Программа курса предназначена для учащихся 9 классов, выбирающих в дальнейшем профиль обучения в старшей школе
Скачать 0.7 Mb.
|
Литература 1. Мищук И.Н. Урок-практикум: вопросы экономии в 5-6 классах.//Математика в школе. №8. 2003. стр. 22-23. Урок 4. Ох уж, эти проценты Цель: продемонстрировать практическую ценность математики и активизировать учебную деятельность. Задачи: классификация типичных задач на проценты, ознакомление с историей возникновения термина «процент» и его знака. Задачам на проценты на уроках математики уделяется недостаточно много времени, чтобы в полном объеме осознать важность применения этого понятия в жизни человека и общества в целом. Этот урок демонстрирует широту применения процентов в повседневной деловой жизни человека. Показ презентации «Ох уж, эти проценты!» Из истории процентов. Слово «процент» происходит от латинского procentum, что буквально означает «на сотню». В популярной литературе возникновение этого термина связывается с внедрением в Европе десятичной системы счисления в XV в. Однако уже в «Дигестах Юстиниана», датируемых V в., мы находим вполне современное употребление процентов. «Фиск (императорская казна) не уплачивает проценты по заключенным им договорам, но сам получает проценты: например со съемщиков публичных уборов, если эти съемщики слишком поздно вносят деньги; также при просрочке уплаты налогов. Когда же фиск является преемником частного лица, то обычно он уплачивает проценты. Если должники, платившие проценты в размере, меньшем чем 6% в год, стали должниками фиска, то они обязаны уплачивать 6% годовых с того времени, как требование против них перешло к фиску». По-видимому, процент возник в Европе вместе с ростовщичеством как предтеча десятичной системы счисления. Разрыв во времени заставляет вспомнить современные теории о лишних веках общепринятой хронологии. Употребление термина «процент» в качестве нормы русского языка начинается, вероятно, с конца XVIII в. Об этом свидетельствует сравнительный анализ текстов двух фундаментальных учебников по математике Ефима Войтяховского (первое издание 1795 г.) и Т.Ф. Осиповского (первое издание 1802 г). В обоих учебниках имеется по нескольку задач «на проценты по вкладу», но Е. Войтяховский оперирует исключительно сотыми долями, тогда как Т.Ф. Осиповский уже употребляет термин «процент». Мы воспроизводим три задачи от Е. Войтяховского и Т.Ф. Осиповского с сохранением авторского языка в условиях. Задача 1. Купец торговал положенными в торг 100 рублями с убытком, так что оставшаяся сумма после первого года без 4/25 всего (начального) капитала равна оставшейся сумме после двух лет. Спрашивается: по скольку он получал убытка от 100 руб. каждый год? Ответ: 80 или 20 руб. Задача 2. Отдан в ломбард капитала по p процентов; проценты сии в ломбард оставляются, причисляя их к капиталу, и сверх сего вносится еще ежегодно по b руб. Спрашивается: сколь велик весь капитал будет по истечении nлет? Ответ:kⁿ · a + ((kⁿ-1) / (k-1)) · b, где k = 1 + p/100. Задача 3. Положим, например, что отдан в ломбард капитал, состоящий из 10 000 рублей по 5 процентов, и ежегодно вносится по 800 рублей. Спрашивается: после 12 лет сколь велик капитал сей будет? Ответ: 30 692 руб. 26 коп. Привычка к употреблению процентов в сфере денежных отношений благоприятствовала быстрому их внедрению в развивающиеся технологии XIX в. Так, в словаре Брокгауза и Ефрона читаем следующее: «По предварительным данным переписи 1897 г., население Петербурга оказалось возросшим за 6 лет на 178 тысяч, из которых 150 тыс. приходится на прилив извне; из всего прироста 85% падает на крестьян, составляющих теперь до 59% всего петербургского населения». Как видно из этого отрывка, уже на рубеже XIX и ХХ вв. русскоязычное контекстное понимание процентов максимально лаконизируется. В одном предложении фигурируют две различные стопроцентные базы. В последующем это становится нормой деловой речи и литературы. Для удовлетворения возрастающих требований к точности исчисления малых долей вместо 1% вводится квант 1/1000 – так