Занятие «Вычисление простых и сложных процентов».
Цель занятия: изучение специфики финансовых вычислений и финансовых результатов на основе расчета простых и сложных процентов.
Продолжительность: 1 час 30 минут.
В начале занятия необходимо остановиться на теоретическом материале.
Под процентами в экономике понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой его форме.
Под процентной ставкой понимается относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени - отношение дохода (процентных денег) к начальной сумме долга.
Предположим, мальчик Вася хочет открыть вклад в банке. Для этого он решил разобраться с принципами начисления процентов по вкладу, чтобы понимать, сколько денег у него будет на счете после окончания срока действия вклада и почему именно столько. Первоначально ему необходимо формализовать различные способы начисления процентов в банке.
Для выведения формул простого и сложного процента введем ряд обозначений:
i – процентная ставка;
n – количество периодов начисления процентов;
S – начальная сумма денег;
Sn – итоговая сумма денег.
Вывод формул должен происходить в результате совместной работы педагога и обучающихся.
Итак, мальчик Вася решил положить в банк сумму денег в количестве S, на число периодов начисления процентов равное n, под процентную ставку равную i. Какова же будет сумма денег, которую он заберет из банка после окончания срока действия вклада. Рассмотрим два варианта: 1- проценты начисляются по принципу простых процентов, 2 - проценты начисляются по принципу сложных процентов.
1 вариант. Простые проценты.
Начисление простых процентов – процентная ставка применяется к одной и той же первоначальной сумме на протяжении всего срока финансовой операции.
Начисление процентов удобнее представить в виде таблицы, где периоды начисления процентов принимаются от 1 до n.
Период начисления процентов
|
1
|
2
|
3
|
…
|
n
|
Величина начисленных за период процентов
|
S*i
|
S*i
|
S*i
|
…
|
S*i
|
Из таблицы очевидно, что каждый период начисления процентов по банковскому вкладу Васи будет начисляться сумма S*i, как сумма, получаемая путем получения процента i от первоначальной суммы вклада S.
Так же очевидно, что сумма процентов, полученная за весь срок, на который Вася открыл вклад, будет равна:
, где слагаемое S*i надо будет сложить n раз по числу периодов начисления процентов.
Таким образом, сумма процентов, полученная Васей за все время, будет равна: S*i*n.
И, следовательно, общая сумма полученная Васей в банке после окончания срока его финансовой операции будет складываться из первоначальной суммы S и суммы полученных процентов S*i*n.
Sn = S + S*i*n, преобразовав можно получить, что Sn = S*(1 + i*n).
Вот это и есть формула простого процента:
Пример применения формулы простого процента.
Условие задачи:
Если Вася откроет вклад на 5 лет в банке «Выгодный банк» на сумму 1000 рубл. под 10 % годовых, при условии, что банк начисляет проценты один раз в год по принципу простых процентов, то в конце срока вклада Вася получит…
Решение задачи:
Sn = S*(1 + i*n)
Sn = 1000*(1 + 0,1*5) = 1500 рублей
2 вариант. Сложные проценты.
Начисление сложных процентов – процентная ставка применяется не только к первоначальной сумме, но и к сумме процентов полученных к данному периоду применения процентной ставки.
Начисление процентов удобнее представить в виде таблицы, где периоды начисления процентов принимаются от 1 до n.
Период начисления процентов
|
1
|
2
|
3
|
…
|
n
|
Величина начисленных за период процентов
|
S*i
|
S*i + S*i*i
|
S*i + S*i*i + (S*i + S*i*i)*i
|
…
|
|
Из таблицы очевидно, что в первый период начисления процентов по банковскому вкладу Васи будет начисляться сумма S*i, как сумма, образующаяся путем получения процента i от первоначальной суммы вклада S, то есть сумма, начисленная по принципу сложного процента, не отличается от суммы, получаемой по принципу простого процента.
Во второй период начисления процентов их величина определяется как S*i + S*i*i, где S*i – это сумма, полученная по ставке процента от первоначальной величины вклада, а S*i*i – это процент, исчисленный по ставке процента от суммы процентов, полученных в первый период начисления.
