Исследовательская работа на тему: Магические квадраты
Скачать 362.69 Kb.
|
Симметрические квадраты Если известен способ построения квадратов порядка m и порядка n,то можно построить квадрат порядка m×n.Суть этого способа показа на рисунке. Здесь m=3 и n=3.Исходный квадрат 3-го порядка строится методом де ла Лубера. В клетку с числом 1‘ (центральную клетку верхнего ряда) вписывается квадрат 3-го порядка из чисел от 1 до 9,также построенный методом де ла Лубера. В клетку с числом 2‘ (правую в нижней строке) вписывается квадрат 3-го порядка с числами от 10 до 18;в клетку с числом 3‘- квадрат из чисел от 19 до 27 и т.д. В результате мы получили квадрат 9-го порядка. Такие магические квадраты называются составными. Узоры магических линий Американский архитектор Клод Ф.Брэгдон обнаружил, что, соединив в порядке возрастания чисел центры клеток магического квадрата ломаной линией, в большинстве случаев получится изящный узор. Для квадратов больших порядков можно соединить клетки только с чётными или только с нечётными. Вот примеры подобных орнаментов из магических линий. Интересный узор можно получить, если соединять линиями (не обязательно прямыми) все группы чисел, образующих при сложении магическую сумму. Приложение №2 Разнообразие магических квадратов. Симметрические квадраты Определение. Если в магическом квадрате n-го порядка сумма двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата постоянна и равна  +1,то он называется симметрическим (или связанным).Симметрическими будут все квадраты, построенные по методу А. де ла Лубера и все квадраты порядка двойной чётности, построенные по диагональному методу. Вместе с тем доказано, что симметрических магических квадратов порядка простой чётности (n=6;10;14…) не существует. Таковым является квадрат 4-го порядка, изображённый на гравюре «Меланхолия» немецкого художника Альбрехта Дюрера. 16+1=10+7=6+11=4+13=  +1Дополнительное условие позволяет выделить в квадрате много групп из четырёх чисел помимо строк, столбцов и главных диагоналей, сумма которых также равна магической постоянной квадрата 34. Таковы, например, четыре числа, расположенные в вершинах всего квадрата (16+13+1+4),четыре числа в вершинах каждого квадрата 3-го порядка (16+2+7+9, 3+13+12+6, 5+11+14+4, 10+8+1+15) и четыре числа в каждом из маленьких квадратов 2×2, расположенных в углах большого квадрата (16+3+10+5, 2+13+8+11, 9+6+15+4, 7+12+1+14). Совершенные квадраты Определение: магический квадрат называется совершенным, если условие равенства сумм кроме обычных двух диагоналей квадрата дополнительно распространяется на распадающиеся на части или «ломаные» диагонали (диагонали, образующиеся при сворачивании квадрата в тор). Магический квадрат не теряет своего «совершенства», если над ним производить следующие преобразования:
Путём одного горизонтального разреза и одного вертикального разреза и описанного переноса любой элемент квадрата можно поместить в любую заранее заданную клетку. Единственный магический квадрат третьего порядка не совершенный, а из 880 магических квадратов четвёртого порядка совершенных – 48.Известно также, что совершенных магических квадратов пятого порядка 3600 и более 6,5 миллиардов совершенных квадратов восьмого порядка. Совершенных квадратов порядка простой чётности (n=6;10;14…) не существует. Развлечения Бенджамина Франклина Составлением магических фигур, причём не только квадратов, увлекался в свободное время американский общественный деятель, дипломат, учёный Бенджамин Франклин (1706-1790).Ему принадлежит интересные находки в этой области. Приведём для примера два его достижения в области «квадратостроения»: 8-го и 16-го порядка. Магическая сумма этого квадрата равна 260,но он обладает рядом дополнительных свойств:
Ещё более удивителен квадрат 16×16,который Франклин составил за один вечер. Магическая сумма равна 2056.Если вырезать в листе бумаги квадратное отверстие 4×4 и наложить этот лист на большой квадрат так, чтобы 16 чисел большого квадрата и попали в прорезь, то сумма этих чисел будет одна и та же, равная 2056,куда бы мы ни передвигали наш лист с прорезью по большому квадрату. Этому же значению равны суммы вдоль ломанных, как и в квадрате 8-го порядка, от 64 до 52 вверх-вправо и от 77 вниз-вправо до 65,а также по ломанным параллельным этой и полученным из них поворотами на 90°,180,°270°. Магические квадраты из непоследовательных чисел Классические магические квадраты строятся для последовательных чисел от 1 до  также квадрат ,построенный из любых других чисел,если только сохраняется равенство сумм по строкам, столбцам и двум главным диагоналям.Натуральный ряд чисел – это строгий порядок, магический квадрат – это чёткая закономерность. Последовательные числа натурального ряда, являются арифметической прогрессией с первым членом, равным единице и разностью равной единице. Обобщая, легко доказать, что магический квадрат, например, третьего порядка можно составить из 9 порядковых членов любой арифметической прогрессии с первым членом a и разностью d,т.