Компьютерные информационные технологии курс лекций

Тема 1.5. Математическое обеспечение обработки экономической информации Моделирование Моделирование представляет собой один из основных методов познания, является формой отражения действительности и заключается в выяснении или воспроизведении тех или иных свойств реальных объектов, предметов и явлений с помощью других объектов, процессов, явлений, либо с помощью абстрактного описания в виде изображения, плана, карты, совокупности уравнений, алгоритмов и программ. Таким образом, в процессе моделирования всегда существует оригинал (объект) и модель, которая воспроизводит (моделирует, описывает, имитирует) некоторые черты объекта. Моделирование основано на наличии у многообразия естественных и искусственных систем, отличающихся как целевым назначением, так и физическим воплощением, сходства или подобия некоторых свойств: геометрических, структурных, функциональных, поведенческих. Приведем одну из возможных классификаций основных видов моделирования : концептуальное моделирование — представление системы с помощью специальных знаков, символов, операций над ними или с помощью естественных или искусственных языков, физическое моделирование — моделируемый объект или процесс воспроизводится исходя из соотношения подобия, вытекающего из схожести физических явлений; структурно - функциональное — моделями являются схемы (блок-схемы), графики, диаграммы, таблицы, рисунки со специальными правилами их объединения и преобразования; математическое (логико-математическое) моделирование —построение модели осуществляется средствами математики и логики; имитационное (программное) моделирование — при котором логико-математическая модель исследуемой системы представляет собой алгоритм функционирования системы, программно-реализуемый на компьютере. Указанные виды моделирования могут применяться самостоятельно или одновременно, в некоторой комбинации. Про­фессиональный менеджер в процессе принятия управленческих решений должен выделить те ситуации, которые можно с большей или меньшей точностью описать математически, т.е. для которых можно построить соответствующие модели, и, конечно, должен уметь извлечь из этих мо­делей необходимую дня принятия решений информацию. Непосредственное использование моделей для поддержки принятия решений не только повысило эффективность управленче­ских решений, но и позволило самим менеджерам глубже вникнуть в суть решаемых про­блем. Участие в процессе моделирования позволяет менеджеру сосредоточиться на ос­новной проблеме принятия решения — определить, на какие основные вопросы нужно от­ветить, какие альтернативы исследовать и на что обратить особое внимание. Существует достаточно большое число определений понятия “модель”. Приведем некоторые из них: Модель представляет собой абстрактное описание системы (объекта, процесса, проблемы, понятия) в некоторой форме, отличной от формы их реального существования. Модель в общем смысле (обобщенная модель) есть создаваемый с целью получения и (или) хранения информации специфический объект (в форме мысленного образа, описания знаковыми средствами либо материальной системы), отражающий свойства, характеристики и связи объекта-оригинала произвольной природы, существенные для задачи, решаемой субъектом. Для принятия решений наиболее полезны модели, которые выражаются словами или формулами, алгоритмами и иными математическими средствами. В процессе исследования современных сложных систем можно выделить различные классы моделей. В основе этих систем лежат модели различных типов: семантические, логические, математические и т.п. Математические модели при принятии решений. Анализ различного вида моделей показал, что при принятии решений в менеджменте производственных систем чаще всего используются используются: модели технологических процессов (прежде всего модели контроля и управления); модели обеспечения качества продукции (в частности, модели оценки и контроля надежности); модели массового обслуживания; модели управления запасами (модели логистики); имитационные и эконометрические модели деятельности предприятия в целом, и др. В процессе подготовки и принятия решений часто используют имитационные модели и системы. Имитационная модель позволяет отвечать на вопрос: "Что будет, если…" Имитационная система - это совокупность моделей, имитирующих протекание изучаемого процесса, объединенная со специальной системой вспомогательных программ и информационной базой, позволяющих достаточно просто и оперативно реализовать вариантные расчеты. Основные термины математического моделирования. В качестве основных терминов, относящихся к разделу математического моделирования, можно предложить: - компоненты системы - части системы, которые могут быть вычленены из нее и рассмотрены отдельно; - независимые переменные – они могут изменяться, но это внешние величины, не зависящие от проходящих в системе процессов; - зависимые переменные - значения этих переменных есть результат (функция) воздействия на систему независимых внешних переменных; - управляемые (управляющие) переменные - те, значения которых могут изменяться исследователем; - внутренние переменные – их значения определяются в ходе деятельности компонент системы (т.