САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
№
|
Тема занятия
|
Краткое содержание
|
Кол-во часов
|
О
|
З
|
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
|
1
|
МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ
|
Основные матричные операции: сложение матриц, умножение матриц, умножение матриц на число. Транспонирование. Ортогональные матрицы. Вычисление степени матрицы. Некоторые специальные матрицы.
|
|
16
|
2
|
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВОЙСТВА
|
Определители и их свойства Вычисление определителей. Решение системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера.
|
|
16
|
3
|
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. РАНГ МАТРИЦЫ
|
Вычисление обратной матрицы. Ранг матрицы, его свойства. Алгоритм вычисления ранга матрицы. Линейная комбинация строк матрицы. Связь ранга матрицы с линейной независимостью ее строк. Базисные строки матрицы
|
|
16
|
4
|
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ) МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ
|
Системы линейных алгебраических уравнений. Матричная форма записи линейных систем. Решение матричных уравнений. Решение линейной системы методом Гаусса. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом простых итераций. Общая теория линейных систем.
|
|
26
|
5
|
ОДНОРОДНЫЕ СЛАУ. НЕОДНОРОДНЫЕ СЛАУ
|
Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений.
|
|
16
|
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
|
6
|
УРАВНЕНИЕ НА ПЛОСКОСТИ
|
Линии на плоскости. Различные виды уравнений прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых. Расстояние от точки до прямой.
|
|
16
|
7
|
ПРЯМАЯ В ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВЕ
|
Понятие об уравнении линии и прямой в пространстве. Общее уравнение плоскости. Нормальный вектор плоскости. Каноническое уравнение прямой в пространстве. Общее уравнение прямой в пространстве. Выпуклые множества, их свойства.
|
|
16
|
8
|
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
|
Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Определение, вывод уравнений, исследование формы. Эти кривые как конические сечения.
|
|
16
|
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
|
9
|
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
|
Понятие алгебраической структуры. Группа. Кольцо. Область целостности.
|
|
6
|
10
|
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
|
Конечномерные векторные пространства. Понятие нормы.
|
|
16
|
11
|
ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
|
Понятие линейного (векторного) пространства. Базис и размерность пространства. Координаты вектора в базисе. Евклидовы пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Линейные операторы и их матрицы. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.
|
|
16
|
12
|
МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
|
Понятие кривой. Касательная к кривой. Нормальная плоскость. Соприкасающаяся плоскость. Спрямляющая плоскость. Главная нормаль. Бинормаль. Длина дуги кривой. Естественная параметризация. Кривизна кривой. Кручение кривой. Понятие поверхности. Касательная плоскость и нормаль поверхности. Первая квадратичная форма поверхности. Длина дуги кривой на поверхности. Угол между кривыми на поверхности. Площадь поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизна кривой на поверхности.
|
|
16
|
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА: ЛОГИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ , ГРАФЫ, КОМБИНАТОРИКА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ. НЕЧЕТКИЕ АЛГОРИТМЫ. ТЕОРИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
|
13
|
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
|
Множества. Универсальное множество. Операции дополнения, пересечения и объединения над множествами и их свойства.
|
|
6
|
14
|
ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ
|
Элементы алгебры логики высказываний. Алгебра высказываний. Операции над высказываниями. Формулы. Таблица истинности формулы.
|
|
6
|
15
|
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
|
Число перестановок из n элементов. Число размещений из n элементов по m. Число сочетаний из n элементов по m. Примеры применения. Бином Ньютона.
|
|
6
|
16
|
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ.
