Технология выполнения работы
В данной работе необходимо произвести действия с векторами и матрицами, используя панель Matrix, решить СЛАУ методами обратной матрицы, наименьших квадратов, с помощью блока Given – Find, а так же построить таблицы значений функций одной переменной, используя алгоритм описанный выше.
Содержание отчета
Задание и цель работы.
Выполненные расчеты.
Таблицы значений заданных функций.
Вопросы для защиты работы
Как вычислить модуль вектора в Mathcad?
Как используя символьный процессор решить систему уравнений?
Как выделить строку заданной матрицы в Mathcad?
Как построить матрицу значений функции двух переменных?
Лабораторная работа № 7
Вычисления в Mathcad. Дифференциальное и интегральное исчисление
Время выполнения – 2 часа.
Цель работы
Научиться с помощью численных методов и символьного процессора Mathcad находить: пределы функций в точке и на бесконечности, производные функций одной переменной и частные производные функций нескольких переменных, разложения функций в ряд Тейлора - Маклорена, неопределенные и определенные интегралы, суммы функциональных рядов, решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
Задачи лабораторной работы
После выполнения работы студент должен знать и уметь:
знать основные приемы вычисления пределов, производных, интегралов, решения дифференциальных уравнений в Mathcad;
уметь вычислять пределы функций в точке и на бесконечности;
уметь находить производные функций одной переменной и частные производные функций нескольких переменных, используя численные методы и символьный процессор Mathcad;
уметь выполнять разложение функций в ряд Тейлора - Маклорена;
уметь вычислять неопределенные и определенные интегралы функций;
уметь находить суммы функциональных рядов;
уметь находить решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
Перечень обеспечивающих средств
Для обеспечения выполнения работы необходимо иметь компьютер с операционной системой MS Windows, установленное приложение РТС Mathcad версии 14 или выше; методические указания по выполнению работы.
Общие теоретические сведения
Для вычисления пределов, производных, интегралов, сумм рядов в Mathcad используется панель Calculus (рис. 1).
Рисунок 1 – Панель инструментов Calculus
Открыть панель Calculus можно, щелкнув мышкой по изображению интеграла на панели инструментов Math (рис. 2).
Рисунок 2 – Панель инструментов Math
Вычисление пределов
Пример:
Производные функций одной переменной
Пример 1 (символьный метод).
t := 1
Пример 2 (численный метод).
t := 1
Частные производные
Пример 1 (символьный метод).
  
  
Пример 2 (численный метод).
t := 1 w := 2
Примечание: Для того чтобы придать частным производным соответствующий вид необходимо щелкнуть правой кнопкой мыши по изображению производной в формуле и в открывшемся окне выбрать View Derivative As / Partial Derivative.
Разложение функции в ряд Тейлора по степеням х в окрестности точки х = 0 (ряд Маклорена)
Пример
Здесь в левой части выражения на первом месте стоит функция, которую надо разложить в ряд (в данном случае sin(kx2+bx) ), далее следует слово series, что означает разложение в ряд, после чего указывается переменная относительно которой надо производить разложение в ряд (у нас это – х), затем указывается количество членов разложения.
Примечание: слово series необходимо вставлять, используя панель Symbolic (рис. 3).
Рисунок 3 – Панель инструментов Symbolic
Панель Symbolic можно открыть, щелкнув по изображению «шапочки» на панели Math.
Неопределенный интеграл
Пример:
Определенный интеграл
Пример 1 (символьный метод)
Пример 2 (численный метод)
Несобственный интеграл
Пример 1 (символьный метод)
 
Пример 2 (численный метод)
Двойной интеграл
Пример 1 (символьный метод)
Пример 2 (численный метод)
Суммирование рядов
Пример 1 (символьный метод)
Пример 2 (численный метод)
Решение ОДУ первого порядка ( ;  )
Для нахождения решения используется служебное слово Given и функцию Odesolve(t, n), где t – переменная, относительно которой находится решение уравнения, n – количество точек, в которых будет найдены значения функции y(t).
Пример:
Given
  
Пример построения графика функции представлен на рис. 4
Рисунок 4 – Построенный график функции
Варианты задания
Задание 1.
Найти аналитические выражения для производных заданных функций; вычислить значения производных в точке х = 3,5.
Задание 2.
Найти аналитическое выражение для частных производных заданной функции до второго порядка включительно; вычислить значения частных производных в точке М(1,1).
№
варианта
|
Задание 1
|
Задание 2
|
1
|
|
|
2
|
|
|
3
|
|
|
4
|
|
|
5
|
|
|
6
|
|
|
7
|
|
|
8
|
|
|
9
|
|
|
10
|
|
|
11
|
|
|
12
|
|
|
13
|
|
|
14
|
|
|
15
|
|
|
Задание 3.
Получить 10 членов разложения заданных функций в ряд Тейлора - Маклорена.
Задание 4.
Проинтегрировать указанные выражения, пользуясь символьным процессором Mathcad.
№
варианта
|
Задание 3
|
Задание 4
|
1
|
|
|
2
|
|
|
3
|
|
|
4
|
|
|
5
|
|
|
6
|
|
|
7
|
|
|
8
|
|
|
9
|
|
|
10
|
|
|
11
|
|
|
12
|
|
|
13
|
|
|
14
|
|
|
15
|
|
|
Задание 5.
Просуммировать указанные ряды.
Задание 6.
Решить ОДУ первого порядка (задачу Коши) численным методом, результат представить в виде графика искомой функции.
№
варианта
|
Задание 3
|
Задание 4
|
1
|
|
|
2
|
|
|
3
|
|
|
4
|
|
|
5
|
|
|
6
|
|
|
7
|
|
|
8
|
|
|
9
|
|
|
10
|
|
|
11
|
|
|
12
|
|
|
13
|
|
|
14
|
|
|
15
|
|
|
|
