6.3. Примеры задач для текущих контролей и промежуточных аттестаций
Кубик бросили два раза. Событие: A: не выпадало чётных чисел. Событие B: в сумме выпало 6 очков. Зависимы ли A и B?
Стрелок выстрелил 4 раза. Вероятность промаха при каждом выстреле равна 0,3. Найти вероятность того, что он попадёт не менее трёх раз.
Из набора чисел {134587,51610,43598,286151,23784,902300,394782,682510} выбрали два числа. Событие A: “в их записи встречаются все цифры”, событие B: “в записи одного из этих чисел нет троек”. Зависимы ли эти события?
Наудачу взяты два положительных числа X и Y, каждое из которых не превышает четырех. Найти вероятность того, что сумма этих чисел будет не больше трех.
Турист, заблудившись в лесу, вышел на полянку, от которой в разные стороны ведут три дороги. Если турист пойдет по первой дороге, то вероятность выхода из леса равна 0,3, если по второй – 0,4, по третьей – 0,8. Какова вероятность того, что турист пошел по второй дороге, если он в конце вышел из леса?
В ящике 10 деталей, из которых три окрашены. Сборщик наудачу взял пять деталей. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.
Охотник Сидор сделал три выстрела по кабану. Вероятность попадания каждым из выстрелов равна 0,5. Одним попаданием кабана можно убить с вероятностью 0,7; двумя – наверняка. Найти вероятность того, что кабан будет убит.
Одинаковые детали поступают на сборку с трех автоматов. Первый автомат дает 20%, второй— 30%, третий — 50% всех деталей, необходимых для сборки. Брак в продукции первого автомата составляет 2,5%, второго — 2%, третьего — 2,5%. Найти вероятность поступления на сборку бракованной детали.
Найдите вероятность того, что из двух чисел, наудачу выбранных из промежутка [0,1], одно больше, а другое меньше 0.3.
Из колоды в 36 карт удачливый Денис достал 12. С какой вероятностью там нет треф и тузов?
Буквы слова “гамма” переставили случайным образом. Найти вероятность того, что получится слово “магма”.
Перед посевом 90 процентов всех семян было обработано ядохимикатами. Вероятность поражения вредителями для растений из обработанных семян равна 0,08, для растений из необработанных семян - 0,4. Взятое наудачу растение оказалось пораженным. Какова вероятность того, что оно выращено из обработанного семени?
На линии связи длиной 20 км произошли два разрыва. Какова вероятность того, что расстояние между разрывами менее 5 км?
Из колоды в 36 карт достали 3 карты. Найти вероятность того, что они чёрной масти, если известно, что одна из них – десятка.
В квадрат с вершинами (0;0), (0;1), (1;0), (1;1) наудачу брошена точка. Пусть (X, Y) - ее координаты. Найти P(XY<0,5).
Производится стрельба из зенитного орудия по воздушной цели. Попадания при отдельных выстрелах независимы и имеют вероятность 0,4. Если снаряд попал в цель, она поражается с вероятностью 0,9. Боезапас орудия 4 снаряда. Найти вероятность того, что не весь боезапас будет израсходован.
Случайные события A и B несовместны. P(A)=0,6, P(B)=0,3. Найти P(A|B).
Студент знает 20 вопросов из 25. Какова вероятность того, что из 4 вопросов он ответит не менее чем на 2?
Статистика запросов кредитов в банке такова: 10% - государственные органы, 20% - другие банки, остальные - физические лица. Вероятности того, что взятый кредит не будет возвращён, составляют 0,01, 0,05 и 0,2 соответственно. Определить, какая доля кредитов в среднем не возвращается.
Плотность распределения случайной величины равна С(x3+1) внутри отрезка [0;3] и равна 0 вне этого отрезка. Найти константу С
В ящике 8 белых, 6 красных и 4 зелёных шаров. Достали 2 шара. Найти вероятность того, что они не белые.
Кубик бросили 2 раза. Событие A:”выпала сумма 6 очков”, событие B: “не было двоек”. Зависимы ли эти события?
Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 2. Известно, что P(X<1)=0.3. Найти P(X>4).
Кубик бросают 1 раз. Если выпала единица, то его бросают ещё раз (т.е. всего тогда получится два бросания). X – суммарное количество очков. Заполнить таблицу и найти MX, P(X<4).
Случайная величина X распределена по закону Пуассона. Известно, что MX=0,9. Найти P(X>3).