е. фактически построить его исходя первоначально из двух чисел (a,d).Магическая сумма в этом случае определяется по формуле S=3(a+4d).Расставить члены прогрессии по клеткам квадрата можно по методу Баше. Возьмём, для примера, a=5, d=2, соответствующий ряд чисел 5,7,9,11,13,15,17,19,21, образует следующий магический квадрат. А можно ли составить магический квадрат из чисел, не являющихся членами одной арифметической прогрессии? Наиболее общее утверждение о существовании магического квадрата третьего порядка из непоследовательных чисел звучит так: для существования магического квадрата из 9 попарно различных чисел необходимо и достаточно, чтобы данные числа имели вид: a,a+n,a+2n,a+d,a+n+d,a+2n+d,a+2d,a+n+2d,a+2n+2d. Показанный квадрат однозначно определяется тремя числами. Можно записать его несколько иначе, если исходить из заранее заданной магической суммы. Магический квадрат третьего порядка можно составить с любой, заданной магической суммой, при условии, что это число делится на три. Если магическая сумма равна 3,то квадрат однозначно определяется тремя числами a,b,n,причём числа a и b вы выбираете сами. Клетки квадрата заполняются в соответствии с формулами. Магические квадраты из простых чисел Определение: натуральное число называется простым, если оно делится только на единицу и само на себя. Первый магический квадрат не из последовательных чисел, а только из простых чисел встречается в книгах известных мастеров головоломок Сэма Ллойда и Генри Дьюдени. Кто из них был первым, вопрос спорный и для нас не главный. Магическая сумма равна 111, с меньшей суммой из простых чисел магического квадрата нет. Однако простые числа в квадрате не последовательные. В показанном далее квадрате четвёртого порядка пропущены простые числа 43,59,61,67. Возникает вопрос: можно ли построить магический квадрат из последовательных нечётных простых чисел? В 1913 году Дж.Н.Манси составил квадраты из простых чисел 5-го,6-го,…,12-го порядка и только в последнем добился, чтобы простые числа шли без пробелов в их ряду. Манси доказал, что наименьший магический квадрат из последовательных простых чисел должен иметь порядок 12. Вот этот магический квадрат, составленный из 144 первых простых нечётных чисел.S=4514. Все, показанные здесь магические квадраты из простых чисел, имеют существенный математический недостаток – в них входит единица, которая, строго говоря, не является простым числом. Это побуждает математиков продолжать поиски более совершенных вариантов. В настоящее время найдено более 100 арифметических прогрессий из 9 и более простых чисел. Из членов каждой такой прогрессии можно составить магический квадрат, например: Здесь  =199,d=210,сумма трёх чисел по всем направлениям равна 3177.В 1969 году математик S.C.Root (США) нашёл арифметическую прогрессию из 16 простых чисел, первый член которой  d=223 092 870.Получается следующий квадрат с суммой 15 637 321 864. Двойные и тройные магические квадраты Для некоторых значений n,не меньше восьми, можно построить такой магический квадрат n-го порядка, что если числа в каждой его клетке заменить их квадратами, то получившийся в результате квадрат также будет магическим. Такие магические квадраты называют двойными. Здесь показан двойной магический совершенный квадрат восьмого порядка с магической суммой 260,а магическая сумма квадратов этих чисел будет равна 11180. Исследователи искали также такие магические квадраты, которые оставались бы магическими при замене исходных чисел, как их квадратами, так и их кубами. Такие магические квадраты называют тройными. Наименьший из известных тройных магических квадратов имеет порядок 32. Латинские квадраты Определение: латинским квадратом называется квадратная таблица, состоящая из n различных чисел, всех по n раз, расположенных так, что в каждой строке и в каждом столбце каждое число встречается только один раз. Отсюда следует вывод, что в латинском квадрате суммы по строкам и столбцам равные, а по диагоналям не обязательно такие же. Определение: латинский квадрат называется диагональным, если все элементы каждой диагонали попарно различны (так же, как элементы каждой строки и каждого столбца). Составление Изучение латинских квадратов много занимался великий математик Леонард Эйлер (1707-1783),который дал им это название. Решая задачи в общем виде, он вместо конкретных чисел писал в клетках квадрата латинские буквы. Составить латинский квадрат гораздо проще, чем магический. В первой строке выписываем числа в порядке возрастания, во второй – со сдвигом вправо на одно место, возвращая последнее число на первое место в строке и т.д. Получится самый примитивный латинский квадрат. Этим методом мы получаем простой, не диагональный латинский квадрат, один из великого множества. Есть более изощрённый способ составления латинского квадрата для значений n=p-1,где простое число, т.