2.6. Предмет «Геометрия» Характеристика предмета
Геометрия - один из важнейших компонентов математического образования, необходимая для приобретения конкретных знаний о пространстве и практически значимых умений, формирования языка описания объектов окружающего мира, для развития пространственного воображения и интуиции, математической культуры, для эстетического воспитания учащихся. Изучение геометрии вносит вклад в развитие логического мышления, в формирование понятия доказательства.
Цели и задачи изучения предмета
Цели изучения курса:
развивать пространственное мышление и математическую культуру;
учить ясно и точно излагать свои мысли;
формировать качества личности необходимые человеку в повседневной жизни: умение преодолевать трудности, доводить начатое дело до конца;
помочь приобрести опыт исследовательской работы.
Задачи курса:
научить пользоваться геометрическим языком для описания предметов;
начать изучение многоугольников и их свойств, научить находить их площади;
ввести теорему Пифагора и научить применять ее при решении прямоугольных треугольников;
ввести тригонометрические понятия синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике научить применять эти понятия при решении прямоугольных треугольников;
ввести понятие подобия и признаки подобия треугольников, научить решать задачи на применение признаков подобия;
ознакомить с понятием касательной к окружности.
В курсе геометрии систематизируются знания обучающихся о простейших геометрических фигурах и их свойствах; вводится понятие равенства фигур; вводится понятие теоремы; вырабатывается умение доказывать равенство треугольников с помощью изученных признаков; вводится новый класс задач - на построение с помощью циркуля и линейки; вводится одно из важнейших понятий - понятие параллельных прямых; даётся первое представление об аксиомах и аксиоматическом методе в геометрии; вводится аксиома параллельных прямых; рассматриваются новые интересные и важные свойства треугольников (в данной теме доказывается одна из важнейших теорем геометрии — теорема о сумме углов треугольника. Она позволяет дать классификацию треугольников по углам (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный), а также установить некоторые свойства и признаки равенства прямоугольных треугольников).
Курс рационально сочетает логическую строгость и геометрическую наглядность. Увеличивается теоретическая значимость изучаемого материала, расширяются внутренние логические связи курса, повышается роль дедукции, степень абстракции изучаемого материала. Учащиеся должны овладеть приемами аналитико-синтетической деятельности при доказательстве теорем и решении задач. Систематическое изучение курса позволит начать работу по формированию представлений учащихся о строении математической теории, обеспечит развитие логического мышления учащихся. Изложение материала характеризуется постоянным обращением к наглядности, использованием рисунков и чертежей на всех этапах обучения и развитием геометрической интуиции на этой основе. Целенаправленное обращение к примерам из практики развивает умения учащихся вычленять геометрические факты, формы и отношения в предметах и явлениях действительности, использовать язык геометрии для их описания. В результате изучения курса геометрии обучающиеся должны:
знать/понимать
существо понятия математического доказательства; примеры доказательств;
существо понятия алгоритма; примеры алгоритмов;
как используются математические формулы, уравнения и неравенства; примеры их применения для решения математических и практических задач;
как математически определенные функции могут описывать реальные зависимости; приводить примеры такого описания;
как потребности практики привели математическую науку к необходимости расширения понятия числа;
вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира; примеры статистических закономерностей и выводов;
каким образом геометрия возникла из практических задач землемерия; примеры геометрических объектов и утверждений о них, важных для практики;
смысл идеализации, позволяющей решать задачи реальной действительности математическими методами, примеры ошибок, возникающих при идеализации;
уметь
пользоваться языком геометрии для описания предметов окружающего мира;
распознавать геометрические фигуры, различать их взаимное расположение;
изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по условию задач; осуществлять преобразования фигур;
распознавать на чертежах, моделях и в окружающей обстановке основные пространственные тела, изображать их;
в простейших случаях строить сечения и развертки пространственных тел;
проводить операции над векторами, вычислять длину и координаты вектора, угол между векторами;
вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов), в том числе: для углов от 0 до 180° определять значения тригонометрических функций по заданным значениям углов; находить значения тригонометрических функций по значению одной из них, находить стороны, углы и площади треугольников, длины ломаных, дуг окружности, площадей основных геометрических фигур и фигур, составленных из них;
решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства фигур и отношений между ними, применяя дополнительные построения, алгебраический и тригонометрический аппарат, идеи симметрии;
проводить доказательные рассуждения при решении задач, используя известные теоремы, обнаруживая возможности для их использования;
решать простейшие планиметрические задачи в пространстве;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
описания реальных ситуаций на языке геометрии;
расчетов, включающих простейшие тригонометрические формулы;
решения геометрических задач с использованием тригонометрии
решения практических задач, связанных с нахождением геометрических величин (используя при необходимости справочники и технические средства);
построений геометрическими инструментами (линейка, угольник, циркуль, транспортир).
