1.1. Неопределённость данных
Все данные, используемые на практике, по уровню определённости могут быть отнесены к одному из следующих трёх классов:
Точно определённые;
Вероятностные или статистические;
Приближённые данные, не имеющие статистических (вероятностных) характеристик.
З...5% 2...3%
Приближенные данные
Точные данные
Вероятностные данные
Рис. 1.2. Примерное соотношение точных, вероятностных и
приближенных данных
Точные данные получают либо в результате элементарного счёта (в цехе 10 станков, в неделе 7 дней, в отделе 15 человек и т.п.), либо на основе результатов измерений, погрешностью которых можно пренебречь (если она не отражается на результатах решения конкретной прикладной задачи): округляя результаты измерений, мы избавляемся от приближённости (неопределённости). Точных данных в жизни встречается не много, а вот к округлению данных мы настолько привыкли, что, как правило, даже не задумываемся, можно ли не учитывать объективно существующую погрешность.
Данные, имеющие вероятностные (статистические) характеристики, на практике встречаются ещё реже. Для получения таких данных требуется соблюдение 2-х принципов: массовости данных и статистической однородности (одинаковости) условий их получения. На практике эти принципы часто оказываются трудновыполнимыми. Вместе с тем целый ряд очень важных задач решается именно на вероятностном уровне. К таким задачам относится, например, задача метрологической аттестации измерительных средств, ставшая обязательной нормативной процедурой: в результате решения этой задачи для каждого типа измерительных средств строится вероятностный закон распределения погрешностей, приводимый в технических паспортах.
По разным оценкам доля точных и вероятностных данных в общем объёме данных в различных областях составляет не более 10%.
Наиболее многочисленную группу в жизни обычно составляют приближённые данные - единичные результаты измерений и оценки расчётов. Погрешностью этих данных пренебрегать нельзя, её необходимо учитывать.
А из-за единичности (не массовости) этих данных нет возможности перейти на уровень статистических оценок и применить аппарат теории вероятностей. К числу задач, использующих подобные данные, относятся, в первую очередь, многочисленные задачи анализа качества продукции, планирования, прогнозирования, управления. Причём, учёт неопределённости в этих задачах играет принципиальную роль: при детерминированном представлении, когда всё точно известно и неопределённости нет многие важные практические задачи вырождаются до некорректных, а получить вероятностные оценки даже с помощью моделирования сложных объектов либо очень трудоёмко и дорого, либо просто невозможно. Характерным примером подобных задач являются широко распространённые задачи управления социально-экономическими системами (предприятиями, компаниями, организациями), которые при ближайшем рассмотрении оказываются уникальными (не массовыми), а деятельность их приходится организовывать в динамично меняющихся условиях (правовых, административных, кадровых, технологических, производственных, информационных и т.п.).
Приближённые данные по особенностям получения подразделяются на 2 группы. Первую группу составляют результаты измерений, получаемые на выходе аттестованных метрологических средств с известными вероятностными законами распределения погрешностей. В этом случае по имеющейся оценке Х измеренной величины можно только заключить, что действительное значение X этой величины с определённой (гарантированной) вероятностью РΔ находится в соответствующем интервале Δ, т.е. получить только интервальное представление об измеренной величине. Например, при нормальном законе распределения погрешностей измерений
 (4)
где  - погрешность измерений;
 - математическое ожидание и среднеквадратическая ошибка измерений.
По полученной оценке Х можно лишь заключить, например, что действительное значение измеренной величины:
с вероятностью  находится в интервале 6 
с вероятностью  находится в интервале 4
с вероятностью  находится в интервале 2
В последующих расчётах, когда погрешностью измерений пренебречь нельзя, необходимо использовать именно интервальную оценку измеренной величины, представляющую эту величину в виде интервала неопределённости Δ и соответствующего ему уровня гарантированной вероятности РΔ.
