7. Расплетая необъяснимое
…Пусть мне не сделать темный дух людей
Открытее, прекрасней и светлей…
Джон Китс: «Сон и Поэзия» (1817).
Выдающийся специалист по бесплодию Роберт Уинстон представляет следующую публикацию, помещенную в газете недобросовестным доктором шарлатаном, нацеленную на людей, которые хотят, чтобы их следующий ребенок был, скажем, сыном (дискриминация по половому признаку, лежащая в основе этого допущения, не моя, его можно бесспорно обнаружить во всем древнем мире а во многих местах и до сих пор). Перешлите 500 £ за мой патентованный рецепт, чтобы сделать вашего ребенка мальчиком. Деньги будут возмещены полностью, если я потерплю неудачу. Гарантия возврата денег предназначена, чтобы метод завоевал доверие. Фактически, конечно, поскольку мальчики так или иначе рождаются приблизительно в 50 процентах случаев, схема была бы прибыльной. На самом деле, шарлатан мог бы даже благополучно предложить компенсацию, скажем, 250 £ за каждую рожденную девочку вдобавок к гарантированию возврата денег. Он, в конечном счете, все еще имел бы порядочную прибыль.
Я использовал подобный пример в одной из моих Королевских рождественских лекций в 1991 году. Я сказал, что я имею все основания считать, что среди моей аудитории есть экстрасенс, ясновидящий человек, способный влиять на события исключительно силой мысли. Я постарался бы выяснить, кто этот человек. «Давайте сначала установим», – сказал я, – «находится ли этот экстрасенс в левой или правой половине лекционного зала». Я предложил всем встать, когда мой помощник бросал монету. Всех в левой стороне зала я попросил «хотеть», чтобы монета выпала орлом. Справа все должны были хотеть, чтобы решкой. Очевидно, что одна сторона должна была проиграть, и их просили сесть. Тогда те, кто остался, были разделены пополам, половина «хотела» орлов, а другая половина решек. Проигравшие снова сели. И так далее, последовательно деля на двое, пока, разумеется, после семи или восьми бросков, не остался стоять один человек. «Бурный взрыв аплодисментов для нашего экстрасенса.» Он должен быть экстрасенсом, не так ли, потому что он успешно повлиял на монету восемь раз подряд?
Если бы лекции передавались по телевидению в прямом эфире, а не записывалась и транслировались позже, то демонстрация была бы намного более внушительной. Я попросил бы каждого, кто их смотрел, чья фамилия начинается до J в алфавите, «хотеть», чтобы был орел, а остальных – решка. Какая бы половина не оказалась содержащей «экстрасенса», она снова будет разделена пополам, и так далее. Я попросил бы, чтобы каждый вел письменную запись очередности своих «желаний». Для двух миллионов зрителей потребовался бы приблизительно 21 шаг, чтобы сузить круг до одного человека. Чтобы перестраховаться, я бы остановился, немного не доходя до 21 шага. Скажем, на восемнадцатом шаге я попросил бы каждого, кто все еще был в игре, звонить в студию. Их было бы довольно много и, если повезет, один бы позвонил. Этого человека попросили бы тогда прочесть вслух свои записи: ОРРРООРООООРРРООРР, которые соответствовали бы официальной записи. Таким образом этому человеку удалось бы повлиять на 18 последовательных бросков монеты. Вздохи восхищения. Но восхищение чем? Лишь чистым везением. Я не знаю, был ли тот эксперимент проведен. Фактически хитрость здесь настолько очевидна, что она, вероятно, одурачит не многих людей. Но что вы подумаете о следующем?
Известный «экстрасенс» выступает на телевидении, выгодное занятие, о котором договаривается в течение обеда его рекламный агент. Уставясь с десяти миллионов экранов гипнотически горящими глазами (хорошая работа гримеров и осветителей), наш мнимый провидец провозглашает, что чувствует странную духовную связь, вибрирующий резонанс космической энергии, с определенными своими телезрителями. Что они смогут понять, с кем из них, потому что, как раз когда он будет произносить свое мистическое заклинание, их часы остановятся. После лишь короткой паузы на его столе звонит телефон, и усиленный голос испуганным тоном сообщает, что часы его обладателя замерли через секунду после слов ясновидца. Звонящая добавляет, что у нее было предчувствие, что это случится, еще до того, как она опустила взгляд на свои часы, поскольку что то в горящих глазах ее героя, казалось, говорило напрямую с ее душой. Она чувствовала «вибрацию энергии». Как раз во время ее слов второй телефон. Еще одни часы остановились.
Остановились часы третьего звонящего, старинные часы с маятником – конечно, более весомый подвиг, чем остановка маленьких часов, нежная пружина которых, разумеется, будет более восприимчива к психическим силам, чем массивный маятник! Часы еще одного телезрителя на самом деле остановились чуть раньше , чем знаменитый мистик сделал свое заявление – разве это не еще более внушительный подвиг психического управления? Еще одни часы были более нетерпеливыми в отношении восприимчивости к оккультным силам. Они остановились на целый день раньше, в тот самый момент, когда их обладатель смотрел на фотографию известного мистика в газете. Зрители в студии ахают от высокого признания. Это, конечно, экстрасенсорные способности вне всякого сомнения, поскольку они проявляются на целый день раньше ! Есть многое на свете, друг Горацио…
То, что нам нужно – это меньше ахать и больше думать. Эта глава о том, как лишить жала случайные совпадения, спокойно садясь и вычисляя вероятность того, что это произошло бы само по себе. В процессе этого мы обнаружим, что нейтрализовать с виду необъяснимые совпадения куда интереснее, чем ахать о них.
Иногда эти вычисления просты. В предыдущей книге я выдал код от замка на моем велосипеде. При этом я чувствовал себя в безопасности, потому что мои книги явно никогда не будет читать та разновидность людей, которая крадет велосипеды. К сожалению, кто то все таки украл его, и у меня теперь новый замок с новым кодом, 4167. Я нахожу это число легким для запоминания. 41 запечатлелось в моей памяти, поскольку этот произвольный код обычно маркировал мою одежду и ботинки в школе интернате. 67 – возраст, в котором я должен выйти на пенсию. Очевидно, здесь нет никакого интересного совпадения: независимо от числа я поискал бы в своей жизни рецепт для запоминания, и я нашел бы его. Но заметьте, что будет дальше. В день, когда я это пишу, я получил из моего оксфордского колледжа письмо, в котором сообщалось:
Каждому, кто имеет доступ к ксероксу, присвоен личный код, разрешающий доступ. Ваш новый номер 4167.
Моей первой мыслью было, что я, несомненно, потеряю этот клочок бумаги (я быстро потерял аналогичную в прошлом году), и я должен немедленно придумать формулу, чтобы зафиксировать число в своей памяти. Может быть, нечто подобное мнемонической схеме, благодаря которой я помню комбинацию велосипеда? И я снова посмотрел на число в письме и, еще позаимствовать изящную строку из научно фантастического романа Фреда Хойла «Черное Облако», цифры на листке бумаги казалось разрослись до гигантских размеров.
4167.
Мне не нужна была новая мнемоническая схема. Число было идентично. Я помчался, чтобы рассказать жене об этом удивительном совпадении, но, по более трезвом размышлении, у меня не было причин для возбуждения.
Вероятность, что это произойдет само по себе случайно, легко вычислить. Первая цифра могла быть любой от 0 до 9. Таким образом, есть один из 10 шансов получить 4 и получить совпадение с замком велосипеда. Для каждого из этих десяти вариантов, вторая цифра могла быть любой от 0 до 9, поэтому снова есть один из 10 шансов совпадения со второй цифрой замка велосипеда. Вероятность совпадения первых двух цифр, поэтому – 1 из 100, и, следуя логике первых двух цифр, вероятность соответствия всех четырех цифр с замком велосипеда – 1 из 10 000. Именно это большое число предохраняет нас от воровства.