В третий период начисления уже получается сумма процентов, равная S*i + S*i*i + (S*i + S*i*i)*i, где S*i – это сумма, полученная по ставке процента от первоначальной величины вклада, S*i*i – это процент, исчисленный по ставке процента от суммы процентов, полученных в первый период начисления, а (S*i + S*i*i)*i – это процент, исчисленный по ставке процента от суммы процентов, полученных в первый и второй периоды начисления.
Таким образом, сумма процентов, полученная за весь срок, на который Вася открыл вклад, будет равна: S*i + S*i*i + (S*i + S*i*i)*i + …, где число слагаемых будет равноn по числу периодов начисления процентов.
Так же можно сделать вывод о том, что максимальная степень i будет равна n, так как в таблице степень i совпадает с числом соответствующего периода.
Естественно, общая сумма, полученная Васей в банке после окончания срока его финансовой операции, будет складываться из первоначальной суммы S и суммы полученных процентов за все время финансовой операции.
При выводе формулы сложного процента обратим внимание на определенную закономерность, а именно, как меняется сумма вклада в банке каждый период начисления процентов.
Первый период:
S1 = S + S*i или S1 = S*(1 + i)
Второй период:
S2 = S1*(1 + i) или S2 = S*(1 + i)*(1 + i) или S2 = S*(1 + i)2
Третий период:
S3 = S2*(1 + i) или S3 = S*(1 + i)2*(1 + i) или S3 = S*(1 + i)3 и т.д.
Таким образом, очевидно, что сумма вклада после начисления процентов в периоде n будет равна: Sn = S*(1 + i)n.
Вот это и есть формула сложного процента:
Sn = S*(1 + i)n
Пример применения формулы сложного процента.
Условие задачи:
Если Вася откроет вклад на 5 лет в банке «Выгодный банк» на сумму 1000 рубл. под 10 % годовых, при условии, что банк начисляет проценты один раз в год по принципу сложных процентов, то в конце срока вклада Вася получит…
Решение задачи:
Sn = S*(1 + i)n
Sn = 1000*(1 + 0,1)5 = 1610,51 рублей
А теперь представим, что банк «Выгодный банк» предложил мальчику Васе льготные условия по вкладу. Процент будет начисляться два раза в год по ставке 10 % годовых. Васе необходимо оценить последствия этого предложения.
Для этого введем еще одно обозначение:
к – число начисления процентов за год (определенный период).
1 вариант. Простые проценты.
Формула Sn = S*(1 + i*n) примет вид Sn = S*(1 + n*к*i/к), где к – это число начисления процентов за каждый период n, а i/к – это ставка процента, уменьшенная в к раз. Полученная запись позволяет сократить к и прийти к начальной формуле Sn = S*(1 + i*n). Проверим так ли это.
Пример применения формулы простого процента.
Условие задачи:
Если Вася откроет вклад на 5 лет в банке «Выгодный банк» на сумму 1000 рубл. под 10 % годовых, при условии, что банк начисляет проценты два раза в год по принципу простых процентов, то в конце срока вклада Вася получит…
Решение задачи:
Sn = S*(1 + n*к*i/к)
Sn = 1000*(1 + 5*2*0,1/2) = 1500 рублей
2 вариант. Сложные проценты.
Формула Sn = S*(1 + i)n примет вид Sn = S*(1 + i/к)n*к
Пример применения формулы сложного процента.
Условие задачи:
Если Вася откроет вклад на 5 лет в банке «Выгодный банк» на сумму 1000 рубл. под 10 % годовых, при условии, что банк начисляет проценты два раза в год по принципу сложных процентов, то в конце срока вклада Вася получит…
Решение задачи:
Sn = S*(1 + i/к)n*к
Sn = 1000*(1 + 0,1/2)5*2 = 1628,89 рублей
Очевидно, что при простом проценте сумма, полученная по вкладу, не изменилась, и не будет меняться, сколько бы раз в течение года не начислялись бы проценты, при условии, что ставка процента за год не изменилась. А при сложном проценте сумма, полученная по вкладу, увеличилась и будет увеличиваться при увеличении числа раз получения процента в течение года.