Величина неопределённости Δ оцениваемой величины X зависит от уровня гарантированной вероятности РΔ. Значения величин Δ и РΔ всегда связаны однозначной зависимостью. Важно сначала понять, с каким уровнем гарантированной вероятности должна решаться задача? Тогда с выбором конкретного интервала неопределённости затруднений не возникает. Вторую группу приближённых данных составляют результаты измерений простейшими измерительными средствами (линейкой, транспортиром и т.п.), не имеющими законов распределения погрешностей, и количественные оценки различных специалистов. В этом случае получаемые результаты характеризуют предельной или предельно допустимой погрешностью. Например, производя измерения линейкой, мы получаем результат с предельной погрешностью в 1мм (± 0,5мм), микрометром - в 0,01мм (± 0,005мм). Диспетчер на основании имеющегося опыта и конкретных условий определяет время окончания какой-то работы в виде интервала. При этом он не анализирует корректную выполнимость вероятностных условий (массовости и статистической однородности) для тех опытных данных, на которые он опирается в своих рассуждениях (он даже может и не знать вероятностных основ). Он пользуется приближёнными данными на простейшем, детерминированном уровне. И так поступают в большинстве случаев на практике высококвалифицированные специалисты (эксперты), досконально знающие свою предметную область (начальники участков, цехов, производств, экономисты, логистики и т.п.). И несмотря на то, что никаких строгих статистических оценок и методик получения подобных данных эти специалисты не используют, такие данные служат основой очень важных расчётов, планов и решений. Очевидно, степень приближения таких данных нужно учитывать и оценивать её влияние на неопределённость конечных результатов.
Если математический аппарат для детерминированных точных и вероятностных представлений хорошо разработан (теория чисел, функциональный анализ, теория вероятностей, математическая статистика и др.) и составляет базовую основу образования высшей школы, то для приближённых интервальных представлений такого аппарата до последнего времени не было. Для преодоления этого принципиального недостатка предлагались (и предлагаются) различные идеи. В частности, для работы с приближёнными интервальными данными разработана специальная интервальная математика, отражающая не только элементарные действия с этими данными и пересчёты интервалов неопределённостей, но и определяющая правила более сложного анализа /137,169,170/. Однако можно уверенно утверждать, что методы интервальной математики не нашли широкого практического применения. Это является следствием важного недостатка интервальной математики, имеющего принципиальное значение: в интервальной математике не учитывается частота появления возможных значений рассматриваемой величины в пределах выделенного интервала неопределённости. К сожалению, эта частота не остаётся неизменной при выполнении действий с интервальными величинами. Это обстоятельство можно проиллюстрировать на следующем простейшем примере.
Допустим, для получения оценки X некоторого показателя приходится складывать значения двух слагаемых X1 и Х2, имеющих одинаковые интервалы неопределенностей, в пределах которых эти слагаемые могут принимать любые целочисленные значения от -5 до +5, частота f1,2 появления которых одинакова и равна 1/11 (рис.1.3). В результате сложения могут быть получены значения оцениваемого показателя X в интервале от -10 до +10, почти в два раза превышающем величину исходных интервалов неопределенности. Частота появления отдельных значений в рамках интервала [-10, +10] будет далеко не одинаковой. Так, значение, равное нулю, получится, когда значение второго слагаемого будет равным значению первого, но противоположно ему по знаку. Всего таких комбинаций будет 11. Значение, равное единице, получится в десяти комбинациях и т. д. В итоге частота fx появления значений результирующего показателя X будет иметь вид, представленный на рис. 1.4, и будет существенно отличаться от частоты появления значений исходных слагаемых. Это отличие становится еще большим в задачах, не сводящихся к простому суммированию показателей Х1 и Х2.
fх1,2 fх
1/11 11/121
Х1 1/121
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Х2 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 Х
Рис.1.3. Частота появления Рис.1.4. Частота появления
значений Х1 и Х2 значений Х=Х1+Х2
Так как характер изменения частоты возможных значений в интервальной математике не отражается, то объективно сравнить уровень неопределённости вычисленных результатов (а следовательно и уровень риска формируемых решений) становится невозможным. Кроме того, интервалы неопределённостей конечных результатов оказываются неоправданно расширенными, что также затрудняет проведение обоснованного выбора. Избежать указанных недостатков можно за счёт объединения достоинств интервального представления с анализом качества получаемых оценок. Именно эта идея положена в основу предложенного интервального гарантированного подхода или интервального гарантированного оценивания.
|