Совпадение впечатляющее. Но какой вывод мы должны сделать? Произошло ли что то таинственное и чудесное? Незаметно работали ангелы хранители? Счастливые звезды заплыли в Уран? Нет. Нет причин подозревать что то большее, чем простая случайность. Число людей в мире настолько велико по сравнению с 10 000, что кто то в этот самый момент обязан столкнуться с совпадением, по крайней мере, таким же поразительным, как и мое. Просто так случилось, что сегодня был мой день замечать такое совпадение. Не является дополнительным совпадением и то, что это случилось со мной в этот особый день, когда я пишу эту главу. Фактически я написал первый набросок главы несколько недель назад. Я пересматривал ее сегодня, после того, как случилось совпадение, чтобы вставить эту историю. Я, конечно, пересматривал ее много раз, чтобы проверить и отшлифовать, и я не буду удалять ссылок на «сегодня»: они были точными, когда я их писал. Есть другой способ, которым мы обычно раздуваем внушительность совпадений, чтобы сделать хорошую историю.
Мы можем сделать подобное вычисление для телевизионного гуру, экстрасенсорные миазмы которого, казалось, останавливали часы людей, но мы должны будем использовать приближенные оценки, а не точные цифры. У любых конкретных часов есть определенная низкая вероятность остановки в любой момент. Я не знаю, какова эта вероятность, но вот способ, которым мы могли бы произвести примерный подсчет. Если мы возьмем только электронные часы, их батарея как правило садиться за год. Тогда, электронные часы останавливаются приблизительно один раз в год. Предположительно, механические часы останавливаются чаще, потому что люди забывают их завести, и, предположительно, электронные часы останавливаются менее часто, потому что иногда люди меняют батарею заблаговременно. Но, вероятно, в общем оба вида часов часто останавливаются потому, что в них проявляются того или иного рода поломки. Поэтому давайте примем предварительную оценку, что любые конкретные часы скорее всего остановятся один раз в год. Не имеет большого значения, насколько точна наша оценка. Принцип останется.
Если бы чьи то часы остановились спустя три недели после произнесения заклинания, даже самое доверчивый предпочел бы приписать это случайности. Мы должны решить, какая задержка была бы оценена телезрителями как достаточно синхронная с объявлением экстрасенса, чтобы их убедить. Приблизительно пять минут, конечно, допустимы, тем более, что он может продолжать говорить с каждым звонящим в течение нескольких минут, прежде чем следующий звонок перестает казаться примерно синхронным. В году около 100 000 пятиминутных периодов. Вероятность, что любые конкретные часы, скажем мои, остановятся в заданный пятиминутный период, приблизительно 1 к 100 000. Низкая вероятность, но шоу смотрит 10 миллионов человек. Если лишь половина из них носит часы, мы можем ожидать, что приблизительно 25 из этих часов остановятся в любую данную минуту. Если только четверть таких позвонит в к студию, то будет 6 звонков, более чем достаточно, чтобы ошарашить наивную аудиторию. Особенно когда вы добавите звонки от людей, чьи часы остановились днем раньше, людей, у которых часы не останавливались, но остановились часы их дедушки, людей, которые умерли от сердечных приступов, и их скорбящие родственники, позвонили сказать, что их «маятник» перестал тикать, и так далее. Такое совпадение отмечается в восхитительно сентиментальной старой песне, «Дедушкины часы» Девяносто лет без остановки.
Тик, так, тик, так.
Его жизнь отмеряют секунды.
Тик, так, тик, так.
Они остановились… неожиданно…, чтобы никогда не пойти снова,
Когда старик умер.
чтобы никогда не пойти снова,
Когда старик умер.
Ричард Фейнман в лекции 1963 года, изданной посмертно в 1998 м, рассказывает историю о том, как его первая жена умерла в 9.22 вечера, и часы в ее комнате, как позже обнаружилось, остановились ровно в 9.22. Есть те, кто упивался бы кажущейся загадочностью этого совпадения и почувствовал бы, что Фейнман отнимает что то дорогое, когда дает нам простое, рациональное объяснение тайны. Часы были старые и ненадежные, и имели свойство останавливаться, если их наклоняли от горизонтального положения. Фейнман сам часто поправлял их. Когда миссис Фейнман умерла, обязанность медсестры состояла в том, чтобы сделать запись точного времени смерти. Она подошла к часам, но они были в тени полумрака. Чтобы их увидеть, она их подняла и наклонила циферблат к свету… Часы остановились. Действительно ли Фейнман портит нечто красивое, когда дает нам разъяснение, несомненно верное и очень простое? Я так не думаю. Как по мне, он подтверждает элегантность и красоту упорядоченной вселенной, в которой часы останавливаются по причинам, а не чтобы возбуждать человеческое сентиментальное воображение.
В этом месте я хочу изобрести технический термин, и я надеюсь, вы простите аббревиатуру. PETWHAC означает «популяция событий, которые могли бы показаться совпадениями». Популяция может показаться странным словом, но в английском это – правильный статистический термин, совокупность. Я не буду продолжать использовать заглавные буквы, потому что они выглядят на странице столь малопривлекательно. Остановка чьих то часов в течение десяти секунд после заклинаний экстрасенса, очевидно, входит в petwhac, как и многие другие события. Строго говоря, остановка дедушкиных часов не должна сюда включаться. Мистик не утверждал, что он может остановить дедушкины часы. Однако когда часы чьего нибудь дедушки действительно останавливались, они немедленно телефонировали, потому что были, пожалуй, даже более поражены, чем если бы остановились их собственные часы. Создается странное, ошибочное представление, что экстрасенс еще более силен, так как он даже не потрудился упомянуть, что может остановить также часы дедушки! Подобным же образом, он ничего не сказал о часах, остановившихся на день раньше или о дедушкиных тикающих «маятниках», перенесших остановку сердца.
Люди ощущают такие неожиданные события принадлежащими к petwhac. Для них это похоже, как если бы работали тайные силы. Но когда вы начинаете рассуждать как мы рассуждаем, petwhac становится действительно весьма большим, и в этом весь фокус. Если ваши часы остановились ровно на 24 часа раньше, то вы не должны быть излишне легковерными и включать этот случай в petwhac. Если бы чьи то часы остановились ровно за семь минут то до заклинания, это могло бы произвести на некоторых людей впечатление, потому что семь – древнее мистическое число. И то же самое, по видимому, работает для семи часов, семи дней… Чем больше petwhac, тем меньшее впечатление должно произвести на нас совпадение, когда оно происходит. Один из приемов успешного обманщика – заставить людей думать полностью обратное.
Между прочим, я преднамеренно выбрал более впечатляющий обман для моего воображаемого экстрасенса, чем на самом деле был проделан с часами по телевидению. Более известный трюк – запустить часы, которые остановились. Телезрителей просят встать и принести, из ящиков или чердаков, часы, которые сломались, и держать их, пока экстрасенс осуществляет какое то колдовство или выполняет какие то гипнотические действия глазами. В действительности же происходит то, что, если кратко, от тепла руки растапливается загустевшее масло, и это запускает работу часов. Даже если это случится лишь в маленькой доле случаев, то эта доля, помноженная на большую аудиторию, вызовет достаточное число ошеломленных телефонных звонков. Фактически, как объяснил Николас Хамфри в своем замечательном разоблачении сверхъестественных явлений «В поисках души» (1995), было продемонстрировано, что больше 50 процентов сломанных часов начинают идти, по крайней мере на мгновение, если их подержать в руке.