е. “внутри” системы); - внешние переменные - определяются либо исследователем, либо извне, т.е. в любом случае действуют на систему извне. При построении любой модели процесса управления желательно придерживаться следующего плана действий: Сформулировать цели изучения системы; Выбрать те факторы, компоненты и переменные, которые являются наиболее существенными для данной задачи; Учесть тем или иным способом посторонние, не включенные в модель факторы; Осуществить оценку результатов, проверку модели, оценку полноты модели. Для моделирования ситуации вначале нужно представить ее структурированным об­разом, т.е. необходимо выработать некий способ, который позволит привести ситуацию в упорядоченный вид. Постановка проблемы включает в себя воз­можные решения и метод измерения их эффективности. Структурирование — это навык переходить от признака к четкой по­становке проблемы. При количественном моделировании бизнес-среды необходимо описывать взаимо­действия многих переменных. Для этого нужно сформулировать математическую модель. В реальном мире обычно не существует единственно верного способа построения модели. Различные мо­дели могут дать различные представления об одной и той же ситуации. Математическое моделирование процессов управления Математическое моделирование экономических явлений и процессов с целью оптимизации процессов управления - область научно-практической деятельности, получившая мощный стимул к развитию во время и сразу после второй мировой войны. Эта тематика развивалась в рамках интеллектуального движения, связанного с терминами "кибернетика", "исследование операций", а позже - "системный анализ", "информатика". Особое место занимают имитационные системы, позволяющие отвечать на вопросы типа: "Что будет, если...?" Любая модель, в принципе, имитационная, ибо она имитирует реальность. Основа имитации - это математическая модель. Имитационная система - это совокупность моделей, имитирующих протекание изучаемого процесса, объединенная со специальной системой вспомогательных программ и информационной базой, позволяющих достаточно просто и оперативно реализовать вариантные расчеты. Таким образом, под имитацией понимается численный метод проведения машинных экспериментов с математическими моделями, описывающими поведение сложных систем в течение продолжительных периодов времени, при этом имитационный эксперимент, как правило, состоит из следующих этапов: формулировка задачи, построение математической модели, составление программы для ЭВМ, оценка пригодности модели, планирование эксперимента, обработка результатов эксперимента. Имитационное моделирование (simulation modelling) широко применяется в различных областях, в том числе в экономике. Экономико-математические методы управления можно разделить на несколько групп: - методы оптимизации, - методы, учитывающие неопределенность, прежде всего вероятностно-статистические, - методы построения и анализа имитационных моделей, - методы анализа конфликтных ситуаций (теории игр). О методологии моделирования Процесс моделирования, в том числе и экономико-мате­матического, включает в себя три структурных элемента: объект исследования; субъект (исследователь); модель, опосредующую отношения между познающим субъектом и по­знаваемым объектом. Рассмотрим общую схему процесса моделирования, состоящую из четырех этапов. Первый этап: конструируется (или находится в реальном мире) дру­гой объект — модель исходного объекта-оригинала. Этап построения модели предполагает наличие определенных све­дений об объекте-оригинале. Познавательные возможности модели определяются тем, что модель отображает лишь не­которые существенные черты исходного объекта, поэтому любая модель замещает оригинал в строго ограниченном смысле. Из этого следует, что для одного объекта может быть построено несколько моделей, отражающих определен­ные стороны исследуемого объекта или характеризующих его с разной степенью детализации. Второй этап: модель выступает как самостоятельный объект исследования. На­пример, одну из форм такого исследования составляет про­ведение модельных экспериментов, при которых целена­правленно изменяются условия функционирования модели и систематизируются данные о ее “поведении”. Конечным результатом этого этапа является совокупность знаний о модели в отношении существенных сторон объекта-оригинала, которые отражены в данной модели. Третий этап: перенос знаний с мо­дели на оригинал, в результате чего формируется множество знаний об исходном объекте. При этом происходит переход с языка модели на