Системы счисления.
При записи числа в позиционной системе счисления с основанием N используется N цифр, а каждая позиция в числе обознает N в соответствующей степени. Используя такую запись можно перевести число из любой системы в десятичную.
10-ая система –>0,1,…,9 число 5202 –> 5 2 0 2 = 5000+200+0+1
103 102 101 100
2-ая система. –> 0,1 число 11022 –> 1 1 0 2 = 8+4+0+2 = 1410
23 22 21 20
8-ая система. –> 0,1,…,7 число 5028 –> 5 0 2 = 5*64+0+2 = 32210
82 81 80
16-ная система. –>0,1,…,9,A,B,C,D,E,F число E116 –> 14 1 = 14*16+2 =22610
161 160
При представлении чисел в компьютере основной системой счисления является двоичная. Числа в двоичной системе или в двоично–десятичном виде (10-ные цифры записываются их двоичным кодом). При работе в языках программирования или вычислительных пакетах используются десятичные числа в естественной или нормализованной форме. Числа в естественной форме (с фиксированной точкой): -30.57, 0.0245. Используется для записи целых чисел. Недостаток – ограниченный диапазон значений, много «лишних» знаков в числах 20000000000, 0.00004. Числа в нормализованной (экспоненциальной) форме (с плавающей точкой):
–   0.3057*10+02,
|
0 .245*10–01
|
|
В 10-й системе A=M*10p, 0.1<=M<1
В позиционной системе с основанием Q
A=M*Qp, 1/Q<=M<1
|
Мантисса
|
|
Порядок
|
|
Под число может быть отведено: 1 байт(8 бит), полуслово(2 байта=16 бит), слово(4байта=32 бита), двойное слово.
П
Рисунок 1 – Запись числа в ЭВМ
еревод десятичного числа D из десятичной системы в двоичную производится так:
1. Делим D на 2. Остаток - B0.
2. Частное снова делим на 2. Остаток - B1.
3. Повторяем, пока не получим 1/2=0 с остатком 1. Этот последний остаток и есть старшая единица.
Таблица 1- Пример перевода числа 154 из десятичной системы в двоичную.
Действие
|
остаток
|
Действие
|
остаток
|
Действие
|
остаток
|
1
|
154/2=77,
|
B0=0
|
2
|
77/2=38,
|
B1=1
|
3
|
38/2=19,
|
B2=0
|
4
|
19/2=9,
|
B3=1
|
5
|
9/2=4,
|
B4=1
|
6
|
4/2=2
|
B5=0
|
7
|
2/2=1,
|
B6=0
|
8
|
1/2=0
|
B7=1
|
Итак, 154=10011010
|
Перевод из двоичной системы исчисления в шестнадцатеричную состоит из двух этапов сначала двоичное число разбивается на комбинации по четыре двоичных цифры а затем каждая комбинация заменяется шестнадцатеричным числом (Таблица 2).
Таблица 2 – Соответствие двоичных и шестнадцатеричных чисел
Двоичное
|
16-
тиричное
|
Двоичное
|
16-
тиричное
|
Двоичное
|
16-
тиричное
|
Двоичное
|
16-
тиричное
|
0000
|
0
|
0001
|
1
|
0010
|
2
|
0011
|
3
|
0100
|
4
|
0101
|
5
|
0110
|
6
|
0111
|
7
|
1000
|
8
|
1001
|
9
|
1010
|
A
|
1011
|
B
|
1100
|
C
|
1101
|
D
|
1110
|
E
|
1111
|
F
|
Например: число 111010110 = 0001'1101'0110 = 1D6
Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую производится на основании следующих соображений. Пусть X - правильная дробь, заданная в 10-чной системе счисления и требуется перевести ее в систему счисления с основанием Q, т.е. найти цифры bi для записи X=b-1*Q-1+b-2*Q-2+ ... +b-m*Q-m. Для определения bi умножим левую и правую части равенства на Q, причем в левой части умножение выполняется по правилам 10-чной арифметики. Имеем: X*Q=b-1+b-2Q-1+...+b-mQ-m+1. Представим левую часть равенства как сумму целой и дробной частей X*Q=[X*Q]+{X*Q}и приравняем их с целой и дробной частями правой части равенства: [X*Q]=b-1 и {X*Q}=b-2Q-1+...+b-mQ-m+1. Таким образом, цифра b-1 является целой частью от умножения X на Q. Далее положим X1=X*Q и повторим аналогичные действия для определения цифры b-2 и других цифр ()
Таблица 3 - Алгоритм перевода правильной десятичной дроби X в другую систему счисления
рекуррентные формулы
|
Пояснения
|
Для перевода X в систему счисления с основанием Q . Необходимо:
|
b-i-1=[Xi*Q]
|
1) X умножить на Q, записанное в 10-чной системе счисления
|
Xi+1={Xi*Q}
|
2) дробную часть полученного произведения снова умножить на Q
|
Процесс продолжать до тех пор, пока последнее полученное произведение не станет равным нулю Xi+1=0, либо не будет достигнута требуемая точность изображения числа. (требуемое количество цифр после запятой) .
|
Представлением числа X будет последовательность целых частей полученных произведений, изображенных одной Q-чной цифрой и записанных в порядке их получения
|
Примеры: Перевести число 0,3610 в 2-чную систему счисления c 5 знаками после запятой. 0,36*2=0+0,72; 0,72*2=1+0,44; 0,44*2=0+0,88; 0,88*2=1+0,76; 0,76*2=1+0,52.
Таким образом, 0,3610=0,010112.
Перевести число 0,3610 в 16-чную систему счисления c 2 знаками после запятой. 0,36*16=5+0,76; 0,76*16=12+0,16. Таким образом, 0,3610=0,5С16.
|
