коэффициентов полных затрат, заменив строки столбцами. В результате получим матрицу ВТ. Умножив ее на исправленные доли добавленной стоимости, получим равновесные цены. Не забудьте, что в соответствии с правилами умножения матриц вектор долей добавленной стоимости перед умножением должен быть представлен в виде столбца. Получим:
1,035
|
1,047
|
1,040
|
1,045
|
1,057
|
|
Как видим, результаты расчетов показали, что при 10 %-м росте зарплаты одновременно по всем отраслям цены на продукцию отраслей увеличились в пределах от 3,5 % до 5,7 %.
Рассчитаем теперь эффект ценового мультипликатора при дополнительном увеличении зарплаты по 1-ой отрасли на 5 %. Расчеты будем вести по формуле DP = BT DV, где DV определим из условия задачи.
DV = (0,013 0 0 0 0 )Т.
Тогда
DP = (0,014 0,0035 0,0006 0,0004 0,0004)Т.
Как и ожидалось, наибольший прирост в цене продукции пришелся на 1-ю отрасль – увеличение на 1,4 %, а по остальным отраслям этот прирост составил доли процента. Например, по 2-й отрасли на 0,35 %. Эффект же ценового мультипликатора проявился в том, что при изменении цены только в одной отрасли произошло изменение цен во всех отраслях и это изменение можно отследить с помощью ценового мультипликатора BT.
1.6. Задания для выполнения контрольной работы
При формировании варианта своего задания необходимо иметь в виду, что показатели межотраслевых потоков продукции в отчетном балансе, численность занятых в отраслях и объемы основных производственных фондов одинаковы для всех вариантов и совпадают с данными в рассмотренном примере. Для разных вариантов меняются лишь векторы конечных продуктов. Для конкретных вариантов они следующие.
-
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
316,3
|
287,50
|
287,50
|
287,50
|
287,50
|
316,25
|
347,88
|
347,88
|
287,50
|
316,25
|
306,3
|
306,34
|
336,97
|
336,97
|
336,97
|
306,34
|
278,49
|
306,34
|
278,49
|
306,34
|
527,5
|
527,47
|
479,52
|
479,52
|
479,52
|
527,47
|
580,22
|
580,22
|
580,22
|
527,47
|
159,2
|
159,19
|
159,19
|
175,11
|
175,11
|
175,11
|
144,72
|
144,72
|
175,11
|
144,72
|
1172,4
|
1172,40
|
1172,40
|
1065,82
|
1172,40
|
1065,82
|
1289,64
|
1172,40
|
1172,40
|
1289,64
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Остальные показатели и нормативы необходимо взять из текста задания в п. 1.4.
Ниже приведены матрицы В для каждого варианта.
Вариант 1 Вариант 2
1,051
|
0,264
|
0,046
|
0,028
|
0,030
|
1,054
|
0,265
|
0,046
|
0,028
|
0,031
|
0,064
|
1,396
|
0,227
|
0,135
|
0,103
|
0,069
|
1,397
|
0,228
|
0,135
|
0,103
|
0,025
|
0,106
|
1,142
|
0,304
|
0,091
|
0,027
|
0,107
|
1,142
|
0,304
|
0,091
|
0,024
|
0,105
|
0,095
|
1,187
|
0,096
|
0,025
|
0,106
|
0,095
|
1,187
|
0,096
|
0,047
|
0,270
|
0,209
|
0,287
|
1,243
|
0,050
|
0,270
|
0,209
|
0,287
|
1,243
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 3 Вариант 4
1,053
|
0,250
|
0,047
|
0,028
|
0,030
|
1,053
|
0,251
|
0,047
|
0,027
|
0,032
|
0,068
|
1,376
|
0,240
|
0,137
|
0,103
|
0,068
|
1,377
|
0,241
|
0,133
|
0,111
|
0,027
|
0,102
|
1,151
|
0,306
|
0,091
|
0,027
|
0,102
|
1,151
|
0,294
|
0,097
|
0,025
|
0,100
|
0,101
|
1,188
|
0,096
|
0,025
|
0,101
|
0,102
|
1,181
|
0,103
|
0,050
|
0,256
|
0,222
|
0,290
|
1,243
|
0,050
|
0,259
|
0,224
|
0,281
|
1,263
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 5 Вариант 6
1,053
|
0,250
|
0,047
|
0,026
|
0,030
|
1,051
|
0,265
|
0,046
|
0,027
|
0,033
|
0,068
|
1,376
|
0,240
|
0,131
|
0,102
|
0,064
|
1,397
|
0,228
|
0,131
|
0,111
|
0,027
|
0,101
|
1,150
|
0,292
|
0,090
|
0,025
|
0,107
|
1,142
|
0,292
|
0,097
|
0,025
|
0,100
|
0,101
|
1,179
|
0,095
|
0,024
|
0,106
|
0,096
|
1,180
|
0,103
|
0,049
|
0,255
|
0,221
|
0,276
|
1,242
|
0,047
|
0,273
|
0,211
|
0,278
|
1,263
|
Вариант 7 Вариант 8