Вот другой пример совпадения, где ясно, как вычислить вероятность. Мы используем его, чтобы продолжить и увидеть, насколько чувствительна вероятность к изменению petwhac. У меня когда то была подруга, у которой была та же дата рождения (хотя не в одном и том же году), как и у моей предыдущей подруги. Она рассказала об этом своему другу, который верил в астрологию, и друг торжествующе спросил, как я мог оправдать свой скептицизм ввиду такого поразительного факта, что я был невольно сведен подряд с двумя женщинами на основе их «звезд». Еще раз, давайте просто спокойно об этом подумаем. Легко подсчитать вероятность того, что у двух людей, выбранных абсолютно наугад, будет один и тот же день рождения. В году 365 дней. Когда бы ни был день рождения первого человека, шанс, что у второго день рождения будет в тот же самый день – 1 к 365 (пренебрегая високосными годами). Если мы разделим людей на пары каким нибудь определенным способом, например, беря подряд подруг любого мужчины, вероятность, что у них будет один день рождения – 1 к 365. Если мы возьмем десять миллионов мужчин (меньше, чем население Токио или Мехико), это очевидно странное совпадение случится больше чем с 27 000 из них!
Теперь давайте подумаем о petwhac и увидим, как очевидное совпадение становится менее впечатляющим, когда сам petwhac расширяется. Есть много других способов, которыми мы могли разделить людей на пары и все же в конце концов отметить очевидное совпадение. Например, две подряд подруги с одной и той же фамилией, хотя и не родственницы. Два деловых партнера с одним и тем же днем рождения также вошли бы в petwhac; или два человека с одним и тем же днем рождения, сидящие рядом друг с другом в самолете. Однако в полностью заполненном Боинге 747 вероятность, что, по крайней мере, у одной пары соседей будет общий день рождения, даже больше, чем 50 процентов. Мы обычно не замечаем это, потому что не смотрим через плечо друг другу, когда заполняем те утомительные иммиграционные формы. Но если бы мы делали это, то хотя бы кто нибудь на большинстве рейсов, мрачно бормотал бы о тайных силах.
Совпадение дней рождения превосходно выражено более впечатляющим способом. Если есть комната со всего лишь 23 людьми, математики могут доказать, что с вероятностью чуть больше 50 процентов у двух из них один день рождения. Два читателя более раннего варианта этой книги просили, чтобы я обосновал это удивительное утверждение. Легче вычислить вероятность, что нет пары с общим днем рождения, и вычесть ее из единицы. Забудьте о високосных годах, их учет дает больше мороки, чем толку. Предположим, я держу с вами пари, что из 25 людей в комнате, по меньшей мере у двух общий день рождения. Вы держите пари, в целях нашего аргумента, что не будет никаких общих дней рождения. Мы сделаем вычисления, поочередно пересчитывая до 23 человек, начав лишь с одного человека в комнате и добавляя людей по одному. Если в какой нибудь момент будет найдена пара, я выигрываю пари, мы останавливаем игру и не утруждаемся тем, чтобы добавлять еще людей. Если мы дойдем до 23 человек, и к тому моменту все еще не будет ни одной пары, то пари выигрываете вы.
Когда в комнате находится только один человек, которого мы вполне можем назвать А, вероятность, что «пока еще нет ни одной пары» заведомо равна 1 (365 шансов из 365). Теперь добавим второго человека, В. Вероятность совпадения теперь 1 из 365. Поэтому вероятность, что «пока еще нет ни одной пары», когда B присоединился к А в комнате, составляет 364/365. Сейчас добавим третьего человека, C. Есть один шанс из 365, что C составит пару с А, и один шанс из 365, что C составит пару с B, поэтому вероятность, что он не совпадает ни с А, ни с B, составляет 363/365 (он не может совпадать с обоим, и потому что мы уже знаем, что А не соападает с B). Чтобы получить общую вероятность, что «пока еще нет ни одной совпадающей пары», нам придется взять эти 363/365 и умножить на вероятность отсутствия совпадающей пары в предыдущем раунде ( ах), в данном случае на 364/365. Подобная же логика применима, когда мы добавляем четвертого человека, D. Общая вероятность, что «пока еще нет ни одной совпадающей пары», теперь составляет 364/365 X 363/365 X 362/365. И так, пока все 23 человека не окажутся в комнате. Каждый новый человек добавляет новый множитель, который нам придется дополнить к имеющемуся итогу произведения, чтобы вычислить вероятность отсутствия совпадения пары на данный момент.
Если вы выполните умножение для 23 множителей (вам придется дойти до 343/365), ответ составит около 0.49. Это вероятность, что в комнате не будет ни одного общего дня рождения. Итак, вероятность, что по меньшей мере у одной пары людей в группе из 23 будет общий день рождения, чуть больше вероятности обратного. Интуиция большинства людей призывает их держать пари против такого совпадения. Но они бы ошиблись. Именно подобные интуитивные ошибки обычно искажают нашу оценку «сверхъестественных» совпадений.
Вот имевшее место совпадение, где мы можем попытаться оценить вероятность приблизительно, хотя здесь это немного труднее. Моя жена однажды купила для своей матери красивые старинные часы с розовым циферблатом. Когда она забрала их домой и снимала ценник, она была поражена, обнаружив выгравированные на обратной стороне часов личные инициалы матери, M.A.B. Необъяснимо? Жутко? Мурашки по коже? Артур Кёстлер, известный автор романов, истолковал бы примерно так. Как и К. Г. Юнг, уважаемый психолог и изобретатель «коллективного подсознания», который также полагал, что книжный шкаф или нож можно заставить психическими силами внезапно с громким треском взорваться. Моя жена, обладающая большим здравым смыслом, просто сочла, это совпадение инициалов достаточно забавным и замечательно подходящим, чтобы рассказать эту историю мне – и я теперь здесь рассказываю ее более широкой аудитории.
Итак, какова на самом деле вероятность совпадения такой величины? Мы можем начать ее вычисление наивно. В алфавите 26 букв. Если у матери три инициала, и вы находите часы, с выгравированными тремя случайными буквами, вероятность, что они совпадут – 1/26 × 1/26 × 1/26, или 1 к 17 576. В Великобритании приблизительно 55 миллионов человек. Если бы каждый из них купил гравированные антикварные часы, то мы ожидали бы, что больше 3 000 из них ахнут в изумлении, когда обнаружат, что на часах уже есть инициалы их матери.
Но в действительности вероятность больше. В нашем наивном вычислении было сделало неправильное предположение, что для каждой буквы вероятность быть чьим то инициалом составляет 1/26. Это усредненная вероятность для алфавита в целом, но для некоторых букв, вроде X и Z, вероятность меньше. Другие, включая М, A и B, более распространены: представьте, насколько больше мы были бы поражены, если бы совпавшими инициалами были X.Q.Z. Мы можем уточнить нашу оценку вероятности, проанализировав телефонный справочник. Исследование выборки – приемлемый способ оценить что то, что мы не можем подсчитать прямо. Лондонский справочник – хороший материал для статистики, потому что он большой, и Лондон к тому же является тем местом, где моя жена купила часы и где жела ее мать. Лондонский телефонный справочник содержит колонку с именами частных граждан длиной приблизительно 85 060 дюймов или приблизительно 1.54 миль. Из них приблизительно 8 110 дюймов колонки посвящены В. Это означает, что приблизительно 9.5 процентов лондонцев имеют фамилию, начинающуюся на B – намного чаще, чем в среднем для букв: 1/26, или 3.8 процента.
То есть вероятность, что случайно выбранный лондонец имел бы фамилию, начинающуюся с B – приблизительно 0.095 (~9.5 процентов). А что с аналогичными вероятностями, что имена начинаются с М или A? Слишком долго считать инициалы имен прямо в телефонной книге, и в этом нет никакого смысла, так как телефонная книга – сама по себе лишь выборка. Легче всего взять выборку из выборки, где инициалы имен удобно расположены в алфавитном порядке. Это верно для записей в пределах одной отдельно взятой фамилии. Я возьму самую распространенную фамилию в Англии – Смит – и посмотрю, какая доля Смитов являются М.Смитами, а какая – А.Смитами. Резонно надеяться, что это будет примерно представлять вероятности инициалов имен для лондонцев вообще. Оказывается, колонка Смитов в целом гораздо больше 20 ярдов. Из них 0.073 (53.6 дюйма колонки) – М. Смиты. A. Смиты занимают 75.4 дюймов колонки, представляя 0.102 всех Смитов.
