Исследовательская работа на тему: Магические квадраты
Скачать 362.69 Kb.
|
Магический квадрат второго порядка не существует В этом легко убедиться испытанием. Учитывая симметрию квадрата, абсолютно безразлично, в какой из четырёх углов мы поставим 1,допустим в левый нижний угол. В расположении чисел по одной диагонали возможны три варианта: Какое бы теперь число мы ни поставили в левый верхний угол, суммы чисел в первой строке и в первом столбце будут разными. Вывод: магический квадрат второго порядка не существует. Существует только один магический квадрат 3-го порядка Представим квадрат 3×3 в общем виде и выясним, какими могут быть эти девять чисел. Из формулы магической суммы следует, что при n=3,S=15.Просуммируем числа второй строки, второго столбца и обеих диагоналей. В эту сумму каждое число, кроме  входит по одному разу, а число  - четыре раза. =4S=60Перегруппируем слагаемые:  1+2+3+4…+9+3  3 =15, =5.Однозначно в центре может стоять только число 5. Число 9 не может стоять в углу. Если, например,  =9,тогда  = 1 (  =9+5+=15).Квадрат примет вид: 9+  =15,=6, <6 и  <69+  + 15,+ =6,<6 и <6Но у нас осталось только три числа меньше шести:2,3,4.Получили противоречие. Следовательно, число 9 должно находиться в середине строки или столбца (но не в центре квадрата, там уже стоит число 5). Число 7 не может стоять в одной строке с числом 9,так как тогда сумма чисел этой строки больше 15.Число 7 не может стоять в одной строке с числом 1,так как тогда третье число в этой строке должно быть также семёркой. Выходит, что число 7 не может стоять в углу и автоматически определяет противолежащее число, это будет число 3. Осталось определить на свои места числа 2,4,6,8.Из них в одной строке с 9 могут стоять 2 и 4,а в одной строке с 1-6 и 8. Кроме того, число 8 не может стоять в одном столбце с числом 7,так как 8+7 уже равно 15.Значит =6,=8,=2,=4.В результате получаем квадрат уже известный нам. Как видим из наших рассуждений, других вариантов расстановки просто нет. Все видимые модификации магического квадрата 3-го порядка получаются в результате поворотов или симметричных отображений. Таких модификаций всего восемь: повороты на 90°,180°,270° и для каждого, включая исходный квадрат, - его зеркальное отражение. Общее число магических квадратов С возрастанием порядка, количество различных магических квадратов увеличивается очень резко. Несимметричных магических квадратов четвертого порядка существует 880, с учетом поворотов и отражений это число увеличивается до 7040. По последним данным для магических квадратов пятого порядка существует 275 305 224 возможных вариантов. Установление формулы для вычисления общего числа различных магических квадратов более высокого порядка – это одна из труднейших задач занимательной математики и на данный момент она не решена. Даже развитие компьютерной техники с миллионами операций в секунду не очень-то продвинуло людей в этом вопросе. Результаты, проделанной работы. Проделав такую масштабную работу мы можем с уверенностью заявить, что помимо знаний эта работа привнесла в нашу ученическую жизнь большее.
Мы выявили следующее применение магических квадратов: 1)Защита информации. Сегодня очень актуальна проблема защиты информации. С помощью магического квадрата можно закодировать информацию. Например, (рис. 25) получится : «буду в семь». 2)Судоку – Мудрость Востока. Считается, что популярная игра «судоку» берет свое начало именно из магического квадрата. 3)Магические квадраты находят своё применение и в агротехнике. Заключение.