е. N=4,6,10,12,16 и т.д. Пронумеруем строки квадрата сверху вниз и столбцы слева направо числами от 1 до n.На пересечении строки с номером a и столбца с номером b поставим остаток произведения ab на p.Так как номера строк и столбцов положительные числа, не делящиеся на p,то в клетках будет стоять числа от 1 до n.Докажем, что в каждой строке стоят разные числа. Доказательство ведём методом от противного: пусть в строке a стоят два равных числа, например, в столбцах c и e,это означает, что числа ac и ae имеют равные остатки при делении на p и их разность a(c-e) делится на p.Но оба сомножителя отличны от нуля и по абсолютной величине меньше p.Следовательно, получили противоречие p-простое число и делимость не может иметь место. Доказательство для столбцов повторяется слово в слово. Второй метод дал нам снова не диагональный квадрат. Третий алгоритм составления латинских квадратов. Пусть n-произвольное натуральное число, не имеющее общих c n делителей, больших единицы. Поместим на пересечении строки с номером a и столбца с номером b остаток от деления на n числа ak+b.Если остаток равен 0, то в соответствующую клетку поместим число n. Доказательство, что подобным методом будет построен латинский квадрат аналогично предыдущему. На этот раз повезло, квадрат оказался диагональным. Общее число латинских квадратов Введя определение и рассмотрев примеры построения латинских квадратов, уместно поставить вопрос об их количестве в зависимости от порядка. Существует два латинских квадрата второго порядка. Причём они симметричны как сиамские близнецы. Для определения количества квадратов третьего порядка, сначала построим один специфический, з которого все остальные получаются перестановками строк и столбцов. Впишем числа 1,2,3 в порядке возрастания в первую строчку и в первый столбик, заполнение оставшихся четырёх клеток происходит однозначно. Из полученного квадрата перестановкой столбцов получается 6 различных расположений цифр, и при каждом расположении столбцов перестановкой второй и третьей строк – ещё две модификации. Итак, существует всего 6×2=12 различных латинских квадратов 3-го порядка. Если для квадрата 4-го порядка мы выпишем цифры по аналогии в первую строчку и в первый столбец в порядке возрастания, то остальные клетки заполнить однозначно уже не удаётся, получается четыре различных варианта. Четыре столбца можно переставить между собой 24 способами, а при фиксированном расположении столбцов вторую, третью и четвёртую строчки можно переставить 6 способами. Поэтому, начиная с каждого показанного размещения можно получить 144 латинских квадрата, а всего латинских квадратов четвёртого порядка насчитывается 576. Количество латинских квадратов быстро растёт с увеличением порядка. Известно, что существует не менее n!(n-1)!(n-2)!...2!1! Латинских квадратов размером n×n. Особенности На следующем рисунке показаны два латинских квадрата 4×4,обладающие интересной особенностью: если один квадрат наложить на другой, то все пары получившихся чисел оказываются различными. Перейдём от конкретных чисел к буквам. Шестнадцать клеток в одном квадрате заполним латинскими буквами a,b,c,d так, чтобы получился латинский квадрат, а клетки второго квадрата заполним греческими буквами α,β,γ,δ. Если наложить квадраты друг на друга, то получится, что каждая латинская буква появляется один и только один раз в паре с каждой греческой буквой. Два или более латинских квадратов, которые можно так попарно скомбинировать друг с другом, называются ортогональными, а получившийся комбинированный квадрат принято называть греко-латинским. Греко-латинские квадраты Определение: квадратная таблица, в каждой ячейке которой расположены различные пары чисел так, что первые и вторые компоненты этих пар образуют в отдельности латинские квадраты, называется греко-латинским квадратом. Таким образом, для получения греко-латинского квадрата нужно составить два латинских ортогональных квадрата и наложить их друг на друга. Вся трудность заключена именно в поиске ортогональных латинских квадратов. В последние годы жизни Леонард Эйлер написал обширное «Исследование магических квадратов нового типа». Он впервые поставил задачу отыскания ортогональных латинских квадратов в следующей формулировке. «Среди 36 офицеров поровну уланов, драгунов, гусаров, кирасиров, кавалергардов и гренадеров и, кроме того, поровну генералов, полковников, майоров, капитанов, поручиков и подпоручиков, причем каждый род войск представлен офицерами всех шести рангов. Можно ли выстроить этих офицеров в каре 6×6 так, чтобы в любой колонне и любой шеренге встречались офицеры всех рангов и всех родов войск?» Сформулировав задачу, Эйлер не смог найти её решение, но он доказал, что ортогональные пары латинских квадратов существуют для всех нечётных значений n и для таких четных значений n,которые делятся на 4.В частности он решил подобную задачу для 25 офицеров пяти рангов и пяти родов войск. Эйлер выдвинул гипотезу, что для остальных значений n,т.