Поэтому если вы лондонец, и у вас три инициала, вероятность, что ваши инициалы M.A.B. в том же порядке – приблизительно 0.102 × 0.073 × 0.095 или приблизительно 0.0007. Так как население Великобритании – 55 миллионов, это должно означать, что приблизительно у 38 000 из них инициалы M.A.B., но только если у каждого из этих 55 миллионов по три инициала. Очевидно не у каждого, но, снова просматривая телефонный справочник, кажется, что, по крайней мере, у большинства это так. Если мы делаем консервативное предположение, что только у половины британцев по три инициала, то это все еще означает, что у больше чем 19 000 британцев инициалы идентичны с инициалами матери моей жены. Любой из них мог купить эти часы и ахнуть от удивления из за совпадения. Наше вычисление показало, что ахать нет никакой причины.
Действительно, если мы лучше подумаем о petwhac, мы обнаружим, что у нас еще меньше права быть впечатленным. M.A.B. были начальными буквами девичьей фамилии матери моей жены. Ее инициалы при замужестве M.A.W. показались бы столь же впечатляющими, как и те, что были найдены на часах. Фамилии, начинающиеся с W, почти столь же часто встречаются в телефонной книге, как те, что начинаются с B. Этот фактор примерно удваивает petwhac, удваивая число людей в стране, которых охотники за совпадениями сочли бы обладающими теми же самыми инициалами, как у матери моей жены. Кроме того, если кто то купил часы и обнаружил, что были выгравированы не инициалы ее матери, а ее собственные, она могла бы счесть это еще большим совпадением и более достойным быть включенным в (все разрастающийся) petwhac.
Покойный Артур Кёстлер, как я уже упомянул, был большим любителем совпадений. Среди историй, которые он рассказывает в «Корни совпадения» (1972), некоторые первоначально были собраны его героем, австрийским биологом Паулем Каммерером (известным в связи с публикацией фальшивого эксперимента, предположительно демонстрирующего «наследование приобретенных признаков» у жаб повитух). Вот типичная история Каммерера цитируемая Кестлером:
18 сентября 1916 года моя жена, ожидаля своей очереди во врачебный кабинет профессора Дж. ван Х., читала журнал «Die Kunst»; ее поразили некоторые репродукции картин художника по имени Швалбах, и она постаралась запомнить его имя, потому что хотела бы увидеть оригиналы.
В тот момент дверь открылась, и регистратор вызывал пациента: «Фрау Швалбах здесь? Ей звонят».
Возможно, не стоит пробовать оценить вероятность этого совпадения, но мы можем, по крайней мере, записать кое что, что нам потребовалось бы знать. Фраза «в этот момент дверь открылась» немного неопределенна. Открылась ли дверь через одну секунду после того, как она про себя отметила картины Швалбаха, или через 20 минут? Насколько длинным мог быть промежуток времени, чтобы она все еще оставалась поражена совпадением? Очевидно, важна частота имени Швалбах: на нас произвело бы меньшее впечатление, если бы это был Шмидт или Страусс; и большее впечатление, если бы это был Твистлетон Уикем Файнс или Нэчбул Хьюиссен. В моей местной библиотеке нет телефонной книги Вены, но быстрый взгляд в другой большой немецкий телефонный справочник, берлинский, приносит полдюжины Швалбахов: имя не слишком распространенное, и поэтому, понятно, почему леди была впечатлена. Но мы должны думать также о размерах petwhac. Подобные совпадения могли случаться с людьми в приемных других врачей; и в приемных дантистов, правительственных учреждениях и так далее; и не только в Вене, но и где нибудь еще. Это количество, примем во внимание, представляет собой число возможностей для совпадений, о которых, если бы они произошли, мы бы думали, что они столь же замечательные, как и то, которое произошло на самом деле.
Теперь давайте возьмем совпадения другого рода, где еще труднее узнать, с чего начать вычисление вероятности. Рассмотрим часто приводимый случай, когда снится старый знакомый впервые в течение многих лет, а затем вы получаете от него письмо, нежданно негаданно, на следующий же день. Или когда вы знаете, что он умер ночью. Или знаете, что он ночью не умер, но умер его отец. Или, что его отец не умер, а выиграл в футбольный тотализатор. Видите, как petwhac разрастается до неконтролируемого объема, когда мы ослабляем бдительность?
Часто эти истории совпадений собраны с большого поля. В столбцах для писем в редакции популярных газет содержатся письма, представленные отдельными читателями, которые не написали бы, если бы не удивительные совпадения, случившееся с ними. Чтобы решить, должно ли это производить на нас впечатление, мы должны знать тираж газеты. Если он 4 миллиона, было бы удивительно, если бы мы не читали ежедневно о каких то потрясающих совпадениях, так как совпадение должно произойти с одним из 4 миллионов, чтобы у нас были хорошие шансы, что об этом сообщат в газете. Трудно вычислить вероятность отдельного совпадения, случающегося с одним человеком, скажем, давно забытый старый друг умирает в ночь, когда случайно приснился нам во сне. Но независимо от того, какова эта вероятность, она, конечно, намного больше, чем один к 4 миллионам.
Поэтому для нас действительно нет никакой причины поражаться, когда мы читаем в газете о совпадении, которое случилось с одним из читателей или с кем то где нибудь в мире. Этот довод против того, чтобы поражаться, полностью обоснован. Однако здесь может скрываться нечто, все еще волнующее нас. Вы можете с удовольствием согласиться, что, с точки зрения читателя газеты, выходящей массовым тиражом, мы не имеем права быть пораженными совпадением, которое случается с другим из миллионов читателей той же газеты, потрудившимся в нее написать. Но намного тяжелее сбросить чувство страха с морозом по коже, когда совпадение случается непосредственно с вами. Это не просто личная предубежденность. Это можно серьезно обосновать. Чувство возникало почти у каждого, с кем я встречался; если спросить любого наугад, то велики шансы, что он сможет рассказать по крайней мере одну довольно странную историю о случайном совпадении. На первый взгляд, это подрывает доводы скептика о том, что газетные истории отобраны в миллионном кругу читателей – огромном улавливателе случаев.
Фактически же этого не происходит, по следующей причине. Каждый из нас, даже один человек, все же составляет очень большую популяцию возможностей совпадения. Каждый обычный день, который вы или я проживаем, представляет собой непрерывный ряд событий, или проишествий, любое из которых является потенциальным случайным совпадением. Сейчас я смотрю на картину на стене глубоководной рыбы с очаровательной внеземной мордой. Вполне возможно, что в этот самый момент зазвонит телефон и абонент представится как г н Фиш. Я ожидаю…
Телефон не позвонил. Я хочу сказать, что, независимо от того, что вы можете делать в любую данную минуту дня, вероятно, есть какое то другое событие – скажем, телефонный звонок – которое, если оно бы случилось, ретроспективно было бы сочтено за жуткое совпадение. В жизни каждого человека так много минут, что было бы весьма удивительно найти человека, который никогда не сталкивался с потрясающим совпадением. В течение этой особой минуты мои мысли отклонились к школьному товарищу по фамилии Хэвиленд (я не помню ни его имени, ни как он выглядел), которого я не видел и о котором не думал целых 45 лет. Если в этот момент самолет, изготовленный компанией de Haviland, пролетал бы за окном, со мной произошло бы совпадение. Фактически я должен сообщить, что такой самолет не появился, но мои мысли перешли на что то еще, что дает еще одну возможность для совпадения. И таким образом благоприятные возможности для совпадений случаются в течение дня и ежедневно. Но негативные примеры – отсутствие совпадения, не замечаются и о них не рассказывают.