Содержание курса
7 класс
Начальные геометрические сведения
Прямая и отрезок. Луч и угол. Сравнение отрезков и углов. Измерение отрезков. Измерение углов. Перпендикулярные прямые.
Цель – систематизировать сведения о взаимном расположении точек и прямых; рассмотреть свойство прямой; ввести понятие отрезка; напомнить, что такое луч/угол и познакомить с различными их обозначениями, ввести понятия внутренней и внешней областей неразвернутого угла; ввести понятие равенства фигур, середины отрезка и биссектрисы угла; научить сравнивать отрезки и углы; ввести понятие длины отрезка и рассмотреть свойства длин отрезков, познакомить с различными единицами измерения и инструментами для измерения отрезков; ввести понятие градусной меры угла и рассмотреть свойства градусных мер углов; познакомить с приборами для измерения углов на местности; ввести понятия смежных и вертикальных углов, рассмотреть их свойства, ввести понятие перпендикулярных прямых и показать как применяются эти понятия при решении задач.
Знать:
сколько прямых можно провести через две точки;
сколько общих точек могут иметь две прямые;
какая фигура называется отрезком;
какая геометрическая фигура называется углом, что такое стороны и вершины угла;
какие геометрические фигуры называются равными;
какая точка называется серединой угла, какой луч называется биссектрисой угла;
что при выбранной единице измерения длина любого данного отрезка выражается определенным положительным числом;
что такое градусная мера угла, чему равны минута и секунда;
какие углы называются смежными, чему равна их сумма;
какие углы называются вертикальными и их свойства;
какие прямые называются перпендикулярными.
Уметь:
обозначать точки и прямые на рисунке;
изображать возможные случаи взаимного расположения точек и прямых, двух прямых;
объяснить, что такое отрезок, изображать и обозначать отрезки;
уметь обозначать неразвернутые и развернутые углы;
показать на рисунке внутреннюю область неразвернутого угла;
проводить луч, разделяющий угол на два угла;
сравнивать отрезки и углы, записывать результаты сравнения;
отмечать с помощью масштабной линейки середину отрезка;
с помощью транспортира проводить биссектрису угла;
измерить данный отрезок с помощью масштабной линейки, выразить его длину в см, мм, м;
находить длину отрезка в тех случаях, когда точка делит данный отрезок на два отрезка, длины которых известны;
находить градусные меры данных углов используя транспортир;
изображать прямой, тупой, острый и развернутый углы;
строить угол смежный с данным углом;
изображать вертикальные углы;
находить на рисунке смежные и вертикальные углы;
объяснять, почему две прямые перпендикулярные к третьей не пересекаются.
Треугольники
Первый признак равенства треугольников. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Второй и третий признаки равенства треугольников. Задачи на построение.
Цель – ввести понятие треугольника и его элементов, понятие теоремы и доказательства теоремы, доказать I, II и III признаки равенства треугольников; ввести понятие перпендикуляра к прямой и доказать теорему о перпендикуляре; ввести понятие медианы, биссектрисы и высоты треугольника и рассмотреть свойства равнобедренного треугольника; дать представление о новом классе задач – построение геометрических фигур с помощью циркуля и линейки без масштабных делений – рассмотреть основные задачи этого типа.
Знать:
что такое периметр треугольника;
какие треугольники называются равными;
формулировку и доказательство первого/второго/третьего признака равенства треугольников;
формулировку теоремы о перпендикуляре к прямой;
знать и уметь доказывать теорему о свойствах равнобедренного треугольника;
определение окружности.
Уметь:
объяснить, какая фигура называется треугольником и называть его элементы;
объяснить, какой отрезок называется перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной прямой;
какие отрезки называются медианой, биссектрисой и высотой треугольника;
какой треугольник называется равнобедренным/равносторонним;
объяснить, что такое центр, радиус, хорда, дуга, диаметр окружности;
выполнять с помощью циркуля и линейки простейшие построения.
