать значения процессов в модели:

[t, x] = ode23('dx',0,10,[-2, 2],1e-5).

Количество элементов в массиве x можно узнать с помощью команды size(x). Для построения графиков необходимо вызвать функции plot(t, x).

Для построения фазового портрета необходимо переписать значения отсчетов сигналов из двухмерного массива в вектора содержащие отсчеты только одного процесса.

Задания на моделирования моделей динамического хаоса

Маятник с возбуждающей силой

Уравнение маятника, к которому приложена возбуждающая сила можно описать в виде

,

где – угол отклонения маятника, – возбуждающая сила.

Обозначив координаты описывающие модель в виде:

,

получим следующий вид модели, результаты численного моделирования которой показаны на рис. 4.1.

.

Странный аттрактор Лоренца

Модель странного аттрактора Лоренца является одной из самых необычных моделей нелинейной динамики открытой американским метеорологом Эдвардом Лоренцом в 1963 г.Математическая модель странного аттрактора Лоренца приведена ниже:



Для моделирования рекомендуются начальные условия .

Цепь Чуа

Цепь Чуа была предложена в 1982 г. Схема содержала всего один нелинейный элемент, но оказалась способна генерировать хаотические колебания. Вид схемы Чуа приведен на рис. 10.2. Математическая модель цепи Чуа имеет вид:

,

где .



Рис. 10.2. Цепь Чуа

При значениях параметров , , , траектория системы демонстрируют хаотическое поведение.

Уравнение Дуффинга

Уравнение Дуффинга описывает систему 2-го порядка с нерегулярными колебаниями. Модель системы описывается следующим образом:

.

Для получения хаотических процессов рекомендуется взять следующие параметры: ,, , .

Для численного моделирования в пакете MatLab Вам необходимо преобразовать модель к нормальной форме Коши:

.

Система Росслера

Система Росслера описывается системой уравнений вида:

,

рекомендуемые параметры для моделирования: , , .