Учебная дисциплина «МЕТОДЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
В КРИПТОГРАФИИ»
|
Цель изучения дисциплины
|
Целями освоения дисциплины «Методы алгебраической теории чисел в криптографиих»являются:
изложение основы теории алгебраических чисел, в частности, теории разложения идеалов;
изучение теории вещественных и мнимых квадратичных полей;
описание конструкции криптосистем с открытым ключом в квадратичных полях.
|
Компетенции, формируемые в результате
освоения дисциплины
|
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:
- способностью использовать языки и системы программирования, инструментальные средства для решения профессиональных, исследовательских и прикладных задач (ОПК-8);
- способностью разрабатывать вычислительные алгоритмы, реализующие современные математические методы защиты информации (ПСК-2.1);
- способностью разрабатывать, анализировать и обосновывать адекватность математических моделей процессов, возникающих при работе программно-аппаратных средств защиты информации (ПСК-2.4);
|
Знания, умения и навыки, получаемые в процессе изучения дисциплины
|
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
знать:
общую структуру полей алгебраических чисел и их колец целых;
строение квадратичных полей;
структуру идеалов в квадратичных полях;
описание группы классов идеалов числового поля;
конструкцию криптосистем с открытым ключом в мнимых и вещественных квадратичных полях;
уметь:
вычислять основные характеристики квадратичных полей;
определять структуру группы классов идеалов квадратичного поля в случае небольшого дискриминанта;
производить операции умножения и редукции идеалов в квадратичных полях;
реализовывать алгоритмы маркировки и демаркировки единичных сообщений;
реализовывать алгоритмы шифровки и дешифровки единичных сообщений;
оценивать эффективность криптосистем в квадратичных полях;
разрабатывать быстрые вычислительные алгоритмы для криптографических приложений;
владеть:
навыками эффективного вычисления в группе классов идеалов квадратичного поля;
навыками пользования библиотеками прикладных программ и пакетами программ для решения прикладных математических задач;
навыками разработки алгоритмов решения типовых профессиональных задач.
|
Краткая
характеристика
учебной дисциплины (основные блоки и темы)
| Содержание основных разделов (тем) курса Тема 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Наибольший общий делитель целых чисел. Сравнения вида  . Системы сравнений. Символ Лежандра. Сравнения вида  .
Тема 2. ВЫЧИСЛЕНИЯ В ЕВКЛИДОВЫХ КОЛЬЦАХ
Евклидовы кольца. Наибольший общий делитель. Разложение на множители.
Тема 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
Представление алгебраических чисел. Минимальный многочлен алгебраического числа.
Тема 4. НОРМЫ, СЛЕДЫ, ДИСКРИМИНАНТЫ
След и норма в числовом поле. Дискриминант набора чисел в числовом поле. Целый базис и дискриминант числового поля.
Тема 5. РАЗЛОЖЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПРОСТЫХ ИДЕАЛОВ
Разложение простых чисел в произведение простых идеалов в алгебраическом числовом поле. Разложение простых чисел в произведение простых идеалов в квадратичном поле.
Тема 6. ГРУППА ЕДИНИЦ КВАДРАТИЧНОГО ПОЛЯ
Разложение рациональных и иррациональных чисел в цепные дроби. Фундаментальная единица вещественного квадратичного поля. Группа единиц мнимого квадратичного поля.
Тема 7. РЕДУКЦИЯ И УМНОЖЕНИЕ ИДЕАЛОВ В КВАДРАТИЧНЫХ ПОЛЯХ
Идеалы квадратичного поля. Редукция идеалов мнимого квадратичного поля. Умножение идеалов.
Тема 8. ЧИСЛО КЛАССОВ
Оценка числа классов числового поля. Число классов квадратичного поля.
Тема 9. КРИПТОГРАФИЯ В КВАДРАТИЧНЫХ ПОЛЯХ
Криптосистема Бухмана-Вильямса. Криптосистема Вильямса.
3.2. Тематика практических занятий
Тема 1. Нахождение наибольшего общего делителя целых чисел. Решение сравнений первой степени, систем сравнений и квадратичных сравнений. Нахождение символа Лежандра.
Тема 2. Элементарные вычисления в евклидовых кольцах. Отыскание наибольшего общего делителя евклидовых чисел. Разложение евклидовых чисел на множители.
Тема 3. Проверка чисел на алгебраичность. Построение алгебраических чисел. Вычисление минимального многочлена алгебраического числа
Тема 4. Вычисление следов и норм в числовом поле. Вычисление дискриминанта набора чисел числового поля. Нахождение целого базиса и дискриминанта числового поля.
Тема 5. Разложение простых чисел в произведение простых идеалов в алгебраическом числовом поле. Разложение простых чисел в произведение простых идеалов в квадратичном поле.
Тема 6. Разложение рациональных и иррациональных чисел в цепные дроби. Вычисление фундаментальных единиц вещественного квадратичного поля. Вычисление группы единиц мнимого квадратичного поля.
Тема 7. Построение идеалов квадратичного поля. Их исследование на примитивность. Редукция идеалов мнимого квадратичного поля. Умножение идеалов.
Тема 8. Вычисление границы Минковского. Подсчет числа классов квадратичного поля и нахождение представителей данных классов.
Тема 9. Реализация криптосистемы Бухмана-Вильямса. Реализация криптосистемы Вильямса.
|
Трудоёмкость
(з.е. / часы)
|
Согласно рабочему учебному плану курс читается в полном объёме в течение 9 семестра3 ЗЕ/108 часов.
|
Форма итогового контроля знаний
|
В конце семестра предусмотрен зачет.
|