Параллельные прямые
Признаки параллельности двух прямых. Аксиомы параллельных прямых.
Цель – ввести понятие параллельных прямых, рассмотреть признаки параллельности двух прямых, связанные с накрест лежащими, односторонними соответственными углами; дать представление об аксиомах геометрии; ввести аксиому параллельных прямых; рассмотреть свойства параллельных прямых.
Знать:
определение параллельных прямых;
названия углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей;
формулировки признаков параллельности прямых;
аксиому параллельных прямых и следствия из нее.
Уметь:
показать на рисунке пары накрест лежащих, соответственных, односторонних углов;
доказывать признаки параллельности двух прямых;
доказывать свойства параллельных прямых.
Соотношения между сторонами и углами треугольника
Сумма углов треугольника. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Прямоугольные треугольники. Построение треугольника по трем элементам.
Цель – доказать теорему о сумме углов треугольника, следствия из нее; ввести понятия остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольника; рассмотреть теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника, следствия из этих теорем; рассмотреть некоторые свойства прямоугольных треугольников, признаки их равенства; ввести понятия расстояния от точки до прямой и расстояния между параллельными прямыми; рассмотреть задачи на построение треугольника по трем элементам.
Знать:
какой угол называется внешним углом треугольника;
какой треугольник называется остроугольным, тупоугольным, прямоугольным;
формулировки признаков равенства прямоугольных треугольников;
какой отрезок называется наклонной, проведенной из данной точки к данной прямой;
что называется расстоянием от точки до прямой и расстоянием между двумя параллельными прямыми.
Уметь:
доказывать теорему о сумме углов треугольника и ее следствия;
доказывать теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника, следствия из этих теорем;
доказывать теорему о неравенстве треугольника;
доказывать свойства прямоугольных треугольников;
доказывать, что перпендикуляр, проведенный из точки к прямой меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой прямой;
доказывать теорему о том, что все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой;
строить треугольник по трем элементам.
8 класс
Четырехугольники
Многоугольники. Параллелограмм и трапеция. Прямоугольник. Ромб. Квадрат.
Цель – ввести понятие многоугольника и выпуклого многоугольника, вывести формулу суммы углов выпуклого многоугольника и рассмотреть четырехугольник, как частный вид многоугольника; ввести понятия параллелограмма, трапеции, прямоугольника, ромба, квадрата и рассмотреть их свойства и признаки; осевую и центральную симметрии, как свойства некоторые геометрических фигур.
Знать:
что такое периметр многоугольника;
какой многоугольник называют выпуклым;
определения параллелограмма, трапеции, прямоугольника, ромба, квадрата формулировки их свойств и признаков;
определения симметричных точек и фигур, относительно прямой и точки.
Уметь:
объяснить, какая фигура называется многоугольником, называть его элементы;
выводить формулу суммы углов выпуклого многоугольника;
доказывать изученные теоремы и применять их для решения задач;
делить отрезок на n равных частей с помощью циркуля и линейки;
строить симметричные точки и распознавать фигуры, обладающие осевой и центральной симметрией.
Площадь
Площадь многоугольника. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции. Теорема Пифагора.
Цель – дать представление об измерении площадей многоугольников, рассмотреть основные свойства площадей и вывести формулу для вычисления площадей квадрата и прямоугольника; опираясь на основные свойства площадей и теорему о площади прямоугольника, вывести формулы для вычисления площадей параллелограмм, треугольника и трапеции; рассмотреть теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу; сформулировать и доказать теорему Пифагора и обратную ей.
Знать:
основные свойства площадей и формулу для вычисления площади прямоугольника;
формулы для вычисления площадей параллелограмм, треугольника и трапеции;
теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу;
теорему Пифагора и обратную ей.
Уметь:
вывести формулу для вычисления площади прямоугольника и использовать ее свойства и свойства площадей при решении задач;
доказывать теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу;
доказывать теорему Пифагора и обратную ей.
Подобные треугольники
Определение подобных треугольников. Признаки подобия треугольников. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
Цель – ввести понятие пропорциональных отрезков и дать определение подобных треугольников; рассмотреть и доказать три признака подобия треугольников, научить применять их при решении задач; показать применение подобия треугольников при доказательстве теорем и решении задач; познакомить с элементами тригонометрии, необходимыми для решения прямоугольных треугольников.
