Пермский государственный технический университет
Скачать 244.02 Kb.
|
Федеральное агентство по образованиюГосударственное образовательное учреждениевысшего профессионального образованияПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТКомбинаторикаи теория вероятностейТеория и индивидуальные задания
Пермь 2007 Элементы комбинаторики Комбинаторика - раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданного множества и расположения их в группы по заданным правилам, в частности задачи о подсчете числа комбинаций (выборок), получаемых из элементов заданного конечного множества. В каждой из них требуется подсчитать число возможных вариантов осуществления некоторого действия, ответить на вопрос «сколькими способами?». Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью следующих двух важных правил, называемых соответственно правилами умножения и сложения. Правило умножения (основной принцип): если из некоторого конечного множества первый объект (элемент  ) можно выбрать  способами и после каждого такого выбора второй объект (элемент  ) можно выбрать  способами, то оба объекта ( и ) в указанном порядке можно выбрать  способами. Этот принцип, очевидно, распространяется на случай трех и более объектов. Пример 1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2,3,4,5, если: а) цифры не повторяются? б) цифры могут повторятся? Решение. Имеется 5 различных способов выбора цифры для первого места (слева в трехзначном числе). После того как первое место занято, например, цифрой 2, осталось четыре цифры для заполнения второго места. Для заполнения третьего места остается выбор из трех цифр. Следовательно, согласно правилу умножения имеется 5 . 4 . 3 = 60 способов расстановки цифр, т. е. искомое количество трехзначных чисел есть 60. (Вот некоторые из этих чисел: 243, 541, 514, 132, ... ) Понятно, что если цифры могут повторяться, то трехзначных чисел 5 . 5 . 5 = 125. (Вот некоторые из них: 255, 333, 414, 111, ... ) Правило суммы. Если некоторый объект можно выбрать способами, а объект можно выбрать способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из указанных объектов ( или ), можно выбрать  способами. Это правило распространяется на любое конечное число объектов. Пример 2. В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать, для выполнения различных заданий, двух студентов одного пола? Решение. По правилу умножения двух девушек можно выбрать 14·13 = 182 способами, а двух юношей - 6·5 = 30 способами. Следует выбрать двух студентов одного пола: двух студенток или двух юношей. Согласно правилу сложения таких способов выбора будет 182 + 30 = 212 . Решение вероятностных (и не только их) задач часто облегчается, если использовать комбинаторные формулы. Каждая из них определяет число всевозможных исходов в некотором опыте (эксперименте), состоящем в выборе наудачу  элементов из  различных элементов рассматриваемого множества. Существуют две схемы выбора элементов  из исходного множества: без возвращения (без повторений) и с возвращением (с повторением). В первом случае выбранные элементы не возвращаются обратно; можно отобрать сразу все элементов или последовательно отбирать их по одному. Во второй схеме выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге. Мы рассмотрим только первую схему.Пусть дано множество, состоящее из различных элементов. Размещениями из элементов по элементов называются соединения, каждое из которых состоит из элементов, взятых из данных элементов. При этом размещения отличаются друг от друга как самими элементами, так и их порядком. Число размещений из элементов по элементов обозначается символом  и вычисляется по формуле  (1)или  , где  ,  . (2)Для составления размещения надо выбрать элементов из множества с элементами и упорядочить их, т. е. заполнить мест элементами множества. Первый элемент можно выбрать способами, т. е. на первое место можно поместить любой из элементов. После этого второй элемент можно выбрать из оставшихся  элементов способами. Для выбора третьего элемента имеется  способа, четвертого -  способа, и, наконец, для последнего -го элемента -  способов. Таким образом, по правилу умножения, существует  способов выбора элементов из данных элементов, т. е. . Пример 3. Составить различные размещения по 2 из элементов множества  ; подсчитать их число. Решение. Из трех элементов можно образовать следующие размещения по два элемента:  ,  ,  ,  ,  ,  . Согласно формуле (1) их число:  = 3·2 = 6 .Перестановками из элементов называются размещения из элементов по элементов, отличающиеся друг от друга лишь порядком элементов.Число перестановок из элементов обозначается символом  и вычисляется по формуле  . (3)Пример 4. Составить различные перестановки из элементов множества  ; подсчитать их число. Решение. Из элементов данного множества можно составить следующие перестановки: (2,7,8); (2,8,7); (7,2,8); (7,8,2); (8,2,7); (8,7,2). По формуле (3) имеем:  = 3! = 1·2·3 = 6 . Сочетаниями из элементов по элементов называются соединения, каждое из которых состоит из элементов, взятых из данных элементов. Эти соединения отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. В отличие от размещений, порядок следования элементов здесь не учитывается. Число сочетаний из элементов по элементов обозначается символом  и вычисляется по формуле . (4)С помощью сочетаний можно записать формулу бинома Ньютона:  .