. НЕЧЕТКИЕ АЛГОРИТМЫ. ТЕОРИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ.
|
Введение в теорию нечетких множеств и нечеткой логики. Анализ неопределенности, основанный на понятиях нечетких множеств. Теория нечетких множеств как теория неопределенности и задачи принятия решений в нечетком эксперименте.
|
|
6
|
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ, ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ
|
17
|
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Дифференциальное и интегральное исчисление. Экстремумы функций.
|
Функция. Функции: основные понятия и определения. Способы задания и свойства функции. Непрерывность функции. Точки разрыва. Предел функции. Свойства пределов. Замечательные пределы. Предел функции. Свойства пределов. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Непрерывность функции. Свойства непрерывных функций. Производная функции. Геометрический и физический смысл производной. Производные первого порядка. Приложения дифференциального исчисления ФОП. Правила и формулы дифференцирования. Основные теоремы дифференциального исчисления. Исследование функции и построение графика. Дифференциал функции и его приложение к приближенному вычислению значения функции. Экстремум функций одной переменной. Основные методы интегрирования. Неопределенный интеграл. Методы вычисления. Неопределенный интеграл. Методы вычисления. Определенный интеграл и его приложения.
|
|
26
|
18
|
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
|
Функции нескольких переменных (ФНП). Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление ФНП. Производная и дифференциал функции нескольких переменных. Экстремум функции нескольких переменных. Достаточные условия экстремума функции двух переменных.
|
|
16
|
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
|
19
|
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
|
Типы дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения высших порядков. Линейные дифференциальные уравнения 2 порядка.
|
|
16
|
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
|
20
|
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
|
Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Числовые ряды. Сходимость числовых рядов. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда. Ряды Тейлора (Маклорена).
|
|
8
|
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
|
21
|
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
|
Численные методы анализа. Численные методы решения дифференциальных уравнений. Численное дифференцирование и интегрирование. Интерполирование функций: интерполяционный многочлен Лагранжа.
|
|
8
|
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ЭЛЕМЕНТЫТЕОРИИ ПОЛЯ
|
22
|
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
|
Сущность математической теории скалярных и векторных полей, ее основные понятия и определения. Характерные черты и отличительные признаки скалярных и векторных полей.
|
|
6
|
|
|
ВСЕГО:
|
|
296
|
ТЕМЫ УЧЕБНЫХ ПРОЕКТОВ
Вся математика в среде популярных математических пакетов
Природа математических абстракций
Содержание и значение математической символики
Счётные множества
Системы уравнений межотраслевого баланса
Отношение сознания к материи: математика и объективная реальность
Поверхности второго порядка
Замечательные кривые в математике
Моделирование экономических систем
Математические модели и методы их расчета
История становления и развития математического моделирования
Математическое моделирование как философская проблема
Об основаниях теории множеств
Математика и проблема адекватного описания реальности
Математика и математическое образование в современном мире
Аксиоматические основы математики
ТРЕБОВАНИЯ К ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ
Форма итоговой аттестации: экзамен
Вопросы к экзамену.
Множества: основные понятия. Операции над множествами и их свойства.
Высказывания. Операции над высказываниями. Формулы. Таблица истинности формулы.
Основные правила и формулы комбинаторики.
Матрицы: основные понятия, некоторые специальные матрицы. Основные матричные операции: сложение матриц, умножение матриц, умножение матриц на число. Транспонирование.
Определители и их свойства Вычисление определителей.
Обратная матрица. Ранг матрицы.
Системы линейных алгебраических уравнений. Матричная форма записи линейных систем. Решение матричных уравнений.
Основные методы решения системы линейных алгебраических уравнений.
Однородные системы линейных алгебраических уравнений.
Прямая линия на плоскости: различные способы задания и виды уравнения.
Взаимное расположение прямых.
Расстояние от точки до прямой.
Прямая и плоскость в пространстве: различные виды уравнения.
Кривые второго порядка: уравнения, свойства.
Понятие алгебраической структуры.
Понятие линейного (векторного) пространства. Базис и размерность пространства. Координаты вектора в базисе. Евклидовы пространства.
Линейные операторы и их матрицы. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.
Понятия кривой и поверхности.
Понятие функции. Способы задания и свойства функции.
Непрерывность функции. Свойства непрерывных функций. Точки разрыва.
Предел функции. Свойства пределов. Замечательные пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие величины.
