Российской федерации курский государственный технический университет

Примеры решения задач Пример 1. Электрон в атоме водорода перешел с четвёртого энергетического уровня на второй. Определить энергию испущенного при этом фотона. Решение. Для определения энергии фотона воспользуемся сериальной формулой Бальмера для водородоподобных ионов: . (1) где  - длина волны фотона; R - постоянная Ридберга; Z - заряд ядра в относительных единицах (при Z = 1 формула переходит в сериальную формулу для водорода); n1 - номер орбиты, с которой перешел электрон; n2 - номер орбиты, на которую перешел электрон ( n1 и n2 - главные квантовые числа). Энергия фотона  выражается формулой  = hc/ Поэтому, умножив обе части равенства (1) на hc, получим выражение для энергии фотона:  Так как Rhc есть энергия ионизации Ei атома водорода, то  Вычисления выполним во внесистемных единицах: Ei = 13,6 эВ. Z = 1; n1 = 2; n2 = 4:  = 13,612(1/22 - 1/42) эВ = 13,63/16 = 2,55 эВ. Пример 2. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля электрона для двух случаев: 1) U1 = 51 В; 2) U2 = 510 кВ. Решение. Длина волны де Бройля для частицы зависит от её импульса p и определяется формулой Б = h/p, (1) где h - постоянная Планка. Импульс частицы можно определить, если известна её кинетическая энергия T. Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше её энергии покоя) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы). В нерелятивистском случае  где mo - масса покоя электрона. В релятивистском случае  (3) где Eo = moc2 - энергия покоя электрона. Формула (1) с учётом соотношений (2) и (3) запишется: в нерелятивистском случае  (4) в релятивистском случае . (5) Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U1 = 51 В и U2 = 510 кВ, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую из формул (4) или (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля. Электрическое поле совершает над электроном работу, которая равна изменению его кинетической энергии T: T = eU В первом случае T1 = eU = 51 эВ = 0,5110-4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона Eo = moc2 = 0,51 МэВ. Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения расчётов заметим, что T1 = =10-4moc2. Подставив это выражение в формулу (4), перепишем её в виде  Учитывая, что h/moc есть комптоновская длина волны , получим 1 = 102. Так как  = 2,43 пм, то 1 = 1022,43/ = 171 (пм). Во втором случае кинетическая энергия T2 = eU2 = 510 кэВ = 0,51МэВ, т.е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (5). Так как T2 = moc2, то по формуле (5) находим  Подставим значение  и произведём вычисления: Пример 3. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка T = 10 эВ. Используя соотношение неопределённостей, оценить минимальные линейные размеры атома. Решение. Соотношение неопределённостей для координаты и импульса имеет вид xpx  ћ (1) где x - неопределённость координаты x электрона; px - неопределённость проекции импульса электрона на ось X; ħ - постоянная Планка делённая на 2. Из соотношения неопределённостей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределённым становится соответствующая проекция импульса, а следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры , тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределённостью x = /2. Соотношение неопределённостей (1) можно записать в том случае в виде (/2)px  ħ, откуда   2ħ/px (2) Физически разумная неопределённость импульса px во всяком случае не должна превышать значения самого импульса px, то есть px  px. Импульс px связан с кинетической энергией T соотношением px = (2mT)1/2. Переходя от неравенства к равенству, получим  (3) Произведём вычисления: min = 21,0510-34/(29,110-311,610-1910)1/2 = 124 нм. Пример 4. Волновая функция описывает основное состояние