Популяционные модели Модель естественного роста численности популяции – модель Мальтуса
Исследуемая система: Имеется популяции одного вида, в которой происходят жизненные процессы во всем их многообразии.
Допущения.
Действуют только процессы гибели и размножения, скорости которых пропорциональны численности особей в данный момент.
Нет борьбы между особями, нет хищников, нет противодействия скажем, со стороны гармоничных людей и субпассионариев.
Величины и коэффициенты.
X – численность популяции в момент t;
R – скорость размножения, - коэффициент размножения
S – скорость естественной гибели,
- коэффициент естественной гибели
dx/dt – скорость изменения численности популяции, коэффициент роста
Уравнение баланса:
dx/dt = ( - ) x или dx/dt = x
Решение x = x 0 exp t, где - скорость роста
< 0
|
> 0
|
x
x  0
t
|
x 
x0
t
|
Рис. П-1. Изменение численности популяции
|
Данная модель, по-видимому, может служить самым первым приближением в желании понять изменение численности пассионариев.
Изменения численности с учетом конкуренции – модель Ферхюльста
Исследуемая система: существует борьба между особями, например за место обитания, что прибавляет в модель дополнительный источник гибели за счет конкуренции между особями.
Считая, что скорость гибели за счет конкуренции между особями пропорциональна вероятности встреч двух особей, можно записать
S = - x - x ( - коэффициент пропорциональности).
Уравнение баланса численности особей:
dx/dt = x - x - x2
или dx/dt = x - x2
Решение
X (t) = x0 / ( - x 0 ) e - t + x0
Стационарное значение xст = /
x
xст = /
 
x 0
t
Рис. П-2. Изменение численности популяции
Данная модель представляется более реалистичной, и численность особей (пассионариев) со временем выходит на стационарный уровень.
Модель «хищник-жертва» (Вольтерра)
Исследуемая система: в некотором пространстве живут 2 вида особей: зайцы (жертвы) и рыси (хищники).
Зайцы питаются растительной пищей, которой достаточно и между ними отсутствует внутривидовая борьба. Рыси могут питаться только зайцами. (Несколько напоминает современный Народ и его Элиту.)
x – число жертв в момент t
y - число хищников в момент времени t
Уравнение баланса
Жертвы:
|
|
|
|
dx/dt
|
=
|
x
|
- x
|
- x y
|
|
|
Скорость размножения
|
Скорость естественной гибели
|
Скорость гибели за счет встречи с хищником
|
Хищники:
|
|
|
|
dy/dt
|
=
|
x y
|
- y
|
|
|
|
Скорость размножения
|
Скорость
естественной гибели
| |