Знать:
определения пропорциональных отрезков и подобных треугольников;
теорему об отношении площадей подобных треугольников и свойства биссектрисы треугольника;
признаки подобия треугольников;
теоремы о средней линии треугольника, точки пересечения медиан треугольника и пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике;
определения sin, cos, tg острого угла прямоугольного треугольника;
значения sin, cos, tg для углов 300, 450, 600, 900, 1800.
Уметь:
доказывать теорему об отношении площадей подобных треугольников и свойство биссектрисы треугольника;
доказывать признаки подобия треугольников и применять их при решении задач;
доказывать теоремы о средней линии треугольника, точки пересечения медиан треугольника и пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике и применять при решении задач;
с помощью циркуля и линейки делить отрезок в данном отношении и решать задачи на построение;
доказывать основное тригонометрическое тождество.
Окружность
Касательная к окружности. Центральные и вписанные углы. Четыре замечательные точки треугольника. Вписанная и описанная окружность.
Цель – рассмотреть различные случаи взаимного расположения прямой к окружности, ввести понятие касательной, рассмотреть ее свойства и признак, рассмотреть свойства отрезков касательных, проведенных из одной точки; ввести понятия градусной меры дуги окружности, центрального и вписанного углов, доказать теоремы об измерении вписанных углов и об отрезках пересекающихся хорд; рассмотреть свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку, доказать, что биссектрисы/серединные перпендикуляры/высоты треугольника пересекаются в одной точке; ввести понятия вписанной в многоугольник и описанной около многоугольника окружностей, доказать теоремы об окружности вписанной в треугольник и об окружности описанной около треугольника.
Знать:
возможные случаи взаимного расположения прямой и окружности;
определение касательной, свойство и признак касательной;
какой угол называется центральным/вписанным;
как определяется градусная мера дуги окружности;
теорему о вписанном угле и следствия из нее;
теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд;
теоремы о биссектрисе угла и о серединном перпендикуляре к отрезку, их следствия;
теоремы о пересечении высот/биссектрис/серединных перпендикуляров треугольника;
какая окружность называется вписанной в многоугольник, какая описанной около него;
теоремы об окружности вписанной в многоугольник;
теоремы об окружности описанной около многоугольника.
Уметь:
доказывать возможные случаи взаимного расположения прямой и окружности, свойство и признак касательной;
доказывать теорему о вписанном угле и следствия из нее и теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд, применять их при решении задач;
доказывать теоремы о биссектрисе угла и о серединном перпендикуляре к отрезку, их следствия;
доказывать теоремы о пересечении высот/биссектрис/серединных перпендикуляров треугольника;
доказывать теоремы об окружности вписанной в многоугольник;
доказывать теоремы об окружности описанной около многоугольника.
Векторы
Понятие вектора. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Применение векторов при решении задач.
Цель – ввести понятия вектора, его длины, коллинеарных и равных векторов, научить изображать и обозначать векторы, откладывать от любой точки плоскости вектор, равный данному; ввести понятия суммы и разности двух векторов, рассмотреть законы сложения векторов и на их основе ввести понятие суммы трех и более векторов, научить строить сумму векторов, используя правило треугольника и параллелограмма, строить разность векторов двумя способами; ввести действие умножения вектора на число и его свойства.
Знать:
определения вектора и равных векторов;
законы сложения векторов;
определение разности векторов, какой вектор называется противоположным данному;
какой вектор называется произведение вектора на число;
какой отрезок называется средней линией трапеции.
Уметь:
изображать и обозначать векторы;
откладывать от любой точки плоскости вектор, равный данному;
объяснить, как определяется сумма векторов;
строить сумму векторов используя правила треугольника, параллелограмма, многоугольника;
строить разность векторов двумя способами;
формулировать свойства умножения вектора на число;
формулировать и доказывать теорему о средней линии трапеции.
9 класс
Метод координат
Координаты вектора. Простейшие задачи в координатах. Уравнения окружности и прямой.
Цель – ввести понятие координат вектора и рассмотреть правила действий над векторами с заданными координатами; рассмотреть простейшие задачи в координатах и показать, как они используются при решении более сложных задач методом координат; вывести уравнения окружности и прямой, показать, как можно использовать эти уравнения при решении геометрических задач.