Производная функции. Геометрический и физический смысл производной. Производные первого порядка. Приложения дифференциального исчисления ФОП.
Правила и формулы дифференцирования.
Основные теоремы дифференциального исчисления.
Исследование функции и построение графика.
Дифференциал функции и его приложение к приближенному вычислению значения функции.
Неопределенный интеграл. Методы вычисления.
Определенный интеграл и его приложения.
Функции нескольких переменных (ФНП). Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
Производная и дифференциал функции нескольких переменных.
Типы дифференциальных уравнений и методы их решения.
Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.
Числовые ряды. Сходимость числовых рядов.
Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда. Ряды Тейлора (Маклорена).
Основные понятия математической теории скалярных и векторных полей
Тестовые задания.
Если все элементы множества А входят в множество В, то А называется _______ множества В
Подмножеством 2) Дополнением 3) Частью 4) Элементом
Совпадают ли множества{1,2,3} и {3,1,2}?
а) Да б) Нет
Пусть множество содержит 8 различных элементов. Количество различных подмножеств данного множества равно _______
9 2) 8 3) 0 4) 7
Совпадают ли множества {а,б} и {а,а,б}?
а) Да б) Нет
Пусть А и В – произвольные множества, тогда суммой или _______ множеств А и В называют множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы
одному из множеств А и В
Объединением; 2) Пересечением 3) Разностью 4) дополнением
6. Операция объединение множеств определяется как
а) { x ¦ xA xB }б) { x ¦ xA xB }в) { x ¦ xA xB }г) { x ¦ (xA xB)
Операция пересечение множеств определяется как
а) { x ¦ xA xB }б) { x ¦ xA xB }в) { x ¦ xA xB }г) { x ¦ (xA xB)
Для наглядного изображения соотношений между множествами используют так
называемые
а) ГОСТы 19.701-90 б) диаграммы Орра в) круги Эйлера-Венна г) карты Константайна
Дано множество D = {7,13, 25, 34, 101, 112}. Какие из приведенных множеств являются подмножествами множества D?
а) {1, 7, 13}; б) (0, 1, 12}; в) {25, 112, 34}; г) {а, b, с, n}; д) {7, 13, 25, 34, 101, 112}.
Отношение включения для множеств обладает свойством транзитивности, которое может быть записано в виде:
а) Для любого множества А:АА
б) Для любых множеств А,В,С если АВ и ВС, то АС
в) Для любых множеств А, В если АВ и ВВ, то А = В
11. В результате какой операции над множествами может быть получено дополнение множества А до множества В?
а) A B б) A B в) A\B г) В\А
Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?
1) 30 2) 100 3) 120 4) 5
В группе 32 студента. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?
1) 128 2) 35960 3) 36 4)46788
Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?
1) 10 2) 60 3) 20 4) 30
Если матрица , то матрица 4A имеет вид
2) 3) 4)
Если матрицы и , то матрица 3A – 2B имеет вид
1) 2) 3) 4)
Для матрицы указать сумму элементов, расположенных на побочной диагонали.
Для матриц указать те операции, которые можно выполнить
B · AB · ABT · AA · B
Указать те преобразования строк (столбцов) матрицы, которые являются элементарными
умножение строки (столбца) на ненулевое число
замена элементов строки (столбца) произвольными числами
замена строки (столбца) суммой этой строки (столбца) и другой строки (столбца), предварительно умноженной на некоторое число
поменять местами две строки (два столбца)
замена строки (столбца) нулевой строкой (столбцом)
транспонирование матрицы
При умножении матрицы A на матрицу B справа должно соблюдаться условие
число строк матрицы A равно числу строк матрицы B
число строк матрицы A равно числу столбцов матрицы B
если матрицы не квадратные, то они должны быть одинакового размера
верный ответ отсутствует
Для матриц найти элемент c23 произведения С = B A.
