Кафедра математических основ управления
приглашает студентов всех факультетов на
курс по выбору
Математический кружок
“Современные приложения функционального
анализа и дискретной математики”
Занятия будут проходить по вторникам
с 17.00 до 20.00 в ауд. Б. ФИЗ. ЛК (кроме 6 сентября) -
еженедельно по две пары в течение осеннего семестра.
Курс будет засчитываться как годовой курс по выбору
Первое занятие – 6 сентября в 239 НК
Цель математического кружка - познакомить и научить студентов (на интересных примерах, имеющих прикладное значение) пользоваться важными математическими конструкциями, не вошедшими в стандартные курсы МФТИ. Выбранные фундаментальные вопросы и темы, на взгляд авторов курса, входят в “джентльменский набор” современного специалиста в области прикладной математики. Изучение предложенных тем в сочетании с основными институтскими и факультетскими курсами необходимо для формирования современного целостного представления о математике и её возможных приложениях. Кружок будет также полезен и аспирантам для подготовки к сдаче кандидатского минимума.
Теорема Стокса. Дифференциальные формы. Теорема Фробениуса. Формула Гаусса-Бонне. Кривизна Гаусса, Риччи // Михаил Исаев, Александр Гасников, 6 лекций
Краткий план занятий (сентябрь, 2011)
1) Определение многообразия, задачи на представление стандартных многообразий в виде атласов и карт.
2) Пространство внешних форм.
3) Дифференцирования внешних форм.
4) Интегрирование внешних форм.
5) Многообразия с краем. Теорема Стокса.
6) Задачи на теорему Стокса. Вывод из теоремы Стокса формулы Грина, Остраградского-Гаусса.
7) Формула Гаусса-Бонне (связь со средним значение случайной проекции выпуклого тела)
8) Теорема Фробениуса и её приложения в термодинамике и экономике.
9) Концентрация меры (связь с кривизной Риччи). Теорема М. Громова.
Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. М. Мир, 1973.
Скопенков А. Основы дифференциальной геометрии в интересных задачах. М.: МЦНМО, 2008
http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0801/0801.1568v3.pdf
Ledoux M. Concentration of measure phenomenon. Providence, RI, Amer. Math. Soc., 2001 (Math. Surveys Monogr. V. 89).
Зорич В.А. Математический анализ задач естествознания. М.: МЦНМО, 2008.
Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического моделирования экономики. М.: ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ, 1996.
Опойцев В.И. Нелинейная системостатика. М.: Наука, 1986.
Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Алгебра Ли. Понижение порядка. Автомодельные решения. Лианеризация (уравнения Кортевега – де Фриза, Бюргерса). Явные решения уравнений в частных производных. Частичные симметрии. Метод дифференциальных связей // Александр Гасников, Сергей Городецкий, 4 лекции
Баренблатт Г.И. Автомодельные явления – анализ размерностей и скейлинг. Долгопрудный: Издательский дом «Интеллект», 2009.
Ибрагимов Н.Х. Практический курс дифференциальных уравнений и математического моделирования. Нижний Новгород: Издательство Нижегородского университета, 2007.
Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989.
Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1984. 272 с.
Galaktionov V.A., Svirshchevskii S.A. Exact Solutions and Invariant Subspaces of Nonlinear Partial Differential Equations in Mechanics and Physics. Chapman & Hall/CRC applied mathematics and nonlinear science series; 10. 2007.
Теория бифуркаций. Теория катастроф. Бифуркационные диаграммы. Бифуркация Пуанкаре-Андронова-Хопфа. Диффузионная неустойчивости (по Тьюрингу) и связанная с ней бифуркациия рождения пространственных (т.е. диссипативных) структур для пары уравнений типа реакция - диффузия (для кривой 2D-области результаты имеют принципиальное отличие от навязываемых 1D синергетиками) // Валерий Николаевич Разжевайкин, 6 лекций (в следующем семестре)
Брёнер Т., Ландер Л., Дифференцируемые ростки и катастрофы, пер. с англ., М., 1977.
Разжевайкин В.Н. Анализ моделей динамики популяций. М.: МФТИ, 2010.
Эволюционная теория игр. Процедура нащупывания по Курно. Равновесие Нэша – как устойчивое положение равновесия динамики нащупывания наилучших ответов // Сергей Городецкий, Александр Гасников, 2 лекции
Cressman R. Evolutionary game theory and extensive form games. Cambridge, Mass.: MIT Press, 2003.
Hofbauer J., Sigmund K. Evolutionary game dynamics // Bulletin of the AMS. 2003. V. 40. № 4. P. 479–519.
Асимптотический анализ. Схема Тихонова решения некорректных задач (на примере решения задач оптимизации). Основы КАМ теории (маятник Капицы(-Арнольда), шар Челомея, отображение Чирикова) // Валерий Николаевич Разжевайкин, Александр Гасников, 4 лекции (в следующем семестре)
Тихонов А.Н., Арсеньев В.Я. Методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1974.
Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости. М.: РХД, 2001.
Обратные задачи. Томография. Схема Лакса. Преобразование Радона и его обращение. Связь с теорией обобщенных функций, теорией представлений // Михаил Исаев, 4 лекции (в следующем семестре)
Функциональный анализ и уравнения в частных производных. Метод исчезающей вязкости. Обобщенные решения. Определение С.Н. Кружкова. Компенсированная компактность. Связь решений краевых задач для эллиптических уравнений со случайными блужданиями. Представления решения задачи Коши математическими ожиданиями функционалов от случайных процессов. Пространства Соболева. Теоремы вложения // Всеволод Жанович Сакбаев, 4 лекции
Эванс Л. К. Уравнения с частными производными. Новосибирск: Рожковская (Университетская серия; Т. 7), 2003.
Dafermos C. M. Hyperbolic conservation laws in continuum physics. Springer, 2010.
Эванс Л. К. Методы слабой сходимости для нелинейных уравнений с частными производными. Новосибирск: Тамара Рожковская (Белая серия в математике и физике; Т. 2), 2006.
Богачев В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ. М.-Ижевск: РХД, 2009.
Богачев В.И. Основы теории меры. Т. 1, 2. М.: УРСС, 2006.
Полиномиальные алгоритмы выпуклой оптимизации. Сложность задач оптимизации. Полиномиальные алгоритмы Нестерова-Немировского. Самосогласованные барьеры. Стохастический антиградиентный спуск для задач огромной размерности // Павел Двуреченский, Александр Орлов, Александр Гасников, 4 лекции
О равновесиях макросистем. Эргодическая теорема для марковских процессов (каплинг, принцип сжимающих отображений, конусные методы). Явление концентрации меры (некоторые результаты А. Пуанкаре, П. Леви, В.Д. Мильмана). Теорема Громова-Леви, связь с кривизной Риччи. Оценка скорости сходимости к равновесию (оценка спектральной щели). Модель “Кинетика социального неравенства”, модель “хищник-жертва”, модели миграции и др. // Александр Гасников, Тигран Нагапетян, Александр Колесников 6 занятий, 4 лекции
Введение в математическое моделирование транспортных потоков: учеб. пособие / Гасников А.В., Кленов С.Л., Нурминский Е.А., Холодов Я.А., Шамрай Н.Б; Приложения: Бланк М.Л., Гасникова Е.В., Замятин А.А., Малышев В.А., Колесников А.В., Райгородский А.М; Под ред. А.В. Гасникова - М.: МФТИ, 2010. - 361 с. http://zoneos.com/traffic/
Производящие функции. Метод коэффициентов Егорычева. Лемма Бернсайда. Теория Пойа. Подход Дж.-К. Рота (перечислительная комбинаторика) – обобщение метода “включения и исключения”. Теорема Лагранжа (уравнение на грамматики) // Ренат Гимадеев, Лена Ежова, Евгений Молчанов, 6 лекций
Сачков В.Н. Комбинаторные методы дискретной математики. М.: МЦНМО, 2004.
Ландо С.К. Лекции о производящих функциях. М.: МЦНМО, 2009.
Леонтьев В.К. Избранные задачи комбинаторного анализа. М.: МГТУ, 2001.
Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. М.: Мир & Бином, 2004.
Аналитическая (асимптотическая) комбинаторика. Использование аппарата производящих функций и метода перевала (Лапласа, стационарной фазы) для оценки асимптотических значений чисел, имеющих комбинаторную (вероятностную) природу // Лена Ежова, Михаил Исаев, Александр Гасников, 2 лекции
Flajolet P., Sedgewick R. Analytic combinatorics. Cambridge University Press, 2008.
http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/book.pdf
Теорема Гёделя о неполноте и 10 проблема Гильберта. Диофантовы уравнения. Первая и вторая теоремы Гёделя. Теорема Райса. Парадокс Банаха-Тарского. Равносильность диофантовости и перечислимости множества. Следствия. // Евгений Молчанов, Александр Гасников, 6 лекций
Успенский В.А. Теорема Гёделя о неполноте и четыре дороги, ведущие к ней // Математическое просвещение. № 15. 2011. С. 35-75.
http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=122
Матиясевич Ю.В. Десятая проблема Гильберта, Наука, М.: 1993.
http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=391
http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=447
http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=3624
Новые возможные темы на следующий семестр/
Эллиптические функции и криптография, теория чисел и криптография, неразрешимость уравнений пятой степени и выше (результаты Абеля, Галуа, Гаусса), вероятностные алгоритмы.
Вопросы, замечания, пожелания по работе семинара можно направлять на почтовый ящик gasnikov@list.ru. |