язык оригинала. С достаточным основани­ем переносить какой-либо результат с модели на оригинал можно лишь в том случае, если этот результат соответствует признакам сходства оригинала и модели (другими словами, признакам адекватности). Четвертый этап: практиче­ская проверка полученных с помощью модели знаний и их использование как для построения обобщающей теории реального объекта, так и для его целенаправленного преоб­разования или управления им. Моделирование представляет собой циклический про­цесс, т. е. за первым четырехэтапным циклом может после­довать второй, третий и т. д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а первоначально постро­енная модель постепенно совершенствуется. Рассмотрим более подробно процесс моделирования управленческих решений в менеджменте и экономики. Этапы моделирования Анализ различных литературных источников позволил выделить следующие этапы моделирования: постановка управленческой (экономиче­ской) проблемы, ее качественный анализ; построение мате­матической модели; математический анализ модели; подго­товка исходной информации; численное решение; анализ численных результатов и их применение. Кратко охарактеризуем каждый из этапов. Постановка экономической проблемы и ее качествен­ный анализ. На этом этапе требуется сформулировать сущность проблемы, принимаемые предпосылки и допу­щения. Необходимо выделить важнейшие черты и свой­ства моделируемого объекта, изучить его структуру и взаимосвязь его элементов, хотя бы предварительно сформулировать гипотезы, объясняющие поведение и развитие объекта. Построение математической модели. Это этап формали­зации экономической проблемы, т. е. выражения ее в виде конкретных математических зависимостей (функ­ций, уравнений, неравенств и др.). Для некоторых сложных объектов целесообразно строить несколько разноаспектных моделей; при этом каждая модель выделяет лишь некоторые стороны объекта, а другие стороны учитыва­ются укрупненно и приближенно. Математический анализ модели. На этом этапе чисто математическими приемами исследования выявляются общие свойства модели и ее решений. В частности, важным моментом является доказательство существования решения сформулированной задачи. При аналитическом исследовании выясняется, единственно ли решение, ка­кие переменные могут входить в решение, в каких пре­делах они изменяются, каковы тенденции их изменения и т. д. Однако модели сложных экономических объек­тов с большим трудом поддаются аналитическому ис­следованию; в таких случаях используют численные методы исследования. Подготовка, исходной информации. В экономических задачах это, как правило, наиболее трудоемкий этап мо­делирования. Математическое моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации; при этом надо принимать во внимание не только принципиаль­ную возможность подготовки информации требуемого качества, но и затраты на подготовку информационных массивов. В процессе подготовки информации использу­ются методы теории вероятностей, теоретической и ма­тематической статистики для организации выборочных обследований, оценки достоверности данных и т.д. Численное решение. Этот этап включает разработку ал­горитмов численного решения задачи, подготовку про­грамм на ЭВМ, определение необходимых пакетов прикладных программ и непосредственное проведение расчетов. При этом значительные трудности вызываются большой размерностью экономических задач. Обычно расчеты на основе экономико-математической модели носят много­вариантный характер. Многочисленные модельные эксперименты, изучение поведения модели при различных условиях возможно проводить благодаря высокому бы­стродействию современных ЭВМ. Численное решение существенно дополняет результаты аналитического ис­следования, а для многих моделей является единствен­но возможным. Анализ численных результатов и их применение. На этом этапе прежде всего решается важнейший вопрос о правильности и полноте результатов моделирования и применимости их как в практической деятельности, так и в целях усовершенствования модели. Поэтому в первую очередь должна быть проведена проверка адек­ватности модели по тем свойствам, которые выбраны в качестве существенных. Перечисленные этапы моде­лирования находятся в тесной взаимосвязи, в частности, мо­гут иметь место возвратные связи этапов. Так, на этапе по­строения модели может выясниться, что постановка задачи или противоречива, или приводит к слишком сложной ма­тематической модели; в этом случае исходная постановка задачи должна быть скорректирована. Наиболее часто необ­ходимость возврата к предшествующим этапам моделирова­ния возникает на этапе подготовки исходной информации. Если необходимая информация отсутствует или затраты на ее подготовку слишком велики, приходится возвращаться к этапам постановки задачи и ее формализации, чтобы при­способиться к доступной исследователю информации. Недостатки, которые не удается