Знать:
формулировки и доказательства леммы о коллинеарных векторах;
теоремы о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам;
правила действий над векторами с заданными координатами;
формулы координат вектора через координаты его конца и начала;
формулы координат середины отрезка, длины вектора и расстояния между двумя точками;
уравнения окружности и прямой.
Уметь:
решать задачи с использованием теоремы о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам и правил действий над векторами с заданными координатами;
выводить формулы координат вектора через координаты его конца и начала;
выводить формулы координат середины отрезка, длины вектора и расстояния между двумя точками;
выводить уравнения окружности и прямой;
строить окружности и прямые заданные уравнениями.
Соотношения между сторонами и углами треугольника
Синус, косинус, тангенс угла. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов.
Цель – ввести понятия синуса, косинуса, тангенса вывести формулы для вычисления координат точки; доказать теорему о площади треугольника, теоремы синусов, косинусов, познакомить с методами решения треугольников; познакомить со скалярным произведением векторов, его свойствами.
Знать:
как вводятся синус, косинус, тангенс для углов от 00 до 1800;
формулы для вычисления координат точки;
теорему о площади треугольника;
теоремы синусов, косинусов;
определение скалярного произведения векторов;
условие перпендикулярности ненулевых векторов;
выражение скалярного произведения в координатах и его свойства.
Уметь:
доказывать основное тригонометрическое тождество;
доказывать теорему о площади треугольника;
доказывать теоремы синусов, косинусов;
объяснить, что такое угол между векторами.
Длина окружности и площадь круга
Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга.
Цель – ввести понятие правильного многоугольника, доказать теоремы об окружностях описанной около правильного многоугольника и вписанной в него, вывести формулы, связывающие площадь и сторону правильного многоугольника с радиусами вписанной и описанной окружностей, рассмотреть задачи на построение правильных многоугольников; дать представление о выводе формул длины окружности и площади круга, вывести формулы длины окружности и площади кругового сектора. Знать:
определение правильного многоугольника;
теоремы об окружностях описанной около правильного многоугольника и вписанной в него;
формулы для вычисления угла, площади и стороны правильного многоугольника и радиуса вписанной в него окружности;
формулы длины и дуги окружности, площади круга и кругового сектора.
Уметь:
доказывать теоремы об окружностях описанной около правильного многоугольника и вписанной в него;
вывести формулы для вычисления угла, площади и стороны правильного многоугольника и радиуса вписанной в него окружности;
применять формулы для вычисления угла, площади и стороны правильного многоугольника и радиуса вписанной в него окружности, формулы длины и дуги окружности, площади круга и кругового сектора при решении задач.
Движения
Понятие движения. Параллельный перенос и поворот.
Цель – ввести понятия отображения плоскости на себя и движения, рассмотреть осевую и центральную симметрии, некоторые свойства движений; познакомить с параллельным переносом и поворотом.
Знать:
определение движения плоскости.
Уметь:
объяснить, что такое отображение плоскости на себя;
доказывать, что осевая и центральная симметрия являются движениями и, что при движении отрезок отображается на отрезок, а треугольник – на равный ему треугольник;
объяснить, что такое параллельный перенос и поворот;
доказывать, что параллельный перенос и поворот являются движениями плоскости.
Начальные сведения из стереометрии
Многогранники. Тела и поверхности вращения.
Цель – ввести понятия геометрического тела, поверхности, границы тела, секущей плоскости и сечения тела; ввести понятие многогранника, его видов и элементов; ввести понятие призмы, ее видов и свойств; ввести понятие параллелепипеда, его свойств; ввести понятие объема тела, рассмотреть основные свойства объемов, принцип Кавальери; ввести понятие пирамиды, ее видов и свойств; рассмотреть тела вращения, вывести формулы для вычисления площади поверхности и объемов тел вращения.
Знать:
определения геометрического тела, поверхности, границы тела, секущей плоскости и сечения тела, многогранника, призмы, параллелепипеда, пирамиды, цилиндра, конуса, шара и сферы;
основные свойства объемов, принцип Кавальери;
формулы для вычисления площадей поверхности и объемов многогранников и тел вращения.
Уметь:
различать и называть свойства отдельных видов многогранников и тел вращения;
применять при решении задач формулы для вычисления площадей поверхности и объемов многогранников и тел вращения.
|