1,048
|
0,278
|
0,044
|
0,029
|
0,029
|
1,047
|
0,263
|
0,042
|
0,029
|
0,030
|
0,061
|
1,415
|
0,214
|
0,137
|
0,096
|
0,060
|
1,394
|
0,212
|
0,137
|
0,102
|
0,024
|
0,111
|
1,132
|
0,314
|
0,084
|
0,024
|
0,106
|
1,133
|
0,315
|
0,091
|
0,022
|
0,110
|
0,089
|
1,192
|
0,089
|
0,022
|
0,105
|
0,089
|
1,193
|
0,096
|
0,044
|
0,280
|
0,195
|
0,293
|
1,225
|
0,044
|
0,269
|
0,195
|
0,296
|
1,243
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 9 Вариант 10
1,055
|
0,280
|
0,045
|
0,028
|
0,031
|
1,051
|
0,264
|
0,045
|
0,029
|
0,028
|
0,069
|
1,418
|
0,215
|
0,127
|
0,103
|
0,064
|
1,395
|
0,227
|
0,139
|
0,095
|
0,027
|
0,111
|
1,132
|
0,288
|
0,089
|
0,025
|
0,106
|
1,141
|
0,317
|
0,084
|
0,025
|
0,110
|
0,089
|
1,177
|
0,095
|
0,023
|
0,105
|
0,095
|
1,193
|
0,089
|
0,050
|
0,283
|
0,196
|
0,271
|
1,242
|
0,046
|
0,267
|
0,207
|
0,295
|
1,225
|
Задание 2. Определение оптимального плана выпуска продукции и анализ оптимального решения с использованием двойственных оценок
Краткие теоретические сведения
Пусть в производстве n видов продукции используется m видов ресурсов. Известны величины  , характеризующие расход каждого вида ресурсов на производство единицы каждого вида продукции ( ), cj – цена реализации 1 ед.  – й продукции,  -запасы  ресурсов. Требуется найти  – оптимальный план производства каждого вида продукции, при котором расходы ресурсов не превышали бы имеющихся запасов (bi), а общий доход при реализации всей продукции (z) был бы максимальным.
Математическая модель задачи имеет вид
 , (2.1)
 (2.2)
 (2.3)
Двойственная задача к рассмотренной следующая.
Найти  – оценки единицы каждого вида ресурсов, минимизирующие суммарную оценку ресурсов при условии, что оценка ресурсов, необходимых для производства единицы каждого вида продукции, была бы не меньше цены единицы соответствующей продукции.
Математическая модель двойственной задачи:
 (2.4)
 (2.5)
 (2.6)
Условия (2.1) и (2.5), а также (2.2) и (2.4) называются сопряженными.
Сформулируем необходимые для дальнейшего теоремы.
Теорема 1. Если исходная задача имеет конечное оптимальное решение х*, то и двойственная к ней задача также имеет конечное оптимальное решение у*, при этом  , (2.7)
(здесь звездочка означает, что значения переменных берутся из оптимальных решений исходной и двойственной задач).
Теорема 2. В оптимальном решении для каждой пары сопряженных условий выполняются следующие соотношения: если одно из них выполняется как строгое равенство, то другое - как строгое неравенство и наоборот, т.е.
если  то  (2.8)
если  то  (2.9)
если  то  (2.10)
если  то  (2.11)
Основываясь на сформулированных теоремах (для невырожденных и единственных решений), можно дать следующую экономическую интерпретацию переменным двойственной задачи yi, которые будем называть двойственными оценками.
1. Оценка (yi*) i-го ресурса показывает, на сколько изменится оптимальное значение целевой функции zmax исходной задачи (доход от реализации продукции), если объем соответствующего ресурса изменить на единицу. Если же объем i–го ресурса изменить на k единиц, то целевая функция изменится на величину ( ) в случае, если это изменение не выйдет за границы устойчивости двойственных оценок.
2. Если ресурс в оптимальном плане израсходован полностью, то его оценка положительна (см. 2.8), если же ресурс не полностью израсходован в оптимальном плане, то его оценка равна нулю (см. 2.9). В первом случае ресурс будем называть дефицитным, во втором недефицитным. Для недефицитного ресурса значение соответствующей балансовой переменной в оптимальном решении покажет его остаток после выполнения оптимального плана. Чем больше оценка ресурса, тем он дефицитнее с точки зрения его вклада в целевую функцию.