исправить на тех или иных этапах моделирования, устраняются в по­следующих циклах. Однако результаты каждого цикла име­ют и вполне самостоятельное значение. Начав исследование с построения простой модели, можно получить полезные ре­зультаты, а затем перейти к созданию более сложной и более совершенной модели, включающей в себя новые условия и более точные математические зависимости. Методы оптимизации В настоящее время экономист, менеджер может использовать при принятии решения различные компьютерные и математические средства. В памяти компьютеров может содержаться масса информации, организованная с помощью баз данных и других программных продуктов, позволяющих оперативно ею пользоваться. Экономико-математические и эконометрические модели позволяют просчитывать последствия тех или иных решений, прогнозировать развитие событий. Сформулируем основные понятия, используемые в задачах оптимизации: Управляемые переменные x1, x2,…, xn – переменные, значения которых можно выбирать в определенных допустимых пределах; ЛПР (лицо принимающее решение) – человек или группа людей, которые занимаются анализом и выбором значений управляемых переменных, обеспечивающих оптимальное решение; Эффективное решение – набор значений управляемых переменных, который по некоторым соображениям ЛПР считает наиболее предпочтительными среди всех возможных решений; Целевая функция задачи оптимизации – количественная мера оптимальности процесса; Ограничения задачи оптимизации – совокупность условий (равенств, неравенств и т.п.), связывающих характеристики процесса и ограничивающих область изменения управляемых переменных; Неуправляемые параметры – неизменяемые параметры процесса, значения которых известны; Случайные факторы – факторы процесса, для которых ввиду их случайности неизвестны точные значения, но известен закон распределения вероятностей этих значений; Неопределенные факторы – это факторы процесса, значения которых неизвестны; Математическая модель оптимизации процесса – целевая функция и совокупность ограничений, зависящие от значений управляемых переменных, неуправляемых параметров, случайных и неопределенных факторов; Допустимое решение – набор значений управляемых переменных, который удовлетворяет одновременно всем ограничениям задачи оптимизации; Оптимальное решение - набор значений управляемых переменных, который не только удовлетворяет одновременно всем ограничениям задачи оптимизации, но и дает экстремальное значение целевой функции. В зависимости от вида целевой функции, ограничений и присутствия случайных и неопределенных факторов оптимизационные модели можно в общем случае разделить на следующие классы: задачи математического программирования; задачи параметрического программирования; задачи стохастического программирования; оптимизационные задачи массового облуживания; задачи статистических игр. Можно выделить несколько основных типов оптимизационных задач: задачи управления запасами; задачи распределения ресурсов; задачи ремонта и замены оборудования; сетевые оптимизационные задачи; задачи составления оптимальных расписаний; задачи оптимизации систем обслуживания; комбинированные задачи, объединяющие в себе черты задач разных типов. Наиболее часто используются оптимизационные модели принятия решений. Их общий вид таков: F (X) → max (min) X Є A Здесь Х - параметр, который менеджер может выбирать (управляющий параметр). Он может иметь различную природу - число, вектор, множество и т.п. Цель менеджера - максимизировать (минимизировать) целевую функцию F (X), выбрав соответствующий Х. При этом он должен учитывать ограничения X Є A на возможные значения управляющего параметра Х - он должен лежать в множестве А. Приведем основные виды оптимизационных задач менеджмента. Линейное программирование (ЛП) Среди оптимизационных задач менеджмента наиболее известны задачи линейного программирования, в которых максимизируемая (минимизируемая) функция F(X) является линейной, а ограничения А задаются линейными неравенствами. Линейное программирование как научно-практическая дисциплина. Из всех задач оптимизации задачи линейного программирования выделяются тем, что в них ограничения - системы линейных неравенств или равенств. Ограничения задают выпуклые линейные многогранники в конечном линейном пространстве. Целевые функции также линейны. То есть: показатель оптимальности L(X) представляет собой линейную функцию от элементов решения ; ограничительные условия, налагаемые на возможные решения, имеют вид линейных равенств или неравенств. Общая форма записи модели задачи ЛП Целевая функция (ЦФ) , при ограничениях Допустимое решение – это совокупность чисел (план) , удовлетворяющих ограничениям задачи. Оптимальное решение – это план, при котором целевая функция (ЦФ) принимает свое максимальное (минимальное) значение. Методы решения задач линейного программирования. Методы решения задач линейного