называемое промилле. Промилле можно часто встретить на страницах книг по медицине и фармакологии, обозначают ‰. В операциях с ценными металлами используется другое название кванта 1/1000 – проба. Так, золото 750-й пробы – это сплав с 75-процентным содержанием золота. Знак % произошел, как предполагается, благодаря опечатке. В рукописях procentum часто заменяли словом «cento» (сто) и писали его сокращенно – cto. В 1685 году в Париже была напечатана книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto набрал %. Понятие процента Проценты употребляются для сравнения однородных положительных количеств и только для этого. Один процент – это, по определению, одна сотая:1%=1/100. Соответственно,р%=р/100. Один процент от количестваА – это, по определению, одна сотая часть от количества А:1% от А равен 1/100 А. Соответственно,Р% от А равен р/100 А, (1), где р – безмерное число. Отметим, что предлог отчасто опускается. Вместо «В составляет р процентов от А» говорят еще: «Процент В от А есть р», то есть слово «процент» может означать любое количество процентов, но словосочетание «один процент»всегда означает именно одну сотую, так же как словосочетание «двадцать один процент» всегда означает именно двадцать одну сотую и т.д. Как видно из формулы (1), процентом рзадается коэффициентk=p/100перед данным количеством А. говорят еще: «kА больше А в k раз». Для дальнейшего важно запомнить, что процент всегда выступает в роли коэффициента-сомножителя перед некоторым количеством. Все задачи на проценты сводятся к разрешению семи шаблонных вопросов К1-К4, П1-П3, обсуждаемых в двух следующих пунктах. Вычисление количеств по процентам Первая группа шаблонных вопросов относится к той ситуации, когда даны количество А и некоторый процент р. требуется найти количество, которое этот процент выражает. Вопрос К1. Каково количество, составляющее р% от А? Формула ответа: р/100 А. Обсуждение. Здесь ключевое слово от. То, что стоит за ним, принимается за базу в 100% и подвергается умножению на коэффициент k=p/100. вопрос К1 может звучать в несколько другой форме, например, так: найти р% от А; или так: найти р% количества А. Ключевое слово – предлог от – в последней формулировке вопроса К1отсутствует. Однако его можно вставить без искажения смысла вопроса и причем вставить в одно единственное место: найти р% от количества А. Таким образом, и при явном и при неявном участии ключевого слова от в формулировке вопроса К1 оно имеет свое, однозначно определяемое место. Чтобы понять некоторый вопрос на проценты как вопрос К1, нужно это место найти и следующее за ним количество принять за базу в 100%. Для быстрого ответа на вопрос К1нужно знать, что: 5%=1/20, 10%=1/10, 20%=1/5, 25%=1/4, 50%=1/2, 75%=3/4. Задача 4. В городе N состоялись выборы в городскую думу, в которых принимали участие 75% избирателей. Только 10% от числа принявших участие в выборах отдали голоса партии «зеленых». Сколько жителей проголосовали за эту партию, если в городе всего 1 миллион избирателей? Решение. Здесь мы должны дважды применить формулу ответа на вопрос К1. По условию, в выборах приняли участие 0,75 1000 тыс. = 750 тыс. чел. От них 10% – это 0,1 750 тыс. = 75 тыс. Ответ: 75 000 тыс. Задача 5. Из 750 учащихся школы 80% занимаются в различных кружках, из них 5% – в радиокружке. Сколько учащихся занимается в радиокружке? Решение. Дважды применив формулу К1, получим 5/100 (80/100 750) = 30. Ответ: 30. Задача 6. Длина дистанции трехдневной велогонки была 480 км. В первый день велогонщики проехали 25% всего пути, а во второй день 55% оставшегося пути. Сколько километров проехали велогонщики в третий день? Решение. Здесь нужно дважды применить формулу К1. В первый день велогонщики проехали 1/4 · 480 = 120 км. Оставшийся путь составил 480 – 120 = 360 км. Тогда, по условию, во второй день велогонщики проехали 55/100 360 = 198 км. В результате в заключительный третий день велогонщики проехали 480 – 120 – 198 = 162 км. Ответ:162 км. Вопрос К2. Каково количество, р% от которого есть А? Формула ответа: 100/р А. Обсуждение. Вопросы К1 и К2 родственны. Пусть искомое количество (в данном случае – это стопроцентная база) есть х. Тогда мы находимся в ситуации вопроса К1: А = р/100 х. Отсюда получаем формулу ответа на вопрос К2. Следует владеть и другим способом рассуждения при ответе на вопрос К2: если на А приходится р%, то один процент от неизвестного количества есть А/р, соответственно неизвестное количество (искомая стопроцентная база) есть 100 · А/р. Задача 7.