Заметим при этом, что растёт вклад не безгранично, при больших значениях параметра к его дальнейшему увеличению почти не меняет величину вклада в конце года. На языке математики это означает, что существует предел, который соответствует бесконечно частому начислению процента. Конечно, на практике такое невозможно, бесконечно частое начисление процента существует только абстрактно.
Далее предлагается для совместной или индивидуальной работы комплекс задач на вычисление простого и сложного процента. Решение прилагается.
Задача 1.
Банк «Золотой Банк» предлагает клиентам взять кредит на пять лет в сумме 1 000 000 рубл. (возврат суммы кредита единовременно в конце пятого года). Каждый год необходимо будет платить банку проценты (платежи каждый год одинаковые) за пользование кредитом. Определите: величину годовой ставки процента; сумму ежегодных выплат банку; общую сумму полученных банком за пять лет процентов; если известно, что общая сумма денег (с учетом суммы кредита) полученных банком от клиента составила 2 000 000 рубл. за пять лет.
Решение:
Общая сумма полученных банком за пять лет процентов
2000000 – 1000000 = 1000000 рубл.
2) Сумма ежегодных выплат банку
1000000 / 5 = 200000 рубл.
3) Годовая ставка процента
(200000 / 1000000) * 100% = 20 %
Задача 2.
Банк «Золотой Банк» предлагает клиентам взять кредит на три года в сумме 100000 рубл. (возврат суммы кредита единовременно в конце третьего года). Каждый год необходимо будет платить банку проценты за пользование кредитом в размере 20000 рубл. Определите: величину процентной ставки; сумму полученных банком за три года процентов; общую сумму денег (с учетом суммы кредита) полученных банком от клиента за три года.
Решение:
Процентная ставка
20000*100%/100000 = 20 %
2) Сумма процентов
20000*3 = 60000 рубл.
3) Общая сумма денег
60000 + 100000 = 160000 рубл.
Задача 3.
Банк «Золотой Банк» предлагает клиентам взять кредит на пять лет в сумме 1000000 рубл. (возврат суммы кредита единовременно в конце пятого года). По условиям кредитного договора необходимо будет платить банку проценты за пользование кредитом. Предлагаются на выбор два варианта: простой процент по ставке 11% годовых или сложный процент (процент на процент) по ставке 10% годовых. Проценты начисляются один раз в год. Определите, какой вариант уплаты процентов выгоден клиенту.
Решение:
Общая сумма выплат банку при простом проценте
1000000*(1 + 0,11*5) = 1550000 рубл.
Общая сумма выплат банку при сложном проценте
1000000*(1 + 0,1)5 = 1610510 рубл.
Клиенту выгоднее выбрать простой процент, так как
1550000 рубл. меньше 1610510 рубл.
Задача 4.
Банки «Золотой Банк» и «Платиновый Банк» предлагают клиентам взять кредит на пять лет в сумме 1000000 рубл. (возврат суммы кредита единовременно в конце пятого года). Условия банка «Золотой Банк»: каждый год необходимо будет платить проценты за пользование кредитом в размере 200000 рубл. Условия банка «Платиновый Банк»: первые три года величина ставки процента составляет 15% годовых, а два оставшихся – 25% годовых. Определите: сумму полученных банками за пять лет процентов; общую сумму денег (с учетом суммы кредита), полученных банками от клиентов за пять лет; с каким банком потенциальному клиенту выгоднее будет сотрудничать.
Решение:
Сумма процентов
«Золотой Банк»:
200000*5 = 1000000 рубл.
«Платиновый Банк»:
3*1000000*0,15 + 2*1000000*0,25 = 950000 рубл.
2) Общая сумма денег
«Золотой Банк»:
1000000 + 1000000 = 2000000 рубл.
«Платиновый Банк»:
1000000 + 950000 = 1950000 рубл.
3) 950000 ˂ 1000000, то есть потенциальному клиенту выгоднее будет сотрудничать с банком «Платиновый Банк»
|
