ВЫБОР ВАРИАНТА: МЕТОД АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ СААТИ
И КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНОГО КРИТЕРИЯ
The report proposes a methodology for the selection options in multicriteriality, integrating the idea of a hierarchical estimation of weights with the ideas of normalization and reorientation of the values of individual criteria in conjunction with the display of verbal values to numbers with a matrix of pairwise comparisons. In conclusion, we present a theorem that reflects the relationship between the method and the classical method of Saaty integral criterion.
Формулировка задачи
В настоящее время при решении задач принятия решений в условиях многокритериальности, формализуемых в виде задачи выбора варианта, широко используется метод анализа иерархий Саати [1, 2], отличительной особенностью которого является сознательный отказ от использования оценок значений частных критериев. В то же время, в подавляющем большинстве практических ситуаций частные критерии допускают весьма точное оценивание, поэтому отказ от учёта значений этих критериев представляется нецелесообразным. В то же время, идея Саати использовать иерархию для оценивания весовых коэффициентов, безусловно, продуктивна.
В настоящем докладе предлагается методика выбора варианта в условиях многокритериальности, интегрирующая идею иерархического оценивания весовых коэффициентов с идеями нормализации и переориентации значений частных критериев в сочетании с отображением вербальных значений в числа с помощью матрицы парных сравнений. В заключении формулируется теорема, отражающая взаимосвязь между методом Саати и классическим методом интегрального критерия.
Предлагаемая методика выбора варианта в условиях многокритериальности
Решение задачи выбора варианта предлагается представить в виде следующих этапов.
1. Описание сути решаемой задачи, включающее характеристику предметной области и семантику (смысл) выбираемого варианта
2. Формирование множества исходных вариантов.
2.1. Определение множества учитываемых частных критериев.
2.2. Определение ограничений на значения частных критериев.
2.3. Сбор и регистрация в виде таблицы сведений о возможных вариантах.
3. Формирование множества допустимы вариантов путём удаления вариантов, у которых один или несколько частных критериев не удовлетворяют ограничениям.
4. Отображение значений вербальных критериев в числа путём вычисления весовых коэффициентов.
5. Формирование множества Парето.
6. Смещение критериев с отрицательными значениями в область положительности путём прибавления модуля минимального значения.
7. Нормализация частных критериев средними значениями.
8. Инверсия понижающих критериев посредством симметричного отображения относительно срединного значения.
9. Синтез иерархии частных критериев и групп критериев.
10. Вычисление весовых коэффициентов частных критериев.
11. Вычисление интегрального критерия в виде линейной формы.
12. Выбор варианта с наибольшим значением интегрального критерия.
Формирование множества Парето
Таблица вариантов, образующих множество Парето, формируется путём удаления из Таблицы допустимых вариантов доминируемых вариантов.
Отношение доминирования обозначается так:  . Говорят, что вариант  доминирует вариант  , и соответственно вариант доминируется вариантом , если одновременно справедливы следующие два условия:
среди показателей качества варианта нет ни одного показателя, который был бы хуже соответствующего показателя варианта ;
хотя бы один из показателей качества варианта лучше соответствующего показателя варианта .
Формально отношение доминирования варианта  вариантом определяется так:
 ,
где  – значение  -го частного критерия у  -го варианта;  знак эквивалентности;  – знак отношения «не хуже»;  – знак отношения «лучше». Для признаков, повышающих качество системы (их значения должны быть как можно больше), знаки и эквивалентны знакам  и > соответственно. Для признаков, понижающих качество системы (их значения должны быть как можно меньше), знаки и эквивалентны знакам  и < соответственно.
Таким образом, доминирующий и доминируемый варианты могут иметь равные показатели качества, но хотя бы по одному показателю первый лучше второго. Таблица множества Парето не должна содержать доминируемых вариантов.
Если Таблица множества Парето окажется состоящей из одной строки, то решение задачи получено.
Если Таблица множества Парето окажется состоящей из нескольких строк, то осуществляется переход к следующему этапу решения.
На следующем этапе нужно синтезировать интегральный (суммационный) критерий качества, позволяющий сравнивать варианты, содержащиеся во множестве Парето. Этот критерий является функцией всех частных критериев  . В процессе его синтеза решаются проблемы отрицательности, различия диапазонов значений частных критериев и различия направлений влияния этих критериев на качество вариантов.
Расчёт весовых коэффициентов частных критериев.
Иерархическая организация критериев. Оригинальный метод Саати
Если количество учитываемых частных критериев велико, то целесообразно организовать критерии в иерархию, на верхних уровнях которой размещаются группы критериев, а на последнем уровне – собственно критерии. Такая организация позволяет более тщательно оценить весовые коэффициенты критериев.
Основные идеи оригинального метода Саати таковы.
Строится иерархия частных критериев: 1) на нулевом уровне размещается название всей иерархической системы, например, «Критерии для выбора автомобиля»; 2) на последующих уровнях – с первого по ( -1)-й уровни размещаются группы критериев; 3) на -м уровне размещаются собственно критерии; 4) на маргинальном –  -м уровне размещаются сопоставляемые варианты; в нашем примере сопоставляемыми вариантами являются конкретные автомобили, из которых ЛПР выбирает наиболее подходящий вариант. При этом все критерии не имеют значений – это просто лингвистические метки, имеющие некоторую семантику качественного признака без деления этого признака на какие-либо уровни.
На каждом уровне иерархии происходит сравнение элементов этого уровня друг с другом. Причём сравнение выполняется несколько раз: столько, сколько элементов содержится на предыдущем уровне. Каждое сравнение осуществляется «с позиции» одного из элементов предыдущего уровня, который выступает в роли критерия, по которому попарно сравниваются элементы текущего уровня.