программирования относятся к вычислительной математике, а не к экономике и менеджменту. Однако инженеру, менеджеру и экономисту необходимо знать о свойствах программного продукта, с которым он работает. С ростом мощности компьютеров необходимость применения сложных математических методов снижается, поскольку во многих случаях время счета перестает быть лимитирующим фактором. Приведем пример некоторых из методов отыскания оптимума. Простой перебор. Берется некоторый многомерный параллелепипед, в котором лежит многогранник, задаваемый ограничениями. Затем выполняется перебор точек параллелепипеда с заданным шагом, вычисляя значения целевой функции и проверяя выполнение ограничений. Из всех точек, удовлетворяющих ограничениям, возьмем ту, в которой целевая функция максимальна. Направленный перебор. Берется точка, удовлетворяющая ограничениям. Затем последовательно или случайно меняем ее координаты на определенную величину, каждый раз в точке с более высоким значением целевой функции (если разыскивается максимум целевой функции). Вначале движение осуществляется по плоскости ограничений, затем по ребру ограничений и наконец отыскание вершины, где находится оптимум. Симплекс-метод. Этот один из первых специализированных методов оптимизации, нацеленный на решение задач линейного программирования, в то время как методы простого и направленного перебора могут быть применены для решения практически любой задачи оптимизации. Основная его идея состоит в продвижении по выпуклому многограннику ограничений от вершины к вершине, при котором на каждом шаге значение целевой функции улучшается до тех пор, пока не будет достигнут оптимум. Сформулируем некоторые типы задач, сводящихся к задачам линейного программирования. Транспортная задача. Имеются склады, запасы на которых известны. Известны потребители и объемы их потребностей. Необходимо доставить товар со складов потребителям. Можно по-разному организовать “прикрепление” потребителей к складам, т.е. установить, с какого склада какому потребителю и сколько вести. Кроме того, известна стоимость доставки единицы товара с определенного склада определенному потребителю. Требуется минимизировать издержки по перевозке. ; Целевая функция (ЦФ) представляет собой общие транспортные расходы на осуществление всех перевозок в целом. Первая группа ограничений указывает, что запас продукции в любом пункте отправления должен быть равен суммарному объему перевозок продукции из этого пункта. Вторая группа ограничений указывает, что суммарные перевозки продукции в некоторый пункт потребления должны полностью удовлетворить спрос на продукцию в этом пункте. Наглядной формой представления модели транспортной задачи (ТЗ) является транспортная матрица. Общий вид транспортной матрицы Пункты отправления, Пункты потребления, Запасы, ед. продукции … , [руб./ед. прод.] … … … … … … … … … Потребность ед. продукции … Сумма запасов продукции во всех пунктах отправления должна равняться суммарной потребности во всех пунктах потребления, т.е. . Если условие выполняется, то ТЗ называется сбалансированной (закрытой), в противном случае – несбалансированной (открытой). В случае, когда суммарные запасы превышают суммарные потребности, необходим дополнительный фиктивный (реально не существующий) пункт потребления, который будет формально потреблять существующий излишек запасов, т.е. . Если суммарные потребности превышают суммарные запасы, то необходим дополнительный фиктивный пункт отправления, формально восполняющий существующий недостаток продукции в пунктах отправления: . Для фиктивных перевозок вводятся фиктивные тарифы , величина которых обычно приравнивается к нулю . Но в некоторых ситуациях величину фиктивного тарифа можно интерпретировать как штраф, которым облагается каждая единица недопоставленной продукции. В этом случае величина может быть любым положительным числом. Задача о назначениях – частный случай ТЗ. В задаче о назначениях количество пунктов отправления равно количеству пунктов назначения. Объемы потребности и предложения в каждом из пунктов назначения и отправления равны 1. Примером типичной задачи о назначениях является распределение работников по различным видам работ, минимизирующее суммарное время выполнения работ. Переменные задачи о назначениях определяются следующим образом Количество переменных и ограничений в транспортной задаче таково, что для ее решения не обойтись без компьютера и соответствующего программного продукта. Общая распределительная задача ЛП Общая распределительная задача ЛП – это распределительная задача (РЗ), в которой работы и ресурсы (исполнители) выражаются в различных единицах измерения. Типичным примером такой задачи является организация выпуска разнородной продукции на оборудовании различных типов. Исходные параметры модели РЗ n – количество исполнителей; m – количество видов выполняемых работ;  – запас рабочего ресурса исполнителя () [ед.