3. В оптимальный план включается производство только тех видов продукции, оценка ресурсов на производство единицы которых совпадает с ценой (см. 2.10) и продукция не выпускается в оптимальном плане, если аналогичная оценка превышает цену (см. 2.11). В первом случае продукцию будем называть рентабельной, во втором нерентабельной.
4. В оптимальном плане результаты производства совпадают с оценкой затрат на производство (см. 2.7).
2.1. Пример решения задачи
Рассмотрим конкретную задачу. Пусть в производстве 4-х видов продукции участвуют 4 вида ресурсов. Известны нормы расхода ресурсов на производство единицы продукции (матрица А), цены ее реализации (матрица С) и запасы ресурсов (матрица В). Определить план производства продукции, максимизирующий выручку от реализации производственной продукции.
  
Тогда математическая модель задачи примет вид: найти х1, х2, х3, х4 (объемы производства каждого вида продукции), удовлетворяющие ограничениям:
4 х1 + 2x2 + 5x3 + 2x4  550,
3x1 + 3x3 + x4 400,
5x2 + 2x3 + 6x4650,
4x1 + x2 + 3x3 + 2x4520,
 ( ),
при которых функция z=4x1+5x2+7x3+9x4 достигает максимума.
При решении задачи симплексным методом она приводится к каноническому виду добавлением в левые части ограничений неотрицательных балансовых переменных:
4х1 + 2x2 + 5x3 + 2x4 +s1 =550,
3x1 + 3x3 + x4 +s2 =400,
5x2 + 2x3 + 6x4 +s3 =650,
4x1 + x2 + 3x3 + 2x4 +s4 =520,
 
 .
Значения балансовых переменных показывают объемы неизрасходованных ресурсов в соответствующем плане. Отчет о решении этой задачи с помощью ППП QM for Windows по модулю Linear Proqramminq имеет следующий вид.
Таблица оптимального решения задачи
 Рис. 2.1. Окно результатов решения
На рисунке 2.1 приведено окно результатов. В последней строке этого отчета под соответствующими переменными указаны их значения в оптимальном решении, а также значение целевой функции (в столбце RHS). В последнем столбце (Dual-двойственный) указаны двойственные оценки оптимального решения.
Итак, для получения максимального дохода от реализации производственной продукции ее необходимо выпустить в объемах: х1*=67,083; х2*=0; х3*=15; х4*=103,333. При этом zmax=1303,333.
Двойственная задача. Найти значения переменных у1, у2 у3, у4, удовлетворяющих ограничениям:
4 y1 + 3y2 +4y4  4,
2y1 +5y3 + y4 5,
5y1 + 3y2 +2y3 + 3y4 7,
2y1 + y2 + 6y3 + 2y4 9,
 , для которых целевая функция будет минимальной.
w=550y1+400y2+650y3+520y4
Решения этой задачи выпишем из последнего столбца таблицы y1*=0,833, y2*=0, y3*=1,167, y4*=0,167.
Проиллюстрируем свойства двойственных оценок на основе этой задачи.
1. Каждая из оценок указывает, на сколько изменится максимальное значение целевой функции (максимальная выручка), если изменить на единицу запасы соответствующих ресурсов. Наибольшее изменение выручки произойдет, если изменить объем 3-го ресурса ( = 1,167), а изменение второго ресурса (в  границах устойчивости) не приведет к изменению целевой функции (у2*= 0).
2. Оценки у1*, у3*, у4* положительны. Это означает, что при реализации оптимального плана соответствующие ресурсы расходуются полностью. Проверим это. Подставим в 1-е сопряженные условия исходной задачи. 
Аналогично для третьего и четвертого ресурсов (проверить самостоятельно). Следовательно, 1,3,4-й ресурсы дефицитны. у2*= 0. Это означает, что в оптимальном решении второй ресурс расходуется не полностью. Проверим это. Подставим  во второе ограничение исходной задачи: 
Остаток второго ресурса составляет 400-349б582 50,4. Это и есть значение балансовой переменной в оптимальном решении исходной задачи.
3. Рентабельными являются 1-я, 3-я и 4-я продукции (х1*, х2*, х3* в оптимальном плане положительны), а нерентабельной 2-я – х2*. Проверим это, подставив уi* в сопряженные условия двойственной задачи. Для первой продукции:  . Получили строгое равенство.
Аналогично для 3-й и 4-й продукции (проверить самостоятельно). Покажем нерентабельность второй продукции, подставив  во второе ограничение двойственной задачи. Получим:
 .
Итак, оценка ресурсов, необходимых для производства единицы 2-й продукции больше цены единицы этой продукции на 7,668 – 5 = 2,668.
2.2. Варианты заданий к задаче № 2
|