Все группы критериев, собственно критерии и варианты сравниваются друг с другом по шкале 1..9 по схеме «каждый с каждым», результаты сравнения представляются в виде матрицы парных сравнений. По каждой матрице парных сравнений формируется вектор весовых коэффициентов. Для большей научности метода Саати рекомендует вычислять весовые коэффициенты как собственный вектор матрицы парных сравнений, соответствующий наибольшему собственному числу этой матрицы. Особой проблемы вычисления этого собственного вектора нет, но и особой нужды в его вычислении тоже нет: если нормализовать элементы столбцов матрицы парных сравнений их суммами, а затем усреднить результаты, получаемые в каждой строке, то результат будет весьма близок к собственному вектору Саати.
Итак, по каждой матрице парных сравнений получен отдельный вектор весовых коэффициентов – по количеству учитываемых критериев. Их можно разместить в виде столбцов последовательно друг за другом и получить целую матрицу весовых коэффициентов. Как же по этой совокупности матриц, составленных из векторов весовых коэффициентов можно получить единственный вектор  весовых коэффициентов, ранжирующих сопоставляемые варианты? Для этого нужно вычислить произведение матриц, синтезированных из векторов весовых коэффициентов, полученных на каждом уровне иерархии:
=     =
=     =  (1)
где  =  – матрица  -го уровня, – составленная из столбцов весовых коэффициентов, вычисленных для  элементов этого уровня с позиции каждого из  элементов предыдущего уровня;  – количество уровней иерархии, на которых размещаются группы критериев (эти уровни имеют номера 0.. );  – количество учитываемых частных критериев – число элементов критериального уровня иерархии с номером ; (заметим, что количество учитываемых частных критериев имеет и более простое обозначение  , поэтому  );  – количество сопоставляемых вариантов – число элементом вариантного уровня иерархии с номером  . Поскольку в (1)  обозначает количество элементов  -го уровня иерархии, то имеет место равенство:  .
Рассматривая формулу для вычисления вектора , следует чётко осознавать следующее. Матрица -го уровня ( ) имеет столько строк, сколько элементов содержится на этом -м уровне и столько столбцов, сколько элементов содержится на предыдущем  -м уровне; вследствие этого произведение любой пары матриц формулы (1) вычисляемо, и результатом вычисления является новая матрица число строк которой равно числу строк левой из пары перемножаемых матриц, а число столбцов – числу столбцов правой из пары перемножаемых матриц. Результатом перемножения всех матриц (1) является вектор (одностолбцовая матрица), содержащий весовые коэффициентов сопоставляемых вариантов.
Модифицированный метод Саати для иерархии критериев, имеющих значения
В целом, метод Саати применим и в случае критериев со значениями, отличие будет состоять только в способе формирования матрицы  - го – вариантного – уровня иерархии  =  . В рассматриваемом нами случае критериев со значениями элементы матрицы не оцениваются с помощью матрицы парных сравнений, а просто вычисляются по формуле:
 ,  ,  , (2)
где  – нормализованное значение -го критерия для -го варианта. Естественно, формулы (2) может использоваться только в случае, если все частные критерии имеют числовые значения, т.е. предварительно необходимо осуществить взвешивание значений всех вербальных критериев.
В остальном предлагаемый модифицированный метод полностью совпадает с классическим методом Саати: 1) так же строится иерархия, состоящая из групп критериев в вершинах и частными критериями в концевых вершинах (в листьях) дерева иерархии; 2) так методом парных сравнений оцениваются весовые коэффициенты групп и собственно критериев; 3) так же по формуле (1) вычисляются весовые коэффициенты вариантов; 4) так же полученные весовые коэффициенты вариантов используются для ранжирования этих вариантов, т.е. в качестве значений интегрального критерия, т.е. вектор значений интегрального критерия совпадает с вектором весовых коэффициентов:  .
Как уже отмечалось, отличие состоит только в способе вычисления весовых коэффициентов на маргинальном – вариантном уровне иерархии.
Рассматриваемый вариант метода Саати, по сути дела, эквивалентен методу интегрального критерия с линейной формой интегрального критерия. Эта эквивалентность отражается следующей теоремой.
Теорема. Метод Саати для случая частных критериев со значениями эквивалентен (в плане ранжирования вариантов) методу интегрального критерия с линейной формой интегрального критерия, коэффициенты которой вычисляются по схеме Саати – посредством парных сравнений критериев и их групп в рамках специально синтезируемой иерархии, и нормализацией критериев суммами их вариантных значений, предварительно при необходимости смещённых в область положительности и сориентированных в направлении повышения интегрального качества. При этом константа смещения частных критериев в область положительности значений и способ переориентации критериев, понижающих качество вариантов, влияние на результат ранжирования вариантов не оказывают.
Выбор варианта при использовании иерархии критериев, имеющих значения
Лучший вариант выбирается из таблицы вариантов множества Парето следующим образом:
лучший вариант по вектору весовых коэффициентов , найденному в результате синтеза иерархии критериев: выбирается вариант с наибольшим значением весового коэффициента;
если находится единственный лучший вариант, то решение задачи получено;
если выясняется, что несколько вариантов являются эквивалентными по весовым коэффициентам, то лучший вариант выбирается по жребию.
Литература
Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий: Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1989. 316 с.
Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез, планирование решений в экономике. М.: Финансы и статистика, 2000. 368 с.
Поляков М.В., ст. преподаватель
ФГБОУ ВПО «Рязанский государственный
агротехнологический университет
им. П.А. Костычева»
|