Трудно понять классическую музыку без подготовки. Нелегко воспринимать абстрактную живопись, не имея представления о её законах. То же можно сказать о числовых узорах. Удивительная, поистине, магическая красота, содержащаяся в магических квадратах, влечёт к себе лучшие умы человечества в течение тысячелетий. Понять её не всякому дано, но один раз осознав стройность и безжалостную строгость чисел, связанных узами магии, можно получить огромное удовольствие. Мы очень много узнала нового, но на самом деле это ничтожно малая частица такой просторной и бесконечной науки, как математика. Мы благодарны за возможность, которую нам предоставил наш учитель, - участие в проекте. В ходе работы над ним, мы почерпнули знания, которые не преподаются в школьной программе, мы изучили другие пособия по математике, для лучшего результата, познакомились с ребятами из младших классов (в ходе тестирования), в свою очередь этот вид деятельности помог ребятам из параллельных классов сплотиться между собой. Возможно, кто- то из них станет великим астрологом, дизайнером или математикиком? Список литературы и интернет-ресурсов:
Приложение №1 4. Методы составления магических квадратов. Метод Баше для квадратов нечётного порядка Самый простой приём составления магических квадратов нечетного порядка придумал в XVII веке французский математик Клод Гаспар Баше. 1)Квадрат дополняется вспомогательными клетками с четырех сторон «лесенкой» или «террасами». 2)Последовательные числа от 1 до  выписываются ряд за рядом в направлении, параллельном одной из диагоналей квадрата.3)Числа, оказавшиеся за рамками квадрата, нужно ввести внутрь. Для этого «террасы» мысленно вдвигаем в квадрат так, чтобы они примкнули к противолежащим сторонам квадрата. Способ Баше очень прост. На практике его можно применять для построения нечётных квадратов сколь угодно высокого порядка, но он дает только один из множества возможных вариантов. Метод А. де ла Лубера для квадратов нечётного порядка Ещё один, довольно простой, способ составления магических квадратов нечётного порядка в одних книгах называется индийским (якобы его знали в Индии ещё до нашей эры). В других, авторство признаётся за французским геометром А. де ла Лубером, служившим посланником короля Людовика XIV в Сиаме (ныне Таиланд) в период 1687 – 1688г.г. Этот способ определяется следующими правилами: 1)В середине верхней строки пишут 1,а в самом низу соседнего справа столбца – 2. 2)Следующие числа пишут по порядку в диагональном направлении вправо вверх. 3)Дойдя до правого края квадрата, переходят к крайней левой клетке ближайшей вышележащей строки. 4)Дойдя до верхнего края квадрата, переходят к самой нижней клетке соседнего справа столбца. (Дойдя до правой верхней угловой клетки, переходят к левой нижней, если она не занята, иначе см. правило 5.) 5)Дойдя до уже занятой клетки, переходят к клетке, лежащей непосредственно под последней заполненной клеткой. 6)Если последняя заполненная клетка находится в нижнем ряду квадрата, переходят к самой верхней клетке в том же столбце. Магические квадраты порядка двойной чётности. Диагональный метод 1)Выпишите все числа от 1 до по порядку в строках квадрата.2)Числа, стоящие в диагональных клетках, поменяйте местами с числами симметрично стоящими к ним относительно центра квадрата. Эти правила применимы для построения магического квадрата любой двойной чётности. Только обмену подлежит числа, стоящие на диагоналях, каждого из квадратов 4×4,составляющих большой квадрат. Но центром симметрии по-прежнему является центр большого квадрата. Магические квадраты порядка двойной чётности. Безымянный метод Этому методу никто не умудрился дать название или, на крайний случай, своё имя, поэтому отставим его безымянным. 1)Впишите в квадрат карандашом все числа от 1 до 16 по порядку. В полученном квадрате диагональные ряды дают одинаковую сумму равную 34,т.е. как раз ту, которая должна быть в магическом квадрате четвёртого порядка. Но строки и столбцы имеют другие суммы. 2)Разделите данный квадрат на четыре одинаковых квадратика меньшего размера. 3)В левом верхнем квадратике обведите кружком половину всех чисел так,чтобы в каждом столбце и в каждой строке этого квадратика была отмечена ровно половина входящих в них чисел. Это можно сделать различными способами. 4)В правом верхнем квадратике обведите числа симметричные относительно вертикальной оси тем, которые были отмечены в левом верхнем квадратике. 