При помоле пшеницы получается 80% муки. Сколько пшеницы нужно смолоть, чтобы получить 480 кг пшеничной муки? Решение. По формуле К2 искомое количество пшеницы есть 100/80 480 = 600 кг. Ответ:600 кг. Вопрос К3. Каково количество, большее чем А, на р%? Формула ответа: (1 + р/100) А. Обсуждение. Здесь ключевое слово чем. То, что стоит за ним, принимается за базу в 100%. В данном случае стопроцентная база – это А. Разница между неизвестным количеством и базой составляет по условию р% от А, что по формуле ответа на вопрос К1 дает р/100 А. В результате искомое количество есть А + р/100 А = (1 + р/100) А. Вопрос К3 может звучать в несколько другой форме, например, найти количество, превосходящее А на р%. Ключевое слово –чем – в последней формулировке вопроса К3 отсутствует. Чтобы понять некоторый вопрос на проценты как вопросы К3, нужно переформулировать некоторый вопрос с участием словачем и следующее за союзом чем количество принять за базу в 100%. Примером кратного употребления вопроса К3 является вышеприведенная задача 2 и ее частный случай – задача 3. Вопрос К4. Каково количество, меньшее чем А, на р%? Формула ответа: (1 – р/100) А. Обсуждение. Здесь ключевое слово чем. То, что стоит за ним, так же, как в предыдущем случае, принимается за стопроцентную базу и т.п. Если ответ на вопрос К4 приведет к отрицательному числу, то искомое количество следует считать несуществующим, а сам вопрос некорректным. Приведенная выше задача 1 решается с помощью тройного применения вопроса К4. в самом деле, пусть р – убыток купца от 100 руб. в каждый год. Тогда, по условию, получим уравнение (1 – р/100) · А – 4/25 · А= (1 – р/100)² А р² - 10² · р + 16 · 10² = 0 р = 50 ± 30. Чтобы привить устойчивый навык быстрого разрешения вопросов К1 – К4, можно предложить учащимся самостоятельно заполнить карандашом следующую таблицу. Каждый засекает время и все действия производит в уме! Тренинг-таблица К (с ответами)
Заполнив таблицу, учащийся сравнивает свой результат с таблицей ответов к тренинг-таблицеКи вычисляет процент своих правильных ответов. По этому проценту и по продолжительности работы учащийся может сам себе выставить оценку согласно следующей рейтинг-таблице. Рейтинг-таблица
Работа над тренинг-таблицей повторяется до получения нужной оценки. |
Похожие:
 | Программа предназначена для учащихся 9 классов, выбирающих дальнейший профиль обучения в старшей школе |  | Образовательная программа предназначена для обучения школьников английскому языку в общеобразовательной школе (3 часа в неделю) и... |
| Программа элективного курса предназначена для учащихся 11-х классов любого профиля и рассчитана на 68 часов | | Элективный курс предназначен для учащихся 9-х классов и направлен на обеспечение выбора профиля дальнейшего обучения. Программа составлена... |
| Рабочая программа предназначена для обучения учащихся 9 класса английскому языку в общеобразовательных учреждениях, является продолжением... | | Ору учащихся, входящие в состав профильного образования на старшей ступени школы. Содержание элективных курсов расширяет знания учащихся,... |
| Рабочая программа предназначена для обучения учащихся 6 класса английскому языку в общеобразовательных учреждениях, является продолжением... | | Программа предназначена для учащихся 6-х классов общеобразовательной школы, изучающих английский язык. Занятия кружка проводятся... |
| Отечеству, бережного отношения ко всему живому на земле, сознательного отношения к своему здоровью и здоровью других людей | | Программа курса «Английский язык» предназначена для учащихся 10-11 классов общеобразовательной школы |