1.4 Основные правила преобразования законов распределения
Основная задача анализа эффективности деятельности социально-экономических систем заключается не только в получении количественных значений показателей эффективности, но и в оценке степени их неопределённости. В рамках гарантированного интервального оценивания нужно уметь преобразовывать вид закона распределения (существующий или предполагаемый) исходных величин  в законы распределения показателей эффективности. С этой целью воспользуемся рекомендациями хорошо известных специалистов в области теории вероятностей и математической статистики, например, Тихонова В.И./132/ или Левина Б.Р. /173/. Приведём вначале общее правило преобразования, а затем рассмотрим случаи, наиболее характерные для задач эффективности. Пусть известна совокупность исходных величин Ei с n-мерной плотностью распределения вероятности Wn(E1,E2,...,En). Нужно найти плотность распределения возможных значений показателей эффективности θn, которые получаются из исходных величин Е1,Е2,...,Еn путём их нелинейного преобразования:
 (13)
Для двух величин
 ,
и обратных функций
якобиан преобразования равен:
 (14)
Поэтому
 .
Из последней формулы получаем одномерную плотность распределения вероятностей для одной величины  :
 (15)
Откуда для плотности вероятностей результирующей величины, получаемой в результате выполнения наиболее распространенных арифметических действий (суммы, разности, произведения и частного) двух случайных величин имеем следующие формулы:
а) Для суммы двух величин  :
 (16)
б) Для разности  :
 ; (17)
в) Для произведения  :
 (18)
г) Для частного  :
 (19)
Для плотности распределения вероятностей суммы двух независимых величин Е1 и Е2 , когда совместная плотность распределения вероятности  равна произведению одномерных плотностей распределения W(E1) и W(E2) каждая из которых описывается равномерным законом распределения:
Получаем формулу для плотности распределения вероятностей результирующей величины ,
 (20)
представленную на рис.1.9:
  , 
a b c a + c b + c d a + d b + d
Рис. 1.9 Плотность распределения суммы  независимых равномерно распределенных величин 
При одинаковых равномерных законах распределения исходных величин
 результирующая плотность распределения величины приобретает вид известного треугольного закона распределения (закона Симпсона), показанного на рис.1.10:
 (21)
 
a b 2a 2b
Рис.1.10. Плотность распределения суммы величин при одинаковых равномерных законах распределения
Как видим, при равномерных законах распределения исходных величин форма закона распределения не сохраняется даже при простейших преобразованиях. Это приводит к тому, что для обеспечения требуемого уровня гарантированности получаемых результатов интервалы неопределённости нужно корректно пересчитывать. Так, если взять полный интервал неопределённости величины 0, распределённой по закону Симпсона, то для разных уровней гарантированности он может оказаться существенно расширенным по отношению к необходимому. При суммировании п одинаково распределённых величин с равномерным законом распределения величина допустимого уменьшения результирующего интервала неопределённости X вычисляется по формуле, которую нетрудно получить из простых геометрических рассуждений (рис.1.11):
 (22)
 
a α β b na x/2 x/2 nb
Рис.1.11. Результирующий интервал неопределённости суммы равномерно
распределённых величин
Из этой формулы следует, что величина необходимого сокращения интервала неопределённости результирующего показателя прямо пропорциональна количеству суммируемых величин и находится в квадратичной зависимости от заданного уровня гарантированности результатов Рд. Так, для двух суммируемых величин Е (n=2) при Рд=0,9 правильно определённый интервал оказывается короче общего интервала неопределённости 2(b-а) на величину 0,66 (b-а), а при Рд=0,75 - на (b-а), т.е. в два раза; для четырёх исходных величин это уменьшение уже составляет 1,32 (b-а) и 2(b-а) соответственно по отношению к общему интервалу неопределённости 4(b-а).
Учитывая, что при анализе эффективности дело приходится иметь с большим числом составляющих показателей и качества, и затрат, и времени, корректно рассчитанные интервалы неопределённостей оказываются совершенно иными по сравнению с исходными.
Универсальной формы представления законов распределения, одинаково удобной для решения всех практических задач, не существует: даже самые известные и широко используемые в теории вероятностей и математической статистике законы распределения имеют и достоинства, и недостатки. Так, равномерный закон распределения в наилучшей мере отражает характер наибольшей неопределённости значений в рамках выбранного интервала. Для него просто считается уровень гарантированной вероятности. Однако даже при простейших преобразованиях он существенно трансформируется.
Нормальный закон распределения привлекает внимание из-за центральной предельной теоремы теории вероятностей - этим законом хорошо описываются данные измерений, проводимых в одних и тех же условиях (если в процессе измерений все мешающие факторы примерно одинаково отражаются на результатах измерений).
Однако нормальный закон имеет теоретически бесконечные «хвосты» (он не ограничен никаким интервалом), что противоречит практическому представлению статистических данных. Кроме того, уровень гарантированной вероятности при этом законе рассчитывается по формуле Лапласа:
 , (22)
через соответствующую функцию Ф(t) - функцию Лапласа, которая
вычисляется только таблично:
Нормальный закон удобен при композиции величин, но неудобен при других преобразованиях, например, при дифференцировании и интегрировании.
В некоторых задачах оказывается удобным экспоненциальный закон распределения или закон Пуассона в силу присущих ему свойств. Например, при дифференцировании и интегрировании экспоненциальной функции характер её сохраняется. Однако для этого закона даже простейшие вычисления приходится выполнять численно.
Именно поэтому в каждом конкретном случае вид представления закона распределений вероятностей целесообразно выбирать, исходя из особенностей решаемой задачи.
Устойчивость (возможность сохранения формы представления с изменением параметров) нормального закона распределения в практических задачах проявляется достаточно часто. Так, если провести композицию двух величин  , одна из которых имеет нормальную плотность распределения с параметрами  , а другая - равномерную плотность распределения на интервале [а,b], то в соответствии с формулой (16) плотность распределения суммы этих величин  будет иметь вид:
 (24)
Подинтегральная функция в последнем выражении есть не что иное, как нормальный закон с центром рассеивания  и среднеквадратическим отклонением  , а интеграл в этом выражении есть вероятность попадания величины , подчинённой этому закону, на участок от a до b, т.е.
 (25)
Графики исходных и результирующего законов распределений для параметров a=-2; b=2;  представлены на рис. 1.12:
W(θ1), W(θ2), W(θ)
θ1, θ2, θ
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Рис. 1.12. Вид плотности распределения композиции величин θ1 и θ2.
При композиции достаточно большого числа исходных величин с произвольными законами распределения суммарный закон оказывается близок по форме к нормальному. Так, при равномерно распределённых исходных величинах уже для трёх слагаемых закон распределения результирующей величины по форме напоминает нормальный (рис.1.13):
W(θ1), W(θ2), W(θ3) W(θ= θ1+ θ2+ θ3)
 
1
1
θ
Рис. 1.13. Вид плотности распределений композиций трёх равномерно
распределённых величин
|