5)Теперь поменяйте местами, отмеченные, симметричные относительно центра квадрата, числа. Магические квадраты порядка простой чётности Рассмотрим метод построения магических квадратов n-го порядка при n=2(2m+1),т.е. n=6,10,14,18,… 1)Разделим исходный квадрат на четыре разных квадрата A,B,C,D. 2)Построим в квадрате A по методу А.де ла Лубера магический квадрат из чисел от 1 до /4.Аналогичные магические квадраты построим в квадратах D (от  до/2), C (от /2+1 до 3/4), B (от 3/4+1 до ).3)В средней строке квадрата A возьмём m клеток от середины строки к левому краю, а в каждой из оставшихся строк возьмём m клеток, ближайших к левому краю квадрата A; числа в этих клетках поменяем местами с числами в соответствующих клетках квадрата B. 4)Возьмём числа в клетках каждого из m-1 правых крайних столбцов квадрата C и поменяем их местами с соответствующими числами квадрата D. Метод окаймления магических квадратов Этот метод построения магических квадратов произвольного порядка придумал Френикл. Для построения магического квадрата n-го порядка, сначала строят, тем или иным способом, магический квадрат (n-2)-го порядка. Затем добавляют к каждому его числу некоторое целое число m,вычисляемое по определённой формуле и, наконец, окаймляют полученный квадрат рамкой из оставшихся чисел, причём так, чтобы квадрат, к которому мы в результате придём, был магическим. Этим способом из квадрата 3-го порядка можно последовательно получить магические квадраты 5-го,7-го, и т.д. порядков, т.е. квадраты любого нечётного порядка. Подобным образом из квадрата 4-го порядка можно последовательно получить все квадраты чётного порядка. Рассмотрим конкретный пример. Возьмём за основу единственный магический квадрат третьего порядка и построим магический квадрат 5-го порядка, а затем 7-го порядка. N=5→n-2=3→  = [( +1×n-2)/2] = =15Вычислим по формуле m=2n-2=8. Добавим к каждому числу этого квадрата m=8,тогда сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали станет равной  =(+1)(n-2)/2=39. Из чисел ряда (1,…,25) остались 1,2,3,…,8 и дополнительные к ним 25,24,…,18 (1,2,…,2n-2 и ,-1,…,-2n+3).Эти числа размещают в 4(n-1)=16 граничных таким образом, чтобы дополнительные числа стояли на противоположных концах каждой строки, каждого столбца и каждой диагонали – это позволяет обеспечить равенство суммы  =(+1)n/2 чисел вдоль каждого направления. Остаётся только добиться, чтобы сумма чисел и вдоль каждой из граничных линий была равна той же самой величине, но такое их расположение легко получить простым перебором. Хотя для расположения чисел в граничных клетках были предложены различные правила, попробуйте увидеть их сами из приведённых примеров.Продолжим для n=7,2n-2=12. Синтетический метод Ф. де ла Ира Метод Ф. де ла Ира (1640-1718) основан на двух первоначальных квадратах. Построим с помощью этого метода квадрат 5-го порядка. В клетки первого квадрата вписываются числа от 1 до 5 так, что число 3 повторяется в клетках главной диагонали, идущей вправо вверх, и ни одно число не встречается дважды в одной строке или в одном столбце. То же самое мы проделываем с числами 0,5,10,15,20 с той лишь разницей, что число 10 теперь повторяется в клетках главной диагонали, идущей сверху вниз. Поклеточная сумма этих двух квадратов образует магический квадрат. Этот метод используется и при построении квадратов чётного порядка. |
Похожие:
 | Магический, или волшебный квадрат — это квадратная таблица, заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом... |  | Общие задачи криминалистики реализуются в конкретных основных целевых направлениях уголовно-процессуальной деятельности, а именно... |
| Внеаудиторная самостоятельная работа студентов – планируемая учебная, учебно-исследовательская, научно-исследовательская работа студентов,... | | Внеаудиторная самостоятельная работа студентов – это планируемая учебная, учебно-исследовательская, научно-исследовательская работа... |
| Обзор индикаторов налоговой нагрузки, применяемых в России, за рубежом и предлагаемых в теоретических научно-исследовательских работах... | | Московское государство испытало страшное потрясение, поколебавшее самые глубокие его основы. Этот период известен в отечественной... |
| Теоретические подходы к исследованию деловой репутации работников и организации | | Целью данной работы является исследование возникновения и употребления молодёжного жаргона, его особенностей и лексических новаций;... |
| Зарубежный и отечественный опыт отбора персонала при приеме на работу | | Зарубежный и отечественный опыт отбора персонала при приеме на работу |