Квадратная матрица называется диагональной, если
элементы, лежащие на побочной диагонали, равны нулю
элементы, лежащие на главной диагонали, равны нулю
элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю
элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю
элементы, лежащие на главной диагонали, обязательно равны
Квадратная матрица называется верхнетреугольной, если
элементы, лежащие на побочной диагонали, равны нулю
элементы, лежащие на главной диагонали, равны нулю
элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю
элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю
элементы, лежащие на главной диагонали, обязательно равны
Установить соответствие между парой матриц A и B и их произведением A B:
-
Матрицы A и B
|
Произведение A · B
|
|
|
|
|
|
7
|
|
|
Установить соответствие между определителем и числом α,
при котором этот определитель равен 0:
-
Определитель
|
Число α
|
|
12
|
|
-3/2
|
|
-1
|
|
-12
|
При замене некоторой строки невырожденной квадратной матрицы на сумму этой
строки и какой-то другой, умноженной на число α, определитель.
не изменится поменяет знак умножится на число α станет равным нулю
Указать матрицы, которые имеют обратные
1 42 5
3
Указать верные утверждения, связанные с определением и существованием
обратной матрицы:
обратная матрица A-1 существует, если матрица A – квадратная и det A ≠ 0
обратная матрица A-1 существует, если матрица A – квадратная
обратная матрица A-1 существует, если матрица A – квадратная и вырожденная, т.е. det A ≠ 0
A·A-1 = A-1·A = E, где E – единичная матрица соответствующего размера
Если матрицы , то определитель матрицы A·B равен:
0–16322–32
Распределите матрицы в порядке увеличения их определителей:
1. 2. 3. 4. 5.
Разложение определителя по второму столбцу имеет вид:
–4a + b – 2c–a + 2b + 3cверный ответ отсутствует
4a + b + 2c4a – b + 2c
Указать, с каким знаком («плюс» или «минус») произведение a12a23a31 входит в
определитель третьего порядка .
Если матрица системы n уравнений квадратная и ее определитель не равен нулю, то система
не имеет решенийимеет единственное решениеимеет не более n решений
имеет ровно n решенийимеет бесконечно много решений
При решении системы по правилу Крамера используют формулы
Найти значение b, при котором система совместна
Высказывание A – «Джон фон Нейман – архитектор ЭВМ»; высказывание В – «Диагонали прямоугольника равны». Конъюнкцией этих высказываний () является предложение …
Что называется функцией?
1. число;
2. правило, по которому каждому значению аргумента х в соответствует одно и только одно значение функции у;
3. вектор;
4. матрица;
5. нет правильного ответа.
Перечень практических заданий для оценки степени владения компетенциями:
Задание 1.
1. Вычислить: AP, PA, 10A-0.5P.
2. Вычислить: A2, P5.
3. Найти f(A), g(A), где f(x)=x2-x-1, g(x)=x2-5x+3.
4. Вычислить обратную матрицу к матрице I=2P-E.
5. Вычислить определители матриц A, P, I.
6. Транспонировать матрицы A, P, I.
7. Транспонировать матрицу 
8. На конкретном примере проверить следующие свойства операции транспонирования (R):
1. (AT)T=A
|
3. (A+B)T=AT+BT
|
2. (A)T=AT
|
4. (AB)T=BTAT
|
Варианты матриц, используемых в задании 1 .
1.  ,  .
Задание 2.
1. Решить СЛАУ Ax=B методом Крамера.
2. Решить СЛАУ Ax=B методом Гаусса.
3. Решить СЛАУ Ax=B матричным методом.
4. Сделать проверку: Ax-B=0.
Варианты матриц, используемых в задании 2 .
 ,  .
Задание 3. Найдите предел последовательности, изобразите последовательность графически.
Задание 4.Найдите предел функции f(x) = (cos3x-cosx)/tg22x в точке x. Определите тип точки разрыва. Изобразите графически поведение функции в окрестности точки x=.
Задание 5.Вычислите производную функции f(x) = x2-3x+2 в точке x=2.