ресурса];  – план по выполнению работы () [ед. работ];  – стоимость выполнения работы исполнителем [руб./ед. работ];  – интенсивность выполнения работы исполнителем [ед. работ/ед.ресурса].  – планируемая загрузка исполнителя при выполнении работ [ед. ресурса];  – количество работ , которые должен будет произвести исполнитель [ед. работ];  – общие расходы на выполнение всего запланированного объема работ [руб.]. Этапы построения модели Определение переменных. Построение распределительной матрицы Задание целевой функции (ЦФ) Задание ограничений. Общий вид распределительной матрицы Исполнители, Работы, Запас ресурса, ед.ресурса … … … … … … … … … … План, ед.работы … Модель РЗ ; где  – это количество работ j-го вида, выполненных i-м исполнителем. Целочисленное программирование Задачи оптимизации, в которых переменные принимают целочисленные значения, относятся к целочисленному программированию. Обозначим некоторые из таких задач. Задача о выборе оборудования. Задача отличается от задачи линейного программирования только условием целочисленности, поскольку численность оборудования не может выражаться дробным числом. Задача о ранце. Общий вес ранца заранее ограничен. Какие предметы положить в ранец, чтобы общая полезность отобранных предметов была максимальна? Вес каждого предмета известен. С точки зрения экономики предприятия и организации производства более актуальна интерпретация задачи о ранце, в которой в качестве “предметов” рассматриваются заказы (или варианты выпуска партий тех или иных товаров), в качестве полезности – прибыль от выполнения того или иного заказа, а в качестве веса – себестоимость заказа. В отличие от предыдущих задач, управляющие параметры принимают значения из множества, содержащего два элемента - 0 и 1(то есть заказ принят или нет). К целочисленному программированию относятся задачи размещения (производственных объектов), теории расписаний, календарного и оперативного планирования, назначения персонала и т.д. В качестве наиболее распространенных методов решения задач целочисленного программирования можно назвать: метод приближения непрерывными задачами и метод направленного перебора. Модели сетевого планирования и управления Сетевой моделью (другие названия: сетевой график, сеть) называется экономико-математическая модель, отражающая комплекс работ (операций) и событий, связанных с реализа­цией некоторого проекта (научно-исследовательского, про­изводственного и др.), в их логической и технологической последовательности и связи. Анализ сетевой модели, пред­ставленной в графической или табличной (матричной) форме, позволяет, во-первых, более четко выявить взаимосвязи этапов реализации проекта и, во-вторых, определить наиболее опти­мальный порядок выполнения этих этапов в целях, например, сокращения сроков выполнения всего комплекса работ. Таким образом, методы сетевого моделирования относятся к методам принятия оптимальных решений, что оправдывает рассмот­рение этого типа моделей в данной главе. Математический аппарат сетевых моделей базируется на теории графов. Графом называется совокупность двух ко­нечных множеств: множества точек, которые называются вершинами, и множества пар вершин, которые называются ребрами. Если рассматриваемые пары вершин являются упорядоченными, т. е. на каждом ребре задается направле­ние, то граф называется ориентированным; в противном случае — неориентированным. Последовательность неповто­ряющихся ребер, ведущая от некоторой вершины к другой, образует путь. Граф называется связным, если для любых двух его вершин существует путь, их соединяющий; в про­тивном случае граф называется несвязным. В экономике чаще всего используются два вида графов: дерево и сеть. Дерево представляет собой связный граф без циклов, имею­щий исходную вершину (корень) и крайние вершины; пути от исходной вершины к крайним вершинам называются ветвями. Сеть — это ориентированный конечный связный граф, имеющий начальную вершину (источник) и конечную вершину (сток). Таким образом, сетевая модель представляет собой граф вида «сеть». В экономических исследованиях сетевые модели возни­кают при моделировании экономических процессов методами сетевого планирования и управления (СПУ). Объектом управления в системах сетевого планирования и управления являются коллективы исполнителей, распола­гающих определенными ресурсами и выполняющих опреде­ленный комплекс операций, который призван обеспечить достижение намеченной цели, например, разработку нового изделия, строительства объекта и т.