Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов для егэ 2015 года по математике

Решения и критерии оценивания заданий 15–21 Количество баллов, выставляемых за выполнение заданий 15–21, зависит от полноты решения и правильности ответа. Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, в частности все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное количество баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов. Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают. В критериях оценивания конкретных заданий содержатся общие требования к выставлению баллов. При выполнении задания можно использовать без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендованных (допущенных) Министерством образования и науки Российской Федерации. 21 На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно 8. а) Сколько чисел написано на доске? б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных? в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них? (2015 - 11 / 19) 15 а) Решите уравнение cos2x 1 cosx. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  5π;π.  2 Решение. а) Преобразуем обе части уравнения: 2 2 1 2 sin x  1 sinx; 2sin x sinx 0; sinx2sinx 1 0, откуда sin x 0 или sinx. Из уравнения sin x 0 находим: xπn, где n. Из уравнения sinx находим: x  1k ππk , где k. 6 б) С помощью числовой окружности отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку  5π;π. МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень (2015 - 12 / 19) 16 Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA B C1 1 1 имеют длину 6. Точки M и N — середины рёбер AA1 и A1 1C соответственно. а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны. б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1. B N P H 1 Решение. а) Пусть точка H — середина AC . C1 Тогда A1 2 BN BH NH  3 3  6 63. 2 2 22 С другой стороны, BM MN2  2     (32 6 )2 (32 3 )2 63, M а тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, C треугольник BMN является прямоугольным с A прямым углом M . б) Проведём перпендикуляр NP к прямой A1 1B . B Тогда NP AB 1 1 и NP AA 1 . Следовательно, NP ABB 1. Поэтому MP — проекция MN на плоскость ABB1. Прямая BM перпендикулярна MN , тогда по теореме о трёх перпендикулярах BM MP . Следовательно, угол NMP — линейный угол искомого угла. Длина NP равна половине высоты треугольника A1 1 1BC , то есть 3 3 NP . Поэтому sinNMP . 2 33 3 232 8 NP MN    3 8 . Следовательно, NMP  arcsin Ответ: б) arcsin3 8 . Содержание критерия Баллы Обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б 2 Выполнен только один из пунктов а и б 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 2 0 – 2 π 7 π 6 – — 6 11 π – —–  2 –π Получаем числа:  2π ;  ;  . Ответ: а) πn, n; 1k π6 πk , k. – —5π 2 б)  2π ; ; . Содержание критерия Баллы Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах 2 Обоснованно получен верный ответ в пункте а или пункте б ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения уравнения и отбора корней 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 2 (2015 - 13 / 19) 17 log92  x  log152  x Решите неравенство log15 x  log25 x  log25 9. Решение. Левая часть неравенства определена при 2  x  0; x  0; x 1. При 0  x 1 получаем log15 x  log25 x, log92  x  log152  x, поэтому левая часть неравенства отрицательна и не превосходит log259. При 1 x  2 получаем log15 x  log25 x, log92  x  log152  x, поэтому левая часть неравенства отрицательна и не превосходит log25 9. Таким образом, решение исходного неравенства 0;1  и 1; 2 .  Ответ: 0;1 ; 1; 2 .    Содержание критерия Баллы Обоснованно получен верный ответ 2 Допущена единичная вычислительная ошибка, возможно, приведшая к неверному ответу, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 2 МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень (2015 - 14 / 19) AD Треугольники BKC и AKD подобны,  4. Пусть SBKC S, тогда BC SAKD 16 .S У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно, SAKD DK AD   , то есть SAKB  4 .S Аналогично, SCKD  4 .S Площадь SAKB KB BC трапеции ABCD равна 25S . Вычислим площадь трапеции ABCD. Проведём к AD перпендикуляр O H2 , равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника O HO2 1: O H2  OO1 22 O H1 2 4. Тогда AD  BC SABCD  2  AB  20. Следовательно, 25S  20, откуда S 0,8 и SAKB  4S  3,2. Ответ: 3,2. Содержание критерия Баллы Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б 3 Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки 2 Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 3 18 Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C. а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны. б) Найдите площадь треугольника AKB , если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1. A B C H K M O 1 O 2 Решение. а) Обозначим центры D окружностей O1 и O2 соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке M. По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM  KM и KM  BM. Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, прямоугольный. Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит, AD AB . Аналогично, получаем, что BC  AB. Следовательно, прямые AD и BC параллельны. б) Пусть, для определённости, первая окружность имеет радиус 4, а вторая — радиус 1. (2015 - 15 / 19) 19 31 декабря 2013 годаСергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами? Решение. Пусть сумма кредита равна a, ежегодный платеж равен x рублей, а годовые составляют k %. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент m 1 0,01 .k После первой выплаты сумма долга составит: a1  am  x. После второй выплаты сумма долга составит: a2  a m1  x  am  x m  x am2  mx  x  am2 1 m x . После третьей выплаты сумма оставшегося долга:   3 a3  am3  1 m  m2 x  am3  m 1 x. m 1 По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит 3 m3 1 am3m 1 полностью, поэтому am   x  0, откуда x  . m 1 m3 1 При a  9 930 000 и k10, получаем: m1,1 и x  3 993 000 (рублей).

Похожие:

	Информация о егэ для родителей выпускников Единый государственный экзамен (егэ) Егэ) это экзамен с использованием заданий стандартизированной формы контрольных измерительных материалов (кимов), выполнение которых...		Правила заполнения бланков единого государственного экзамена в 2016 году Введение Егэ в день проведения егэ. В целях обеспечения единых условий для всех участников егэ при проведении и обработке результатов егэ...
	Правила заполнения бланков единого государственного экзамена в 2016 году Введение Егэ в день проведения егэ. В целях обеспечения единых условий для всех участников егэ при проведении и обработке результатов егэ...		Правила заполнения бланков единого государственного экзамена в 2014 году В целях обеспечения единых условий для всех участников егэ при проведении и обработке результатов егэ используются унифицированные...
	Методические указания к контрольной работе №9 по дисциплине «Обществознание» Методические указания предназначены для слушателей подготовительного отделения с целью систематизации и повышения уровня знаний по...		Правила и процедура проведения егэ единый государственный экзамен (егэ) Егэ) это экзамен с использованием заданий стандартизированной формы контрольных измерительных материалов (кимов), выполнение которых...
	Правила и процедура проведения егэ единый государственный экзамен (егэ) Егэ) это экзамен с использованием заданий стандартизированной формы контрольных измерительных материалов (кимов), выполнение которых...		Единый государственный экзамен (егэ) Егэ) это экзамен с использованием заданий стандартизированной формы контрольных измерительных материалов (кимов), выполнение которых...
	Единый государственный экзамен (егэ) Егэ) это экзамен с использованием заданий стандартизированной формы контрольных измерительных материалов (кимов), выполнение которых...		Что такое егэ? Единый государственный экзамен (егэ) — это форма объективной оценки качества подготовки лиц, освоивших образовательные программы...