Задание 6. Составьте уравнение касательной к функции из задания 5 в указанной точке. В одной системе координат постройте графики функции и касательной к ней в указанной точке.
Задание 7. Найдите решение уравнения с разделяющимися переменными у' = Х{х)У{у), удовлетворяющее начальному условию у(хо) = уо. Изобразите график решения.
Задание 8. Исследовать на сходимость ряд  .
Задание 9. Вычислить интегралы
1.  2. 
Задание 10. Студент до университета может поехать на одном из трех различных маршрутных такси, или одним из двух автобусов, а также он может дойти пешком. Сколькими способами студент может добраться до университета?
Задание 11. 15 вопросов из одной темы на экзамене составят первую половину билета, 16 вопросов из другой темы – вторую. Сколькими способами можно скомпоновать билет?
Задание 12. Сколько существует пятизначных чисел?
Задание 13. 7 кандидатов должны заполнить 3 анкеты, причем один человек может заполнить все 3 анкеты. Порядок заполнения анкет играет важную роль. Сколькими способами можно заполнить анкеты?
Задание 14. Даны множества А = {10, 26, 17, 34, 56, 84} и В = {2, 4, 28, 46}. В результате каких операций над множествами А и В получены множества
С={10, 26, 17, 34, 56, 84, 2, 4, 28, 46}, F={10, 26, 17, 34, 56, 84},G = {2, 4, 28, 46}.
Задание 15. Доказать следующие свойства и законы операций над множествами:
1) (А∩В)∩С = А∩(В∩С); 2) А∩(А∪В) = А; 3) (А\В)\С = (А\С)\В;
4) ( А∪В)\С =(А\С)∪(В \С); 5) (А\ В)∩С = (А∩С) \ (В∩С).
Задание 16. Преподаватель решил узнать, кто из 40 студентов читал книги А, В, С. Результаты опроса оказались следующие: книгу А читало 25 человек, книгу В – 22, книгу С - 22. Книгу А или В читали 33 студента, А или С – 32, В или С – 31; все три книги прочли 10 студентов. Сколько студентов прочли только по одной книге? Сколько студентов не читали ни одной из этих трех книг?
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Основная литература
Перечень литературы
|
Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для вузов / Н.Ш. Кремер - Москва: ЮНИТИ, 2012. 479 c. [http://www.iprbookshop.ru/12847.html]
Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч.: учебное пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова, С.П. Данко - Москва: ОНИКС, 2008. 368 c.
3. Соболь Б.В. Практикум по высшей математике: учебная книга / Б.В. Соболь, Н.Т. Мишняков, В.М. Поркшеян - Ростов-на-Дону: Феникс, 2007. 630 c.
| Дополнительная литература
Перечень литературы
|
Виленкин И.В. Высшая математика для студентов экономических, технических, естественно-научных специальностей вузов: пособие / И.В. Виленкин, В.М. Гробер - Ростов-на-Дону: Феникс, 2008. 414 c.
Воронов М.В. Высшая математика для экономистов и менеджеров: учебное пособие / М.В. Воронов, Г.П. Мещеряков - Ростов-на-Дону: Феникс, 2004. 288 c.
Красс М. С. Математика для экономистов: учебное пособие / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов - Санкт-Петербург: Питер, 2009. 464 c.
Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для вузов / Н.Ш. Кремер - Москва: ЮНИТИ, 2008. 479 c.
Макаров С.И. Математика для экономистов: учебное пособие / С.И. Макаров - Москва: КноРус, 2007. 264 c.
Самаров К.Л. Финансовая математика: практический курс: учебное пособие / К.Л. Самаров - Москва: Альфа-м, 2005. 80 c.
|
ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ (УМК, КОМПЬЮТЕРНЫЕ ПРОГРАММЫ, ЭЛЕКТРОННЫЕ УЧЕБНИКИ, ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСЫ, ЭЛЕКТРОННЫЕ БИБЛИОТЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ)
|