Наша склонность видеть смысл и тенденции в совпадении, независимо от того, есть ли в нем какой либо реальный смысл, является частью более общего стремления искать тенденции. Это стремление похвально и полезно. Многие события и явления в мире действительно происходят по схеме неслучайным образом, и для нас, и для животных вообще, полезно обнаруживать эти схемы. Трудность состоит в том, чтобы проплыть между Сциллой обнаружения очевидной системы, когда ее нет, и Харибдой необнаруженния системы когда она есть. Наука статистика в довольно большой степени занята поддержанием этого трудного курса. Но прежде чем статистическим методам был придан официальный статус, люди и, безусловано, другие животные были довольно хорошими интуитивными статистиками. Однако легко ошибиться, в обоих направлениях. Вот несколько настоящих статистических примеров в природе, которые не совсем очевидны, и которые были не всегда известны людям.
Теперь – некоторые иллюзорные системы, которые люди ошибочно думали, что обнаружили.
Мы не единственные животные, ищущие статистические неслучайные системы в природе, и мы не единственные животные, совершающие такие ошибки, которые можно было бы назвать суевериями. Оба этих факта четко демонстрируются в аппарате, названном коробкой Скиннера, в честь известного американского психолога Б. Ф. Скиннера. Коробка Скиннера – это простая, но широкоцелевая часть оборудования для изучения психологии, обычно крысы или голубя. Это коробка с выключателем или переключателем, встроенным в одну стену, которым голубь (скажем), может приводить в действие клювом. Есть также электрически управляемое устройство подачи пищи (или другого поощрения). Они связаны таким образом, что клевок голубя оказывает некоторое влияние на устройство питания. В простейшем случае, каждый раз, когда голубь клюет ключ, он получает пищу. Голуби охотно обучаются этой задаче. Так же и крысы и, в соответственно увеличенных и укрепленных коробках Скиннера, свиньи.
Мы знаем, что причинная связь между клеванием ключа и пищей обеспечивается электрическим устройством, но голубь не знает. Что касается голубя, клевание ключа могло бы с тем же успехом быть танцем дождя. Кроме того, связь может быть весьма слабой, статистической. Устройство может быть настроено так, чтобы вознаграждалось далеко не каждый клевок, чтобы лишь один из 10 клевков вознаграждался. Это может буквально означать каждый десятый клевок. Или, при другой настройке устройства, это может означать, что вознаграждается каждый 10 ый клевок в среднем, но в каждом конкретном случае точное число клевков задается случайным образом. Или могут иметься часы, определяющие, что в среднем одна десятая времени клевков приведет к вознаграждению, но невозможно сказать, какая десятая часть времени. Голуби и крысы учатся нажимать ключи, даже когда, казалось бы, нужно быть довольно хорошим статистиком, чтобы обнаружить причинно следственную взаимосвязь. Они могут подвергаться расписанию, при котором вознаграждается лишь очень маленькая часть клеваний. Интересно, что привычка, приобретенная, когда клевание вознаграждается лишь изредка, более долговечна, чем привычка, приобретенная, когда вознаграждаются все клевки: голубь не так быстро разочаровывается, когда вознаграждающий механизм выключают совсем. Если подумать, это интуитивно понятно.
Итак, голуби и крысы довольно хорошие статистики, способные улавливать небольшие, статистические закономерности систематичности в их мире. По видимому эта способность служит им в природе так же, как в коробке Скиннера. Жизнь богата на систематичности; мир – большая, сложная коробка Скиннера. Действия диких животных часто сопровождаются вознаграждениями, или наказаниями, или другими важными событиями. Связь между причиной и следствием часто не абсолютная, а статистическая. Если кроншнеп исследует грязь своим длинным, кривым клювом, есть определенная вероятность, что он найдет червя. Связь между актами исследования и явлением червя является статистической, но реальной. Целая школа исследования животных выросла вокруг так называемой теории оптимального фуражирования. Дикие птицы показывают весьма изощренные способности оценивать, статистически, относительное богатство пищей различных участков, и исходя из этого переключать свое время между участками.
Если вернуться в лабораторию, Скиннер основал большую исследовательскую школу, использующую коробки Скиннера для всяческих всесторонних целей. Затем, в 1948 году, он опробовал блестящий подвариант этой стандартной технички. Он полностью разорвал причинную связь между поведением и вознаграждением. Он так настроил устройство, чтобы «вознаграждать» голубя время от времени, независимо от того, что сделала птица. Теперь все, что вообще должны были делать птицы – это бездельничать и ждать вознаграждения. Но на самом деле они действовали по другому. Вместо этого в шести из восьми случаев они формировали – точно, как если бы они усваивали вознаграждаемую привычку – то, что Скиннер назвал «суеверным» поведением. В чем именно оно состояло различалось от голубя к голубю. Одна птица крутилась вокруг, как волчок, два или три поворота против часовой стрелки между «вознаграждениями». Другая птица неоднократно лезла головой в один определенный верхний угол коробки. Третья демонстрировала «сбрасывающее» поведение, как будто снимая с головы невидимый занавес. У двух птиц независимо появилась привычка ритмично «качать маятник» из стороны в сторону головой и телом. Эта последняя привычка, кстати, должно быть, была довольно похожа на брачный танец некоторых райских птиц. Скиннер использовал слово суеверие, потому что птицы вели себя, как будто думали, что их привычное движение оказывало причинное влияние на механизм вознаграждения, тогда как фактически это было не так. Это был голубиный аналог танца дождя.
Суеверная привычка, когда то укоренившаяся, могла сохраняться в течение многих часов, долго после того, как механизм вознаграждения был выключен. Привычки, однако, не оставались неизменными по форме. Они дрейфовали, как прогрессирующие импровизации органиста. В одном типичном случае суеверная привычка голубя началась как резкое движение головой из среднего положения влево. С течением времени движение стало более энергичным. В конце уже все тело двигалось в том же самом направлении и шаг или два совершалось ногами. После многих часов «топографического дрейфа», это шагание влево стало главной чертой привычки. Сами суеверные привычки, возможно, возникли из естественного набора навыков вида, но все равно справедливо сказать, что выполнение их в этом контексте, и выполнение неоднократное, неестественно для голубей.
Суеверные голуби Скиннера вели себя как статистики, но статистики, которые неверно её поняли. Они были наготове к возможности связи между событиями в их мире, особенно связи между вознаграждением, которое они хотели, и действиями, предпринять которые было в их силах. Привычка, вроде всовывания головы в угол клетки, возникла случайно. Просто случайно оказалось, что птица делала это в момент перед тем, как механизм щелкнет срабатывающий механизм вознаграждения. Достаточно понятно, что птица выдвинула предварительную гипотезу о существовании связи между этими двумя событиями. Поэтому она сунула голову в угол снова. И тут, по случайной воле, механизма выбора времени Скиннера вознагражднение появилось снова. Если бы птица провела эксперимент, не засовывая голову в угол, то обнаружила бы, что вознаграждение все равно появилось. Но ей бы нужно было быть лучшим и более скептическим статистиком, чем многие из нас, людей, чтобы провести этот эксперимент.
Скиннер проводит аналогию с людьми картежниками, у которых развиваются небольшие счастливые «тики» при игре в карты. Подобное поведение – также привычное зрелище на лужайках для игры в шары. Как только рука игрока в шары отпускает «вуд» (шар), игрок больше ничего не может сделать, чтобы способствовать его движению по направлению к «джеку» (целевому шару). Однако опытные игроки почти всегда спешат за своим шаром, часто все еще в согнутом положении, извиваясь и вращая телом, как будто чтобы передать отчаянные наставления уже невосприимчиваому шару, и часто говоря ему бесполезные слова ободрения. Однорукий бандит в Лас Вегасе – это ничто иное, как человеческая коробка Скиннера. «Клевание ключа» представлено не только дерганьем рычага, но также, конечно, и засовыванием монеты в щель автомата. Это действительно игра для дураков, потому что вероятности, как известно, настроены в пользу казино – как еще казино оплачивало бы свои огромные счета на электроэнергию? Выдает или нет данный поворот рычага джекпот, определяет случайность. Это прекрасный рецепт для суеверных привычек. Будьте уверены, если вы понаблюдаете за игроманами в Лас Вегасе, вы увидите движения, весьма напоминающие суеверных голубей Скиннера. Некоторые разговаривают с автоматом. Другие делают ему забавные знаки пальцами, поглаживают или ласкают его руками. Они когда то ласкали его и выиграли джекпот, и они не забыли об этом. Я наблюдал людей с компьютерной зависимостью, с нетерпением ожидавших ответа сервера, которые вели себя подобным образом, скажем, постукивая по терминалу костяшками пальцев.