Плотность распределения случайной величины X равна 0,1x при 0Найти С и P(1
Саша и Маша каждую неделю ходят в кино. Саша доволен фильмом с вероятностью 1/4, Маша - с вероятностью 1/6. Сколько в среднем фильмов будет просмотрено до тех пор, пока хоть кто-то будет доволен?
Из колоды 36 карт достают одну карту. Если это оказался туз, то достают ещё одну карту (и на этом всё).
X – количество вытащенных карт пиковой масти. Заполнить таблицу и найти MX.
Среднее число заказов такси, поступающих на диспетчерский пункт за одну минуту, равно трём.
Найти вероятность того, что за 2 минуты поступит менее четырёх вызовов.
Случайная величина X распределена по показательному закону. Известно, что P(X<2)=0.5. Найти DX.
Функция распределения случайной величины X равна 0 при x<0, = x5 при 01. Найти дисперсию X.
Вася испек 40 булочек. В каждую из них он кладет изюминку с р = 0,02. Какова вероятность того, что всего окажется 3 булочки с изюмом?
Функция распределения случайной величины X равна нулю при x<3, и равна  при x>3.
Найти математическое ожидание X.
Случайная величина X распределена по геометрическому закону, p=0,3. Найти P(1
Кубик бросают 1 раз. Если выпало нечётное число, то его бросают ещё раз (т.е. всего тогда получится два бросания). X – количество выпавших единиц. Заполнить таблицу и найти DX.
Погрешность измерения напряжения распределена по нормальному закону со средним 30 мВ и стандартным отклонением 5 мВ. Найти вероятность того, что погрешность будет меньше 20 мВ.
Вася, владелец крупного Интернет-портала, вывесил на главной странице рекламный баннер. Ежедневно его страницу посещают 1000 человек. Вероятность того, что посетитель портала кликнет по баннеру, равна 0,003. С помощью пуассоновской приближённой формулы найти вероятность того, что за сегодня будет не более 2 кликов по баннеру.
Совместное распределение X и Y представлено в таблице. Зависимы ли X и Y?
На кубике три четвёрки, пятёрка и две шестёрки. Кубик бросили 2 раза.
X – максимальное из выпавших чисел, Y – количество выпавших пятёрок. Заполнить таблицу совместного закона распределения этих случайных величин.
В некоторой стране три больших города (А, Б, В). Каждые 10 лет из А в Б переезжает примерно 10% жителей, из А в В – 20%, из Б в В 20%, из В в A 10%, остальные остаются на месте. В 2000 году в каждом городе было по 100 тыс. жителей. Изменение населения за счёт других причин незначительно.
Нарисовать граф и выписать матрицу переходных вероятностей за один шаг.
Эргодична ли соответствующая цепь?
Если да, то выписать систему для нахождения вероятностей проживания в каждом из городов через много лет, если сохранится тот же порядок вещей
Случайная величина X распределена по биномиальному закону с N=2.
Найти P(X=2), если известно, что MX=1,6.
В шкатулке один белый, два черных и один красный шар. Шары вынимают по одному до тех пор, пока не встретится красный. X– количество вытащенных белых, Y – количество вытащенных чёрных. Заполнить таблицу. По таблице найти M(XY), DY, P(X>Y).
Достали 3 карты из колоды. Событие A:”Все карты красные”, событие B: ”Нет ни одного туза”. Что такое 
Двое играют матч в шахматы из двух партий. Вероятность выигрыша партии для первого равна 0,7, вероятность ничьей в партии равна 0,2. Найти вероятность того, что матч закончится вничью.
Случайная величина X распределена по показательному закону. Найти P(2
Совместное распределение X и Y представлено в таблице. Найти коэффициент корреляции.
Наудачу выбирается целое число от 1 до 100 включительно. X – количество нулей в записи числа, Y – количество единиц в записи числа. Заполнить таблицу и найти по ней M(X|Y>0), cov(X,Y).
Игральный автомат. Чтобы получить приз, нужно успешно пройти два этапа подряд. Вероятность успешно пройти первый равна 0,7, второй – 0,5. В случае проигрыша всё начинается сначала, после выигрыша приза – 10-минутная церемония вручения приза, и затем начало с первого этапа. На одну игру уходит в среднем 10 минут.
Составить граф и выписать матрицу переходных вероятностей.
Эргодична ли соответствующая цепь?
Если да, то написать систему уравнений для нахождения финальных вероятностей.
Производится три выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Пусть X – номер выстрела, при котором произошло первое попадание (если попаданий не было, то X=0),
Y – количество попаданий. Заполнить таблицу и найти M(X|Y=2).