Числа  , являются биномиальными коэффициентами и для них выполняется следующее условие  . Пример 5. Составить различные сочетания по 2 из элементов множества ; подсчитать их число. Решение. Из трех элементов можно образовать следующие сочетания по два элемента: , , . Их число:  .Теория вероятностей Предмет теории вероятностей Предмет теории вероятностей - изучение вероятностных закономерностей, возникающих при рассмотрении массовых однотипных случайных событий. Событие - это любое явление, в отношении которого имеет смысл говорить, наступило оно или не наступило, в результате определенного комплекса условий или случайного эксперимента. Обозначаются события заглавными латинскими буквами  .Примерами случайного эксперимента являются подбрасывание монеты, извлечение одной карты из перетасованной колоды, подсчет числа автомобилей в очереди на бензоколонке в данный момент и т.д. Вероятностью  события  называется отношение числа  – элементарных исходов испытания, благоприятствующих наступлению события , к числу  – всех возможных элементарных исходов испытания. (5)Пример 6. Найти вероятность, что при бросании монеты выпадет герб. Решение. При бросании монеты имеются два равновозможных исхода: “выпадение герба” и “выпадение решки”  . Для события – “выпадение герба” благоприятен только один из них  . Значит, вероятность  .Вероятность любого события заключена между нулем и единицей.  (6)Можно выделить следующие виды случайных событий: Событие называется достоверным, если оно обязательно происходит при каждом осуществлении определенной совокупности условий. Например, если брошена игральная кость, то выпадение не менее одного и не более шести очков является достоверным событием. Вероятность достоверного события  равна единице:  . Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдет ни при одном осуществлении данной совокупности условий. Например, если брошена игральная кость, то выпадение больше шести очков является невозможным событием. Вероятность невозможного события  равна нулю:  .Событие называется случайным, если оно может произойти, а может и не произойти при осуществлении данной совокупности условий. Например, если брошена игральная кость, то выпадение любого из шести очков является случайным событием. События называются несовместными, если их одновременное появление при осуществлении комплекса условий невозможно, т.е. появление события в данном испытании исключает появление события в этом же испытании. Например, если из урны с черными и белыми шарами случайным образом извлекается шар ·черного цвета, то его появление исключает извлечение белого шара в этой же попытке. События называются единственно возможными, если появление в результате испытания одного и только одного из них является достоверным событием. Например, если стрелок произвел выстрел по цели, то обязательно произойдет одно из двух событий - попадание или промах. Эти события единственно возможные. События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другие. Например, появление герба и появление надписи при бросании монеты есть события равновозможные, потому что предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму, и наличие чеканки не влияет на выпадение той или иной стороны монеты. Если событие - какое-либо событие, то событие, состоящее в том, что событие не наступило, называется противоположным событию и обозначается как  . События, происходящие при реализации определенного комплекса условий или в результате случайного эксперимента, называются элементарными исходами. Считается, что при проведении случайного эксперимента реализуется только один из возможных элементарных исходов. |
Похожие:
 | Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский государственный... |  | Федеральное агентство по образованию пермский государственный технический университет |
| Практикум по курсу лекций «Документирование управленческой деятельности» для студентов первого курса дневного отделения | | Разработано учебно-методическим управлением и отделом мониторинга и контроля качества подготовки специалиста фгбоу впо «Пермский... |
| РФ, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Московский физико-технический институт (государственный университет),... | | РФ, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Московский физико-технический институт (государственный университет),... |
| Дм 212. 242. 12 по защите диссертаций на соискание учёной степени доктора культурологии при гоу впо «Саратовский государственный... | | Государственный Технический Университет Гражданской Авиации (мгту га) имеет честь сообщить, что приглашает юношей и девушек Вашей... |
| Настоящие Правила приема в государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования (гоу впо) «Дагестанский... | | «Дальневосточный государственный технический университет» (фгбоу впо «Дальрыбвтуз») (далее – Университет) и порядок выполнения студентами... |