Человек, рассказавший мне о Лас Вегасе, также провела неофициальное исследование лондонских букмекерских контор. Она сообщает, что один определенный игрок обычно бежит, после того, как сделает ставку, к определенной плитке в полу, где стоит на одной ноге, наблюдая за скачками по букмекерскому телевидению. По видимому он когда то выиграл, стоя на этой плитке, и у него зародилась идея, что чуществует причинная связь. Теперь, если кто то еще стоит на «его» счастливой плитке (некоторые другие спортсмены делают это специально, возможно, пытаясь похитить часть его «удачи», или просто чтобы его подразнить), он танцует вокруг нее, отчаянно стараясь стать на плитку, пока не кончился забег. Другие игроки отказываются менять рубашку или стричь волосы, пока у них «полоса везения». Для сравнения, один ирландский профессиональный игрок, у которого была прекрасная копна волос, побрил ее полностью налысо в отчаянной попытке изменить свою удачу. Его гипотеза была, что ему не везло с лошадьми, и у него было много волос. Возможно, это как то взаимосвязано; возможно, эти факты части значимой системы! Прежде, чем мы почувствуем свое большое превосходство, позвольте напомнить, что многие из нас были воспитаны в вере, что удача Самсона совершенно изменилась, после того как Делила остригла ему волосы.
Откуда мы можем знать, какие наблюдаемые закономерности являются подлинными, а какие случайными и бессмысленными? Методы существуют, и они связаны с наукой статистики и постановки эксперимента. Я хочу уделить немного больше времени, объясняя некоторые принципы, хотя и не детали, статистики. Статистику во многом можно рассматривать искусством отличать систему от случайности. Случайность означает отсутствие закономерности. Есть различные способы объяснить понятия случайности и закономерности. Предположим, что я утверждаю, что могу различить почерк девочек и мальчиков. Если я прав, то это должно означать, что есть реальная закономерность, связывающая пол с почерком. Скептик мог бы усомниться в этом, соглашаясь, что почерк варьирует от человека к человеку, но отрицая, что есть связанная с полом система в этих вариациях. Как вы можете определить, чье утверждение верно, мое или скептика? Бесполезно просто принимать мое слово. Как суеверный игрок из Лас Вегаса, я мог бы легко принять полосу везения за реальное, проверенное умение. В любом случае, у вас есть полное право потребовать доказательств. Какое доказательство должно вас убедить? Ответ – доказательство, которое публично зафиксировано и должным образом проанализировано.
Утверждение, в любом случае, является лишь статистическим. Я не утверждаю (в данном гипотетическом примере – в действительности я не утверждаю ничего), что могу безошибочно судить о поле автора данного образца почерка. Я лишь утверждаю, что среди огромного разброса, существующего среди почерков, некоторые компоненты его вариаций коррелируют с полом. Поэтому даже при том, что я часто буду ошибаться, если вы дадите мне, скажем, 100 образцов почерка, я должен быть способен рассортировать их на мальчиков и девочек точнее, чем можно достичь просто случайным угадыванием. Из этого следует, что для того, чтобы дать оценку любому утверждению, вы оказываетесь перед необходимостью вычислять, насколько вероятно то, что данный результат мог быть достигнут случайным угадыванием. Еще раз, мы должны выполнить вычисления вероятности случайного совпадения.
Прежде чем мы добираемся до статистики, есть некоторые меры предосторожности, которые вы должны принять при планировании эксперимента. Система – неслучайность, которую мы ищем – это закономерность, связывающая пол с почерком. Важно не запутывать задачу посторонними переменными. Образцы почерка, которые вы мне даете, не должны быть, например, личными письмами. Мне было бы слишком легко догадаться о поле автора из содержания письма, а не из почерка. Не выбирайте всех девочек из одной школы, а всех мальчиков из другой. У учеников из одной школы могут быть общие аспекты почерка, усвоенные либо друг от друга, либо от учителя. Это может привести к реальным различиям в почерке, и даже может быть интересно, но они могут быть характерными для различных школ, и только по случайности для различных полов. И не просите, чтобы дети переписали отрывок из любимой книги. Я должен был бы находиться под влиянием выбора между «Черным Красавчиком» и «Biggies» (читатели, детские познания которых отличаются от моих, заменят эти примеры собственными).
Очевидно, важно, что все дети должны быть мне незнакомы, иначе я узнал бы их индивидуальный стиль письма и, следовательно, знал бы их пол. Когда вы передаете мне бумаги, на них не должно быть имен детей, но у вас должны быть какие то способы отследить, какая из них чья. Присвойте им секретных кодов ради ваших же интересов, но будьте осторожны в выборе кодов. Не ставьте зеленую метку на бумагах мальчиков, а желтую – на бумагах девочек. Понятно, что я не буду и знать, где чья, но предположу, что желтый обозначает один пол, а зеленый другой, и это будет большой подсказкой. Было бы хорошей идеей присвоить каждой бумаге кодовый номер. Но не присваивайте мальчикам номера от 1 до 10, а девочкам от 11 до 20; это было бы все равно что те же желтые и зеленые метки. Также не давайте мальчикам нечетные номера, а девочки четные. Вместо этого присвойте бумагам случайные номера и держите список ключей запертым, чтобы я не мог его найти. Эти предосторожности в литературе называются «двойными слепыми» клиническими испытаниями.
Давайте предположим, что все надлежащие двойные слепые меры предосторожности были приняты, и что вы собрали 20 анонимных образцов почерка, перемешанные в случайном порядке. Я разбираю бумаги, сортируя их на две стопки, предполагаемых мальчиков и предполагаемых девочек. Я могу отнести некоторые в категорию «не знаю», но давайте предположим, что вы заставляете меня делать наиболее вероятное предположение, которое я могу в таких случаях. К концу эксперимента я сделал две стопки, и вы просматриваете их, чтобы узнать, насколько я был точен.
Теперь статистика. Вы предполагаете, что довольно часто я угадывал бы правильно, даже гадая просто наобум. Но насколько часто? Если мое заявление, что я могу определить пол по почерку, не обосновано, моя доля догадок должна быть не больше, чем у подбрасывающего монету. Вопрос в том, достаточно ли отличаются мои фактические результаты от результатов подбрасывания монеты, чтобы быть впечатляющими. Вот как приступить к ответу на этот вопрос.
Представьте все возможные способы, которыми я мог бы предположить пол 20 писавших. Перечислите их в порядке величины произведенного на вас впечатления, начиная со всех 20 правильных и опускаясь до совершенно случайного (все 20 неправильных почти столь же впечатляющи, как и все 20 правильных, потому что это показывает, что я могу видеть различия, даже при том, что я своенравно меняю знак на обратный). Затем взгляните на фактический результат моей сортировки, и подсчитайте процент от всех возможных сортировок, которые были бы столь же впечатляющи как фактическая, или больше. Вот как представить все возможные сортировки. Сначала обратите внимание, что есть только один способ быть 100 процентно правым и один способ быть 100 процентно неправым, но есть много способов быть правым на 50 процентов. Можно быть правым относительно первого листка, неправым относительно второго, неправым относительно третьего, правым относительно четвертого… Несколько меньше способов быть правым на 60 процентов. Еще меньше способов быть правым на 70 процентов, и так далее. Число способов сделать единственную ошибку настолько невелико, что мы можем выписать их все. Было 20 рукописей. Ошибка могла быть сделана на первой, или на второй, или на третьей… или на двадцатой. Таким образом, есть ровно 20 способов сделать одну ошибку. Более утомительно записать все способы сделать две ошибки, но мы достаточно легко можем вычислить, сколько их, и их 190. Еще труднее сосчитать способы совершить три ошибки, но вы можете убедиться, что это можно сделать. И так далее.