частицы в бесконечно глубоком прямоугольном ящике шириной . Вычислить вероятность нахождения частицы в малом интервале  = 0,01 в двух случаях: 1) вблизи стенки (0 < x < ); 2) в средней части ящика (( - )/2 ≤ x ≤( + l)/2). Решение. Вероятность того, что частица будет обнаружена в интервале dx (от x до x + dx), пропорциональна этому интервалу и квадрату модуля волновой функции, описывающей данное состояние, равна d = (x)2dx. В первом случае искомая вероятность найдётся интегрированием в пределах от 0 до 0,01:  Так как x изменяется в интервале 0 ≤x ≤0,01 и, следовательно, x/ <, справедливо приближённое равенство sin2(x/)  (x/)2. С учётом этого выражение (1) примет вид  После интегрирования получим  = . Во втором случае можно обойтись без интегрирования, так как квадрат модуля волновой функции вблизи её максимума в заданном малом интервале ( = =0,01) практически не изменяется. Искомая вероятность во втором случае определяется выражением  = 2(sin2(/2)/ = 20,01/ = 0,02. Пример 5 Найти заряд ядра атомов вещества, для которых K-линия в характеристическом рентгеновском спектре имеет длину волны =193,5 пм. Решение. По закону Мозли , где Z - зарядовое число ядра атома, R = 2,0671016 с-1 Отсюда выразим Z  =2= откуда Ответ Q=+26e Пример 6. На медную фольгу, у которой nd = 1,510-2 кг/м2, падает перпендикулярно узкий пучок  - частиц, энергия которых 5,29 МэВ. На угол  > 6° рассеивается больше 1% всех -частиц. Определить число протонов Z в ядре меди. Решение. Рассеяние -частиц на ядрах атомов описывается формулой Резерфорда: По условию задачи  частицы рассеиваются в пределах углов 6°< <180°, поэтому число рассеянных -частиц можно определить интегрированием: те (1) По условию задачи N/N  0,01. Выполнив в (1) некоторые преобразования, получим  (2) Для определения Z необходимо найти nd - число ядер фольги на единицу ее поверхности. В условии задачи дается d, поэтому nd находим по формуле:  где  = 0,064 кг/моль, NА - число Авогадро. Количество протонов в ядре меди найдём из уравнения (2):  4ctg230=4573 О твет: Z = 29. Пример 7. Узкий пучок протонов с кинетической энергией Т = 100 кэВ падает перпендикулярно на золотую фольгу, для которой d = 102 кг/м2. Протоны под углом =60° регистрирует счетчик с круглым отверстием S=1 см2, которое расположено на расстоянии R = 10 см от участка фольги, рассеивающей протоны. Отверстие счетчика расположено перпендикулярно к направлению падающих на него протонов. Доля рассеянных протонов, падающих на отверстие счетчика, составляет N/N = 410-4. Определить массовое число ядра атома золота. Решение. Для нахождения массового числа А примем, что Мат  АmN.и воспользуемся формулой :  (1) В условии задачи задана площадь S, на которую под углом  в пределах  падают частицы. Поскольку площадка и количество частиц N имеют определенные значения, уравнение (1) необходимо записать в интегральной форме:  (2) Учитывая малые изменения углов  и  интеграл в выражении (2) запишем в следующем виде: (3) где  - среднее значение угла . Используя приближение (3), определим А:  (4) Ответ: А = 194. Пример 8. Вычислить сечение ядра атома золота, которое соответствует рассеянию протонов с кинетической энергией Т = МэВ в пределах углов  от 60° до 180°. Решение. Рассеяние частиц ядром в пределах углов от  до  + d определяется площадью d эффективного сечения ядра в виде кольца (рис.1.1): d = 2bdb . (1) Прицельное расстояние b найдем из формулы:  (2) где q1 - заряд протона, q2 - заряд ядра золота. Дифференциал от b равен: ; (3) Подставив выражение (2) и (3) в (1), получим:  (4) Сечение ядра, на котором рассеиваются частицы в пределах углов от 1 до 2:  (5) Подставим выражение (4) в интеграл (5):  (6) После интегрирования получим:  где q1=+e q2=78e : = 2,1-10-26 м2. Пример 9. Атомное ядро, поглотив  - фотон ( = 0,47 пм), возбудилось, после чего распалось на отдельные нуклоны, которые разлетелись в разных направлениях. Суммарная кинетическая энергия нуклонов равна 0,4 МэВ. Определить энергию связи Есв ядра. Решение. На основании закона сохранения энергии имеем: Мя + h = Zmp + (А - Z)mn + Т где Т - кинетическая энергия нуклонов. Энергия связи: Eсв = Zmp + (A-Z)mn – Mя = h - T Eсв=h - T = hc/ - T Произведём вычисления Ответ: Есв = 2,2 МэВ. Пример 10. Рассчитать с помощью формулы Вейцзеккера энергию связи Са40. Решение. Полуэмпирическая формула Вейцзеккера позволяет найти энергию связи ядра по его значениям А и Z: Eсв=14A - 13A2/3 - 0584Z2/A1/3 - 193 Для ядра Ca40  = -1 Eсв = 1440 - 13402/3 - 058202/402/3 – 193(40-40)/20 - 335(-1)/403/4 = 342 МэВ Ответ: Е. = 342 МэВ. Пример 11. а) Определить с помощью формулы Вейцзеккера заряд Z ядра, которое имеет наименьшую массу среди ядер с одинаковым нечетным значением массового числа А. б)Определить с помощью полученной формулы характер активности следующих  активных ядер: Ag103 и Sn127. Решение. а) Воспользовавшись формулой Вейцзеккера, выразим массу ядра как функцию А и Z: Mя = Zmp + (A-Z)mn – 14A + 13A2/3 0584Z2/A1/3 +193 При заданном А масса ядра является функцией Z т.е. Мя = f(Z) (рис.1.2). Чтобы найти Zmin, найдём производную dM/dZ и приравняем её к нулю dM(Z)/dZ = 0 Функция М(Z) имеет один минимум. Решив уравнение dM(Z)/dZ = 0 относительно Z, получим ответ на вопрос задачи: dM/dZ=mp-mn + 2Z0584/A1/3 +193 = 0 mp-mn=1007276-1008665=13 МэВ 785=Z(1544/A+117A-1/3) Zmin=785A/1544+117A2/3=A/198+0015A2/3 б) Определим Zmin для А = 103,  Но Z может быть только целым числом, поэтому принимаем Zmin = 45. Радиоактивность Аg103 будет направлена на уменьшение Z, поэтому распад ядра идет по схеме:  Находим Zmin для А = 127: Zmin=54 Распад ядра ведет к увеличению Z. Из этого следует, что оно обладает электронной активностью:  Ответ: Zmin = А/(1,98 + 0015 А2/3).

Похожие:

	Адрес Оргкомитета РФ, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Московский физико-технический институт (государственный университет),...		Российской федерации уральский государственный технический университет
	Xvi международная конференция Математика. Экономика. Образование.... РФ, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Московский физико-технический институт (государственный университет),...		Трансформация современного отечественного образования в контексте диалога культур россии и США Дм 212. 242. 12 по защите диссертаций на соискание учёной степени доктора культурологии при гоу впо «Саратовский государственный...
	Министерство образования и науки российской федерации фгбоу впо «Алтайский... Федерального закона Российской Федерации «О высшем и послевузовском образовании» (от 22. 08. 1996 №125-фз)		Московский Государственный Технический Университет Гражданской Авиации (мгту га) Государственный Технический Университет Гражданской Авиации (мгту га) имеет честь сообщить, что приглашает юношей и девушек Вашей...
	Методические рекомендации по выполнению курсовой работы по дисциплине... Курский государственный медицинский университет федерального агентства по здравоохранению		Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное... «Тамбовский государственный технический университет» (далее – Университет в соответствующем падеже) является нормативным локальным...
	Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное... «Тамбовский государственный технический университет» (далее – Университет в соответствующем падеже) является нормативным локальным...		Правила приема в Кирсановский авиационный технический колледж филиал... Порядком организации и осуществления образовательной деятельности по образовательным программам среднего профессионального образования,...