е. если число n при делении на 4 даёт в остатке 2,ортогональных квадратов не существует. Для n=2 в первой клетке может стоять 1 или 2 и этим определены все остальные клетки. Разных вариантов получается только два, но они не ортогональны. В 1901 году французским математиком Гастоном Тарри было доказано, что ортогональных квадратов размером 6×6 не существует. Доказательство было проведено очень трудоёмким методом полной индукции, т.е. перебором всех возможных вариантов и пар квадратов. Следующий неизученный случай n=10 оказался уже слишком сложным для такого исследования и находился за пределами возможностей даже появившихся к тому времени ЭВМ. В 1959 году машина SWAC,проработав 100 часов, не нашла ни одной пары ортогональных квадратов 10-го порядка, но в том же году группе математиков удалось составить греко-латинский квадрат 10-го порядка и тем самым через 177 лет опровергнуть гипотезу Эйлера. Далее процесс пошёл быстрее, да и скорости ЭВМ возрастали день ото дня, и вскоре были найдены греко-латинские квадраты 14,18,22 порядка. Квадромагичечкий числовой квадрат Показанный на рисунке квадрат 4-го порядка не является магическим в обычном понимании этого слова, т.к. суммы чисел по строчкам и столбцам получаются разные. Если же посчитать суммы четырёх чисел в любом выделенном из него квадратике 2×2 (назовём его подквадрат 2-го порядка), то получим одно значение равное 34. Определение: числовой квадрат n-го порядка (n>2) называется квадромагическим, если сумма четырёх чисел в любом его подквадрате 2-го порядка одна и та же. Не трудно установить, что у квадрата n-го порядка можно выделить  подквадратов 2-го порядка.Построить квадромагический квадрат очень просто. Расставим числа от 1 до по порядку в клетках квадрата, предварительно закрашенных в шахматном порядке. Числа, стоящие на закрашенных клетках, оставим на своих местах, а каждое, из стоящих на белых клетках, поменяем местами с центрально симметричным ему числом. Вот и всё! Получается квадромагический квадрат, причём этот метод универсален и применим для построения квадромагического квадрата любого порядка.Общая формула для магической суммы квадрата n-го порядка: S=a+b+c+d=a+ -a+-d+2=2(+1).Мультипликативные магические квадраты Определение: мультипликативные квадраты-квадраты, в которых натуральные неповторяющиеся числа расставлены так, что произведение чисел в каждой строке, в каждом столбце и по обеим диагоналям одинаковое. Самый простой способ построения подобного квадрата состоит в использовании известного правила умножения степеней: при перемножении степеней с одинаковым основанием основание остаётся то же, а показатели складываются. Берём традиционный магический квадрат третьего порядка и рассматриваем его числа как показатели степени некоторого основания, например, числа 2. В результате образуется квадрат с одинаковыми произведениями. Постоянное произведение по всем рядам и двум диагоналям этого квадрата равно 32768. Таким образом, любой магический квадрат с постоянной суммой можно превратить в некоторый квадрат с постоянным произведением. Усовершенствуя этот способ построения мультипликативного магического квадрата, можно построить подобный квадрат из членов произвольной геометрической прогрессии, определяемой двумя числами a и q,где a-первый член геометрической прогрессии,q-её знаменатель. Расставляем члены прогрессии a,aq,  в сетку квадрата по методу Баше.Получается магический квадрат с постоянным произведением P=  Ещё одна схема построения квадрата получается почленным слиянием двух исходных квадратов с разным основанием степеней. Постоянное произведение P=  Заменяя a=2,b=3,получим квадрат с произведением 216. |
Похожие:
 | Магический, или волшебный квадрат — это квадратная таблица, заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом... |  | Общие задачи криминалистики реализуются в конкретных основных целевых направлениях уголовно-процессуальной деятельности, а именно... |
| Внеаудиторная самостоятельная работа студентов – планируемая учебная, учебно-исследовательская, научно-исследовательская работа студентов,... | | Внеаудиторная самостоятельная работа студентов – это планируемая учебная, учебно-исследовательская, научно-исследовательская работа... |
| Обзор индикаторов налоговой нагрузки, применяемых в России, за рубежом и предлагаемых в теоретических научно-исследовательских работах... | | Московское государство испытало страшное потрясение, поколебавшее самые глубокие его основы. Этот период известен в отечественной... |
| Теоретические подходы к исследованию деловой репутации работников и организации | | Целью данной работы является исследование возникновения и употребления молодёжного жаргона, его особенностей и лексических новаций;... |
| Зарубежный и отечественный опыт отбора персонала при приеме на работу | | Зарубежный и отечественный опыт отбора персонала при приеме на работу |