Предположим, в данном гипотетическом эксперименте, я на самом деле сделал две ошибки. Мы хотим знать, насколько хорош мой результат среди многообразия всех возможных результатов угадывания. То, что мы должны знать – это сколько возможных способов выбора столь же хороши, или лучше, чем моя двадцатка. Число столь же хороших, как мой результат – 190. Число лучших, чем мой результат – 20 (одна ошибка) плюс 1 (без ошибок). Поэтому общее число столь же хороших или лучших, чем мой результатов – 211. Важно добавить способы оценивания лучшие, чем моя фактическая двадцатка, потому что они, в сущности, принадлежат к petwhac, наряду со 190 способами, столь же хорошими как мой.
Мы должны сравнить 211 с общим количеством способов, которыми эти 20 рукописей могли быть распределены с помощью подбрасывания монеты. Это нетрудно подсчитать. Первая рукопись могла принадлежать мальчику или девочке: есть два варианта. Вторая рукопись также могла принадлежать мальчику или девочке. Таким образом, на каждый из этих двух вариантов для первой рукописи было по два варианта для второй. Это 2 x 2 = 4 варианта для первых двух рукописей. Вариантов для первых трех рукописей 2 x 2 x 2 = 8. И возможных способов распределить все 20 рукописей – 2 × 2 × 2… 20 раз, или 2 в 20 степени. Это довольно большое число, 1 048 576.
Итак, среди всех возможных способов предположить пол, доля раскладок, столь же хороших, или лучше, чем мой фактический результат, будет 211 разделенное на 1 048 576, что составляет приблизительно 0.0002, или 0.02 процента. Иными словами, если бы 10 000 человек сортировали рукописи, исключительно бросая монету, можно было бы ожидать, что лишь два из них достигли бы результата, столь же хорошего, как я. Это означает, что мой результат производит довольно большое впечатление, и, если бы я достиг такого, то это было бы убедительным доказательством, что мальчики и девочки систематически отличаются по почерку. Позвольте мне повторить, что все это гипотетически. Насколько я знаю, у меня нет такой способности определять пол по почерку. Я должен также добавить, что, даже если бы были убедительные доказательства различия полов в почерке, это ничего не говорило бы о том, является ли это различие врожденным или приобретенным. Доказательства, по крайней мере если бы они были получены из эксперимента, вроде только что описанного, одинаково согласовывались бы с идеей, что девочек систематически учат почерку, отличному от мальчиков – возможно, более «изысканному» и менее «напористому».
Мы только что выполнили то, что технически называют проверкой статистической значимости. Мы исходили из основных принципов, что сделало это довольно утомительным. Практически, исследователи могут пользоваться таблицами вероятностей и распределений, которые были предварительно рассчитаны. Поэтому мы не должны буквально записывать все возможные способы, которыми события могли произойти. Но базовая теория, основание, на котором были рассчитаны таблицы, зависит, в основном, от той же фундаментальной процедуры. Возьмите события, которые могли иметь место, и запустите их многократно случайным образом. Посмотрите на фактический способ, которым событие произошло, и оцените, насколько он экстремален среди многообразия всех возможных способов, которыми оно могло быть запущено.
Обратите внимание, что проверка статистической значимости ничего не доказывает окончательно. Она не может исключить везение в качестве генератора результата, который мы наблюдаем. Лучшее, что она может сделать – это поставить наблюдаемый результат на ровне с определенной степенью везения. В нашем отдельном гипотетическом примере, это равное положение – два из 10 000 случайных угадывателей. Когда мы говорим, что эффект статистически достоверен, мы должны всегда указывать так называемое p значение. Это вероятность, что чисто случайный процесс произвел бы к результат, по крайней мере столь же впечатляющий как фактический результат. P значение 2 к 10 000 довольно впечатляюще, но тем не менеее возможно, чтобы при этом не было никакой настоящей закономерности. Красота выполнения надлежащей статистической проверки состоит в том, что мы узнаем, насколько вероятно, что в данном случае нет никакой подлинной закономерности.
Обычно ученые позволяют себе поддаться влиянию p значения 1 к 100, или даже столь высоким как 1 к 20: намного менее впечатляющему, чем 2 к 10 000. Р значение, которое вы принимаете, зависит от того насколько важным является результат, и от того, какое решение может за этим последовать. Если все, что вы стараетесь решить – это стоит ли повторять эксперимент с большей выборкой, p значение 0.05, или 1 к 20, вполне приемлемо. Даже при том, что есть 1 шанс из 20, что ваш интересный результат произошел как нибудь случайно, не многое поставлено на карту: ошибка обойдется не дорого. Если решение – вопрос жизни и смерти, как при некоторых медицинских исследованиях, следует искать намного более низкое p значение, чем 1 к 20. То же самое верно для экспериментов, имеющих целью продемонстрировать очень спорные результаты, вроде телепатии или «паранормального» воздействия.
Как мы вкратце выяснили в связи с фингерпринтингом ДНК, статистики отличают ложноположительные от ложноотрицательных ошибок, иногда называемые ошибками типа 1 и типа 2 соответственно10. Ошибка типа 2, или ложноотрицательная – это необнаружение эффекта, когда тот действительно есть. Ошибка типа 1, или ложноположительная, напротив – заключение, что действительно что то имеет место, когда на самом деле нет ничего, кроме случайности. P значение – мера вероятности, что вы сделали ошибку типа 1. Статистическое суждение означает удержание среднего курса между двумя видами ошибки. Есть ошибка типа 3, при котором ваш разум полностью заходит в тупик всякий раз, когда вы стараетесь вспомнить, какой из типов 1, а какой 2. Я до сих пор подсматриваю это, после долгих лет использования. Поэтому там, где это имеет значение, я буду применять более легко запоминаемые названия, ложноположительный и ложноотрицательный. Я также, между прочим, часто делаю ошибки в арифметике. Практически мне нечего и мечтать о выполнении статистической проверки, начиная с основных принципов, как я сделал для гипотетического случая почерка. Я бы предпочел всегда искать в таблице, которую кто то еще – желательно компьютер – рассчитал.
Суеверные голуби Скиннера делали ложноположительные ошибки. Не было фактически никакой системы, которая действительно связывала бы их действия с выдачами вознаграждающего механизма. Но они вели себя, как будто обнаружили такую закономерность. Один голубь «думал» (или вел себя, как будто думал), что отступая влево, он заставлял механизм выдавать вознаграждение. Другой «думал», что засовывание ее головы в угол имело тот же полезный эффект. Оба делали ложноположительные ошибки. Ложноотрицательную ошибку делал бы в коробке Скиннера голубь, который вовсе не замечал бы, что клевание ключа приносит пищу, если включен красный свет, но что клевание при включенном синем свете наказывается выключением механизма на десять минут. Есть настоящая закономерность, ожидающая, когда ее обнаружат, в маленьком мире данной коробки Скиннера, но наш гипотетический голубь ее не обнаружил. Он клюет без разбора при любом свете, и поэтому получает вознаграждение реже, чем мог бы.
Ложноположительную ошибку совершает фермер, который думает, что жертвоприношение богам приносит долгожданный дождь. Фактически, я предполагаю (хотя я не исследовал вопрос экспериментально), что нет такой закономерности, но он не обнаруживает этого и упорствует в принесении своих бесполезных и разорительных жертв. Ложноотрицательную ошибку совершает фермер, который не замечает, что есть закономерность, связывающая удобрение поля навозом с последующей урожайностью этого поля. Хорошие фермеры лавируют промежуточным путем между ошибками типа 1 и типа 2.
