Основные операции над матрицами и векторами
Пусть задана матрица
Обратная матрица  , транспонированная матрица  , определитель  вычисляются с помощью соответствующих инструментов на панели Matrix
|M| = -312
Ранг матрицы
rank(M) = 4
Размер матрицы может быть вычислен следующим образом:
Число строк:
rows(M) = 4
Число столбцов:
cols(M) = 4
Слияние матриц
Пусть
  
Тогда слияние матриц слева направо выполняется следующим образом:
Слияние матриц сверху вниз:
Выделение отдельных элементов, строк, столбцов матрицы
При выполнении операций нужно учитывать, что строки и столбцы нумеруются начиная с нуля.
   
Для выделения подматрицы используется функция submatrix(A, ir, jr, ic, jc), которая возвращает часть матрицы А, находящуюся между строками ir, jr и столбцами ic, jc включительно.
Действия над векторами
Модуль вектора вычисляется с помощью инструмента |x| , расположенного на панели Калькулятор (не путать с аналогичным обозначением на панели Matrix, предназначенном для вычисления определителя матрицы).
Пример.
 
|r| = 3.74165739
Размерность вектора:
length(r) = 3
Скалярное и векторное произведение
 
Создание таблицы значений функции одной переменной
Для того чтобы построить таблицу значений функции в Mathcad необходимо выполнить следующие действия:
задать функцию;
задать границы интервала [a, b] на котором будут рассчитываться значения функции;
задать количество точек разбиения интервала [a, b];
вычислить вектор значений аргумента функции в точках разбиения;
вычислить вектор значений функции, соответствующий вектору значений аргумента.
Пример.
Задание функции:
 .
Задание границ диапазона:
a := -10;
b := 10.
Задание числа точек разбиения, включая граничные точки (>=2):
n := 20.
Вычисление вектора значений аргумента:
 .
Вычисление вектора значений функции:
Матрица значений функции двух переменных строится аналогично.
Пример.
Задание функции:
f(x,y) := sin(x,y)
Задание границ прямоугольника по оси ох:
xa := -2·π;
xb := 2·π .
Задание границ прямоугольника по оси оу:
ya := -π;
yb := π .
Задание числа точек разбиения по оси ох, включая граничные точки (>=2):
xn := 40.
Задание числа точек разбиения по оси оу, включая граничные точки (>=2):
yn := 20.
Расчет значений индексов i, j:
i := 0 .. xn – 1;
j := 0 .. yn – 1.
Расчет значений x(i) и y(j):
 ;
 .
Матрица значений функции:
Mi,j := f(xii,yij)
Решение систем линейных алгебраических уравнений
Приведем несколько методов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в Mathcad.
Метод обратной матрицы (для квадратных систем с невырожденной матрицей).
Пусть задана СЛАУ 
Тогда вектор решения находится по формуле: 
Метод наименьших квадратов.
Пусть задана система уравнений:  , где m>n, т.е. число уравнений больше числа неизвестных.
Умножим обе части матричного уравнения на транспонированную матрицу системы. 
Отсюда 
Символьный метод решения с помощью блока Given - Find (решение системы будет найдено, если оно существует).
Пример.
Given
2·x + 3·y + 5·z + 4 = 0
4·x + 5·y + 7·z - 5 = 0
3·x + 8·y - 4·z - 1 = 0
Замечание: Знаки равенства < = > между левой и правой частью уравнений необходимо ставить, используя панель Boolean (рис. 4).
Рисунок 4 – Панель инструментов Boolean
Любые «другие» знаки равенства, взятые с других панелей или набранные с клавиатуры приведут к ошибке.
Задание
Вычислить определители матриц, найти матрицу обратную заданной, найти ранги матриц, выделить из матриц заданные строки и столбцы.
Решить СЛАУ методом обратной матрицы и с помощью блока Given - Find; решить СЛАУ методом наименьших квадратов.
Построить таблицы значений функций на заданном интервале [a, b] с заданным количеством точек разбиения.
Варианты заданий
Задание 1.
вычислить определители;
найти матрицу обратную заданной, транспонировать матрицу;
найти ранги матриц; выделить из матриц вторую строку и третий столбец.
№
варианта
|
Задание 1 а
|
Задание 1 б
|
Задание 1 в
|
1
|
 
|
|
 
|
2
|
 
|
|
 
|
3
|
|
|
 
|
4
|
|
|
 
|
5
|
|
|
|
6
|
|
|
 
|
7
|
|
|
 
|
8
|
|
|
 
|
9
|
|
|
 
|
10
|
|
|
|
11
|
|
|
|
12
|
|
|
 
|
13
|
|
|
 
|
14
|
|
|
 
|
15
|
|
|
 
|
Задание 2.
решить СЛАУ методом обратной матрицы и с помощью блока Given – Find;
решить переопределенную СЛАУ методом наименьших квадратов.
№
варианта
|
Задание 2 а
|
Задание 2 б
|
1
|
|
|
2
|
|
|
3
|
|
|
4
|
|
|
5
|
|
|
6
|
|
|
7
|
|
|
8
|
|
|
9
|
|
|
10
|
|
|
11
|
|
|
12
|
|
|
13
|
|
|
14
|
|
|
15
|
|
|
Задание 3.
Построить таблицу значений следующих функций на интервале [-10,10] количество точек разбиения n = 50.
№
варианта
|
Задание 3
|
1
|
|
2
|
|
3
|
|
4
|
|
5
|
|
6
|
|
7
|
|
8
|
|
9
|
|
10
|
|
11
|
|
12
|
|
13
|
|
14
|
|
15
|
|
|