В ящике было 2 белых и 3 черных шара. Иван взял 2 шара, маленькая Леночка затем один шар. Пусть X – количество белых у Ивана, Y – количество белых у маленькой Леночки. Заполнить таблицу совместного распределения этих случайных величин.
Трое играют в настольный теннис “навылет”. Победитель в партии играет со следующим, проигравший ожидает своей очереди. Pij – вероятность выигрыша I-го игрока у J-го. Известно, что P12=0.7, P23=0.2, P31=0,6. Средняя продолжительность партии – 15 минут.
Первую партию играют первый с третьим. Найти наиболее вероятное состояние через 2 шага
Эргодична ли соответствующая цепь?
Если да, то написать систему уравнений для финальных вероятностей состояний.
В коробке лежат три белых и два черных шарика. Опускаем в коробку обе руки и наугад берем каждой рукой по два шарика. X – число белых шариков в левой руке, Y – в правой. Заполнить таблицу.
Погода на некотором острове бывает дождливой (Д) или сухой (С). Если сегодня дождь, то завтра обязательно сухо. Если же сухо, то с вероятностью 0,3 завтра дождь.
Составить граф и заполнить матрицу переходных вероятностей этой марковской цепи.
Эргодична ли соответствующая цепь?
Если цепь эргодична, то найти финальное распределение вероятностей; если не эргодична, то найти наиболее вероятное состояние через 3 шага, если сегодня сухо.
По выборке построить доверительный интервал для математического ожидания, считая закон нормальным. Взять α=0,1.
Фирма разослала 1000 новых рекламных проектов и получила 120 заказов. Можно ли считать, что эффективность рекламы повысилась, если ранее она составляла 10%. Взять α=0,05
Дана выборка из закона Пуассона
Построить доверительный интервал для параметра .
Для выборки из предыдущей проверить гипотезу о том, что дисперсия меньше 3, считая закон нормальным.
Случайная величина имеет функцию распределения, равную  на отрезке [0;4]. По выборке 1; 3; 2.5 найти оценку a методом максимального правдоподобия.
При обработке материалов переписи 1914 года были получены следующие данные: из 329 рабочих фабрики Тамбовской губернии на полевые работы уходило 146 человек, а из 494 рабочих фабрики Ярославской губернии уходило 263 человек. Проверить гипотезу о равенстве вероятности ухода на полевые работы для двух губерний при уровне значимости 0,1.
Случайная величина X – количество успехов в 4 независимых испытаниях. По выборке 1,1,1,1,1,2,2,2 найти оценку для вероятности успеха в одном испытании методом максимального правдоподобия.
Строительная компания хочет оценить среднюю стоимость ремонтных работ. Каким должен быть объем выборки среди 1200 клиентов строительной фирмы, если среднекв. отклонение равно 850 у.е., а длина доверительного интервала не должна превышать 200 у.е. с α =0,95?
Из 200 задач первого раздела курса математики, предложенных для решения, абитуриенты решили 130, а из 300 задач второго раздела абитуриенты решили 120. Можно ли при α=0,01 утверждать, что первый раздел школьного курса абитуриенты усвоили лучше, чем второй.
Случайная величина X распределена по закону Пуассона. По выборке 0,1,0,2 найти оценку для параметра методом максимального правдоподобия.
В 1882 году Майкельсон провёл эксперименты по измерению скорости света. По 23 экспериментам средняя скорость оказалась равна 299 756 км/сек со стандартным отклонением 107,12. Найти 90%-й интервал для скорости света
Для выборкипроверить гипотезу о том, что закон распределения – равномерный на отрезке [17;53].
Случайная величина распределена с функцией распределения, равной 1– XA на интервале [1;]. По выборке 3; 4; 5 найти приближённо A методом максимального правдоподобия
Даны выборки 1,2,2,2,1,0,0,1 и 20,21,22,28,31,30. Считая закон нормальным проверить гипотезу о том, что в первой выборке больше математическое ожидание.
Среди 500 молодых семей, живущих с родителями, было зарегистрировано 38 разводов в течение первых трех лет совместной жизни. Построить приближенный доверительный интервал для вероятности развода в таких семьях с уровнем доверия 0,9.
Случайная величина принимает значения 1,2,3 с вероятностями A,A2,1–A–A2 соответственно. По выборке 1,2,1,1 найти приближённо A методом максимального правдоподобия
Случайная величина принимает значения 0,1,2 с вероятностями, соответственно, A, 2A , 1–3A. По выборке 0,0,0,1,0,0,1,0,2,2 найти приближённо A методом максимального правдоподобия
|
