ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ТЕМЫ ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
В.А. Алякин, Р.Ф. Узбеков
Самарский государственный университет,
г. Самара, uzbekov_roman@mail.ru
В настоящее время сложились два подхода во внешкольной работе со школьниками. Первый подход связан с подготовкой к олимпиадам или иным математическим соревнованиям (регатам, математическим боям и т.п.) по решению четко поставленных задач за определенное время.
Второй подход связан с подготовкой докладов и участием в научных конференциях учащихся. Эти подходы дополняют друг друга, т.к. школьникам, которые любят и умеют быстро решать задачи, больше подходят олимпиады, а школьники- «тугодумы» предпочитают участвовать в конференциях. Мы считаем, что одаренным школьникам нужно предлагать не реферативные темы, а исследовательские; они обязательно должны содержать задачи, доступные, понятные и интересные школьнику, а, с другой стороны, быть математически содержательными. Лучшей задачей для исследования является проблема, которая просто и четко формулируется, но трудно решается [1]. В то же время задача должна быть такой, что быстрое получение научного результата хотя бы на основе частичного решения было вполне реальным для школьника. Даже незначительное продвижение в решении исследовательской задачи резко повышает мотивацию учащегося и стимулирует его дальнейшие усилия. Желательно предоставлять школьнику несколько направлений исследований, чтобы он участвовал в выборе темы, например, тема может быть по алгебре или геометрии, содержать компьютерный счет или нет.
Приведем несколько примеров удачных, на наш взгляд, исследовательских работ школьников, выполненных под нашим руководством.
Тема 1. Теорема фон Неймана о минимаксе и ее элементарное доказательство для матричных игр малой размерности. Существует несколько способов доказательства теоремы о минимаксе, но каждый из них использует методы, далеко выходящие за рамки школьной программы. Представляет интерес вопрос о возможности доказательства этой теоремы с помощью элементарных методов в частном случае матриц размерности 2х2. Идея доказательства состоит в том, что две прямые на плоскости могут располагаться конечным числом способов, описывающих различные ситуации при решении матричных игр. Перебрав все случаи и показав, что в каждом случае принцип минимакса справедлив, мы получим доказательство теоремы о минимаксе. Эта идея была успешно реализована старшеклассником. Таким образом, в этой работе знакомство с мощной теоремой по современному направлению математики сочетается с пусть небольшим, но самостоятельным вкладом в проблему.
Тема 2. Итерации точек на окружности и сфере. В работе рассматривается новая задача об итерациях точек на сфере, когда каждая пара точек на сфере заменяется серединой меньшей дуги большой окружности, проходящей через эти точки, и эта операция продолжается неограниченное число раз. (Практически это означает нахождение «точки возврата» для самолета, летящего из пункта А в пункт В, и не имеющего избытка горючего.) Возникает проблема описания топологической картины данного процесса на окружности и на сфере. Также интересен вопрос о коэффициенте уменьшения (увеличения) количества точек при данном процессе. Таким образом, в этой работе классическая задача о поведении чисел на окружности дополнена оригинальным определением процесса итераций.
Тема 3. Диофантово уравнение Маркова и его аналоги. Диофантово уравнение Маркова принадлежит к тому редкому типу уравнений, которые решаются элементарными методами. Представляют интерес аналоги этого уравнения, т. е. диофантовы уравнения, решаемые тем же методом. В работе указаны такие уравнения и найдены их решения. При этом возникают новые вопросы о чередовании знаков решений. Привлекая компьютерный счет, старшекласснику удалось ответить и на эти вопросы. Особенностью этой работы является сочетание математического анализа задачи и компьютерного моделирования.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Скопенков А.Б. Размышления об исследовательских задачах для школьников. // Матем. Просвещение. Сер.3. Вып.12. М.: МЦНМО, 2012.
2. Сгибнев А.И. Исследовательские задачи для начинающих. М.: МЦНМО, 2013.
3. Белов А.Я. Научное творчество школьников: где миф и где реальность? // Матем. Просвещение, Сер.3. Вып. 18. М.: МЦНМО, 2014.
|