п. Основой СПУ является сетевая модель (СМ), в которой моделируется совокупность взаимосвязанных работ и событий, отображающих процесс достижения определенной цели. Она может быть представлена в виде графика или таблицы. Пример сетевого графика приведен ниже. Ориентированный граф был бы полезен, например, для иллюстрации организации перевозок в транспортной задаче. В экономике дугам ориентированного или обычного графа часто приписывают числа, например, стоимость проезда или перевозки груза из пункта А (начальная вершина дуги) в пункт Б (конечная вершина дуги). Некоторые, наиболее типичные задачи принятия решений, связанных с оптимизацией на графах. Задача коммивояжера. Задача коммивояжера. Требуется посетить все вершины графа и вернуться в исходную вершину, минимизировав затраты на проезд (или минимизировав время). Исходные данные - это граф, дугам которого приписаны положительные числа - затраты на проезд или время, необходимое для продвижения из одной вершины в другую. В общем случае граф является ориентированным, и каждые две вершины соединяют две дуги - туда и обратно. Действительно, если пункт А расположен на горе, а пункт Б - в низине, то время на проезд из А в Б, очевидно, меньше времени на обратный проезд из Б в А. Многие постановки экономического содержания сводятся к задаче коммивояжера. Например: - составить наиболее выгодный маршрут обхода наладчика в цехе (контролера, охранника, милиционера), отвечающего за должное функционирование заданного множества объектов (каждый из этих объектов моделируется вершиной графа); - составить наиболее выгодный маршрут доставки деталей рабочим или хлеба с хлебозавода по заданному числу булочных и других торговых точек (парковка у хлебозавода). Задача о кратчайшем пути Задача о кратчайшем пути. Как кратчайшим путем попасть из одной вершины графа в другую? В терминах производственного менеджмента: как кратчайшим путем (и, следовательно, с наименьшим расходом топлива и времени, наиболее дешево) попасть из пункта А в пункт Б? Для решения этой задачи каждой дуге ориентированного графа должно быть сопоставлено число - время движения по этой дуге от начальной вершины до конечной. Оптимизационные задачи на графах, возникающие при подготовке управленческих решений в производственном менеджменте, весьма многообразны. Задача о максимальном потоке Задача о максимальном потоке. Как (т.е. по каким маршрутам) послать максимально возможное количество грузов из начального пункта в конечный пункт, если пропускная способность путей между пунктами ограничена? Для решения этой задачи каждой дуге ориентированного графа, соответствующего транспортной системе, должно быть сопоставлено число - пропускная способность этой дуги. О многообразии оптимизационных задач. В различных проблемах принятия решений возникают самые разнообразные задачи оптимизации. Для их решения применяются те или иные методы, точные или приближенные. Задачи оптимизации часто используются в теоретико-экономических исследованиях. Например, задачи определения оптимального объема выпуска по функции издержек при фиксированной цене или минимизации издержек при заданном объеме выпуска путем выбора оптимального соотношения факторов производства. Конкретные виды задач оптимизации и методы их решения рассматриваются в соответствующей литературе.

Похожие:

	Прикладные информационные (компьютерные) технологии Нанотехнологии и молекулярные компьютеры / Н. Г. Рамбиди. М. Физматлит, 2007. 256 с. Isbn 978-5-9221-0869-0 : 60 р		Конспект лекций по дисциплине системы обработки экономической информации... Понятие информационная потребность тесно связано с понятием цели и функции управления. Можно сказать, что потребность в информации...
	Методическое пособие по дисциплине «Компьютерные технологии в сельскохозяйственной... «Компьютерные технологии в сельскохозяйственной науке и образовании» для студентов специальности 110400 «Зоотехния»		Г. Р. Юнусова компьютерные технологии в инновационной и педагогической деятельности Ахмедова А. М., Юнусова Г. Р. Компьютерные технологии в инновационной и педагогической деятельности. Учебно-методическое пособие....
	Разработка электронного документа в субд access методические указания к лабораторным работам Методические указания предназначены для студентов экономических и других специальностей, изучающих дисциплины «Информационные системы»,...		Конспект лекций по дисциплине «информационные системы и технологии в учете и аудите» Го впо «донецкий национальный университет экономики и торговли имени михаила туган-барановского»
	080505 «Управление персоналом» Информационные технологии управления персоналом очная Арм, классификация и принципы построения; арм кадровой службы; вычислительные сети, нейросетевые технологии и средства мультимедиа;...		Общая химия Курс лекций Севастьянова Г. К., Карнаухова Т. М. Общая химия: Курс лекций. – Тюмень: Тюмгнгу, 2005. – 210 с
	Лабораторная работа № форматирование Настоящее пособие предназначено для студентов Государственного института управления и социальных технологий бгу и ориентировано на...		Курс лекций по теме свайные работы Курс лекций по теме «Свайные работы», является частью программы подготовки специалистов среднего звена бпоу оо «окотсиТ» по специальности...