Я утверждаю, что все животные, в большей или меньшей степени, ведут себя как интуитивные статистики, выбирая промежуточный курс между ошибками типа 1 и типа 2. Естественный отбор штрафует и ошибки типа 1, и ошибки типа 2, но штрафы не симметричны, и, без сомнения, варьируют в зависимости от различных образов жизни видов. Гусеница сучок так похожа на ветку, на которой она сидит, что мы не сомневаемся, что естественный отбор придал ей форму, напоминающую ветки. Многие гусеницы погибли, чтобы произвести этот красивый результат. Они погибли, потому что недостаточно напоминали ветку. Птицы, или другие хищники, распознали их. Даже некоторые очень хорошие имитаторы веток, должно быть, были выявлены. Как еще естественный отбор продвигал эволюцию к высшей степени совершенства, которую мы видим? Но, в равной мере, птицы, должно быть, много раз не замечали гусениц, потому что те напоминали ветки, в некоторых случаях лишь слегка. Любое животное добыча, как бы хорошо оно ни маскировалось, может быть обнаружено хищниками при идеальных условиях наблюдения. В равной мере, любое животное добыча, как бы плохо оно ни маскировалось, может быть пропущено хищниками при плохих условиях наблюдения. Условия наблюдения могут изменяться в зависимости от угла (хищник может обнаружить хорошо замаскированное животное, глядя прямо на него, но не заметит плохо замаскированное видимое им краем глазу). Они могут изменяться в зависимости от интенсивности освещения (добыча может быть пропущена в сумерках, тогда как была бы замечена в полдень). Они могут изменяться с расстоянием (добыча, которая была бы замечена с шести дюймов, может быть пропущена с расстояния 100 ярдов).
Представьте себе птицу, летящую по лесу в поисках добычи. Ее окружают веточки, очень немногие из которых могли бы быть съедобными гусеницами. Проблема в выборе. Мы можем предположить, что птица могла бы гарантированно различить, была ли предполагаемая ветка на самом деле гусеницей, если бы приблизилась к ней по настоящему близко и подвергла бы ее в течение минуты усиленному осмотру при хорошем свете. Но нет времени, чтобы проделать это со всеми ветками. Маленькие птицы с высоким метаболизмом должны находить пищу пугающе часто, чтобы остаться в живых. Любая птица, разглядывающая каждую отдельную ветку аналогом лупы, умрет от голода, прежде чем найдет свою первую гусеницу. Эффективный поиск требует более быстрого, более поверхностного и скоротечного осмотра, даже при том, что это несет риск не заметить некоторую пищу. Птица должна соблюдать баланс. Слишком поверхностно – и она никогда ничего не найдет. Слишком детально – и она обнаружит каждую гусеницу, на которую смотрит, но она проверит слишком немногих и будет голодать.
Легко выразить это на языке ошибок типа 1 и типа 2. Ложноотрицательную ошибку совершает птица, которая проносится над гусеницей, не взглянув на нее поближе. Ложноположительную совершает птица, которая сосредотачивается в на предполагаемой гусенице, только чтобы обнаружить, что это на самом деле ветка. Штраф за ложноположительную ошибку – время и энергия, потраченные впустую при подлетах для близкого осмотра: не серьезный в каждом отдельном случае, но он может роковым образом накапливаться. Штраф за ложноотрицательную ошибку – незамеченная пища. Ни одна птица за пределами Тучекукуйщины11 не может надеяться быть свободной от ошибок типа 1 и типа 2. Каждая особь птицы будут запрограммирована естественным отбором проводить некоторую компромиссную политику, рассчитанную, чтобы достичь оптимального промежуточного уровня ложноположительных и ложноотрицательных ошибок. У некоторых птиц могут преобладать ошибки типа 1, у других – противоположные. Некоторое промежуточные настройки будут лучшими, и естественный отбор направит эволюцию в этом направлении.
То, какие промежуточные настройки являются лучшими, будет меняться от вида к виду. В нашем примере это будет также зависеть от условий в лесу, например, от величины популяции гусениц относительно количества веток. Эти условия могут изменяться от недели к неделе. Или они могут изменяться от леса к лесу. Птицы могут быть запрограммированы учиться регулировать свою политику в результате их статистического опыта. Учатся ли они или нет, успешные охотящиеся животные должны как правило вести себя, как если бы они были хорошими знатоками статистики. (Кстати, я надеюсь, что нет необходимости прибегать к обычным оговоркам: нет, нет, птицы сознательно не занимаются вычислениями с таблицами вероятности и калькулятором. Они ведут себя, как если бы рассчитали p значения. Они не больше знают, что означает p значение, чем вы знаете об уравнении параболической траектории, когда ловите крикетный шар или бейсбольный мяч в дальней части поля.)
Рыба удильщик пользуется доверчивостью маленькой рыбы, такой как бычок. Но это – недобросовестный, основанный на ценностных суждениях способ выразить проблему. Было бы лучше не говорить о доверчивости, а сказать, что они используют неизбежные трудности, которые некоторые рыбы испытывают при удержании курса между ошибками типа 1 и типа 2. Маленькой рыбе самой нужно есть. То, что они едят, различается, но часто включает маленькие извивающиеся объекты, вроде червей или креветок. Их глаза и нервные системы настроены на извивающиеся предметы. Они ищут извивающиеся движения и, если видят их, набрасываются. Рыба удильщик использует эту склонность. У нее длинная удочка, эволюционировавшая из видоизмененного позвонка, реквизированного естественным отбором из его первоначального местоположения впереди спинного плавника. Сама рыба удильщик хорошо замаскирована и порой часами сидит неподвижно на морском дне, совершенно сливаясь с водорослями и скалами. Единственная ее заметная часть – это «приманка», похожая на червя, креветку или маленькую рыбу, на конце ее удочки. У некоторых глубоководных видов приманка даже люминесцентная. В любом случае, она, похоже, извивается как нечто заслуживающее быть съеденным, когда удильщик качает своей удочкой. Возможная рыба жертва, скажем, бычок приманивается. Удильщик некоторое время «играет» со своей добычей, чтобы привлечь ее внимание, затем опускает наживку во все еще не вызывающую подозрений зону перед своим собственным невидимым ртом, и маленькая рыба часто следует за ней. Внезапно этот огромный рот перестает быть невидимым. Он полностью разевается, яростно втягивает воду, засасывая каждый проплывающий поблизости объект, и червь, за которым гонится маленькая рыба, становится для нее последним.
С точки зрения ловимого бычка, любого червя можно пропустить или увидеть. Как только «червь» был обнаружен, он может оказаться или реальным червем, или приманкой рыбы удильщика, и несчастная рыба сталкивается с дилеммой. Ложнотрицательная ошибка состояла бы в том, чтобы воздержаться от нападения на вполне хорошего червя, из страха, что это может быть приманка рыбы удильщика. Ложноположительная ошибка состояла бы в том, чтобы напасть на червя, только чтобы обнаруживать, что это действительно приманка. Еще раз, в реальном мире невозможно все время правильно распознавать. Слишком нерасположенная к риску рыба будет голодать, потому что никогда не нападает на червей. Слишком безрассудная рыба не будет голодать, но она может быть съедена. Оптимум в данном случае может не лежать посередине. Более удивительно, что оптимум может быть одной из крайностей. Возможно, чтобы рыбы удильщики были достаточно редки, чтобы естественный отбор благоприятствовал экстремальной стратегии нападения на всех наблюдаемых червей. Мне нравится ремарка философа и психолога Уильяма Джеймса по поводу человеческой рыбной ловли:
Есть больше червей, ненасаженных на крючок, чем проткнутых им; поэтому, в общем и целом, говорит Природа своим детям рыбам, клюйте на любого червя и пытайте свое счастье.
|
