Практическая работа №4 Основы метода анализа иерархий
Скачать 283.44 Kb.
|
| Практическая работа №4 Основы метода анализа иерархий Общие положения Метод анализа иерархий является системной процедурой для иерархического представления элементов, определяющих содержание проблемы. В основе метода лежат декомпозиция проблемы на более простые составляющие части и дальнейшая обработка суждений на каждом иерархическом уровне с помощью парных сравнений. В результате может быть выражена относительная степень (интенсивность) взаимодействия элементов в рассматриваемом иерархическом уровне или предпочтение одних элементов по отношению к другим. Этим суждениям придается численная оценка. При рассмотрении экологических проблем, впрочем, как и других, необходимо стремиться к тому, чтобы декомпозиция была доведена до такого уровня, на котором парные сравнения могут быть выполнены пусть узкопрофильным, но зато компетентным в данной области специалистом. Метод включает также процедуры синтеза множественных суждений, определения приоритетности критериев и нахождения альтернативных решений. Реализация метода подлежит проверке и переосмысливанию в случае необходимости до тех пор, пока не будет уверенности, что охвачены все важные для представления и решения проблемы стороны. При этом результаты, полученные на одном из иерархических уровней, используются в качестве входных данных при изучении последующего уровня. Процедура экспертного оценивания должна быть тщательно подготовлена и организована в системном плане. На первом этапе, изучив доступную информацию, необходимо всесторонне охарактеризовать проблему, выявить заинтересованные стороны, влияющие на исход ее решения, а также те объекты, которые будут испытывать воздействие со стороны планируемой деятельности. Необходимо выполнить также анализ целей, которые преследуются в связи с решением поставленной проблемы. Эта работа, впрочем, как и последующая, за исключением проставления собственно экспертных оценок в матрицах парных сравнений, осуществляется группой системных специалистов. Второй этап состоит в построении иерархий, начиная с вершины (цели – сточки зрения управления), через промежуточные уровни (критерии, от которых зависят последующие уровни) к самому нижнему уровню, который является перечнем альтернатив (исследуемых вариантов). Построение иерархий является не просто формальным методическим приемом. Именно на этом этапе осуществляется глубокий анализ проблемы, способствующий отчетливому выражению суждений. На каждом нижележащем иерархическом уровне структурные элементы располагаются в матрицах парных сравнений, в которых собственно и проставляются экспертные оценки. Здесь в каждой клетке матрицы эксперту необходимо выразить результат сравнения двух объектов или процессов в виде разумных чисел. Для определения этих чисел служит специальная шкала сравнения, позволяющая присваивать численные оценки, характеризующие превосходство одного элемента изучаемой системы над другим. Математический аппарат для обработки экспертных суждений, расставленных в матрицах парных сравнений и его обоснование изложены в п. 3.5.2 и 3.5.3. Для матриц парных сравнений необходимо выполнить оценку согласованности экспертных суждений. Условие согласованности см. в п.3.5.3. Если условие согласованности не выполнено, то необходимо переосмыслить задачу на данном конкретном иерархическом уровне и повторить процедуру экспертного оценивания. На каждом уровне иерархии определяется свой вектор приоритетов, который взвешивается коэффициентами важности (весами) вышестоящего уровня. В результате получается вектор глобальных (обобщенных) приоритетов относительно рассматриваемых вариантов, который дает характеристику их предпочтительности (эффективности с точки зрения экспертов) для достижения основной цели. Идеальная схема сравнения Пусть имеется набор n объектов (факторов), подлежащих сравнению. Обозначим эти объекты символами A1, A2, …,An. Пусть в рамках экспертного оценивания эти объекты характеризуются соответственно с помощью положительных чисел w1, w2,…, wn на наличие и степень проявления некоторого рассматриваемого экспертизой свойства. К примеру, число wi отражает степень проявления (интенсивность) рассматриваемого свойства у объекта Ai. Числа wi (i=1,…,n) в зависимости от контекста именуют «весами», «интенсивностями», «коэффициентами важности» объектов Ai. Для удобства, и не в ущерб общности рассматриваемой задачи, в дальнейшем будем оперировать нормированными величинами wi (i=1,…,n), которые обладают тем свойством, что w1+w2+…+wn=1. Таким образом, при использовании нормированных величин можно утверждать, что wi ·100% представляет собой вес объекта (фактора) Ai, выраженный в процентах. Сопоставим вес каждого из объектов с весами других объектов, образуя тем самым так называемую матрицу относительных весов  Матрица относительных весов обладает четырьмя важными свойствами:
 для всех i и j.
 для всех i, j и k.Если из весов w1, w2,…, wn образовать вектор-столбец w  ,то нетрудно убедиться, что имеет место равенство
если заметить, что i-я компонента вектора, записанного в левой части соотношения (1), равна  что совпадает с i-ой компонентой вектора, расположенного в правой части соотношения (55). Выполнение равенства (55) означает, что число n является собственным значением (числом) матрицы относительных весов A в то время как w является собственным вектором, соответствующим этому собственному значению. Напомним, что в линейной алгебре число λ называют собственным значением матрицы А, а ненулевой вектор-столбец х – собственным вектором, соответствующим собственному значению λ, если имеет место равенство
Собственное значение матрицы А можно найти из так называемого характеристического уравнения
где  - определитель соответствующего матричного выражения, а Е- единичная матрица.Характеристическое уравнение (57) для матрицы n-ого порядка представляет собой алгебраическое уравнение n-ой степени. Отсюда следует, что матрица А порядка n имеет n вообще говоря комплексных собственных чисел, являющихся корнями соответствующего характеристического уравнения. Для матрицы относительных весов, обладающей четырьмя рассмотренными выше свойствами, можно доказать следующее положение. Теорема. «Матрица относительных весов  имеет лишь два вещественных собственных значения: n и 0».Если обозначить λmax = n = max{n;0}, то в соответствии с этой теоремой равенство (1) можно представить в виде
Равенство (58) является основой для дальнейшей математической обработки и интерпретации экспертных оценок в рамках метода анализа иерархий [1]. Схема попарных сравнений (реальная схема) На практике при проведении экспертного оценивания экспертам очень трудно одновременно сопоставить свойства всей группы сравниваемых объектов (факторов) A1, A2, …,An, которых может быть весьма много, и назначить им соответствующие веса w1, w2,…, wn. Куда легче сравнивать объекты попарно, характеризуя с помощью какой-либо шкалы оценок степень преимущества одного объекта над другим. Взвешивая экспертно превосходство одного объекта над другим, и не удерживая в памяти все множество отношений между рассматриваемыми объектами, мы вправе рассчитывать на то, что экспертное оценивание будет более обоснованным и корректным. Схема попарного сравнения объектов широко используется в различных методах экспертного оценивания и приводит к построению матрицы парных сравнений  Заполняя клетки этой матрицы, при парном сравнении эксперт не знает всего набора чисел w1, w2,…, wn, т.е. весов объектов. Его задача как раз и состоит в том, чтобы определить их впоследствии. При парном сравнении матрица заполняется числами aij = wi/wj, характеризующими относительное превосходство (важность, вес) объекта Ai над объектом Aj, в то время как собственные веса этих объектов wi и wj пока еще не определены. Иными словами, aij назначается экспертом, а веса wi и wj, образующие при делении друг на друга величину aij, подлежат последующему определению. Для назначения чисел aij необходимо договориться о шкале, по которой будет оцениваться превосходство одного объекта над другим при их попарном сравнении. Для целей экспертного оценивания примем 9-балльную шкалу, предложенную автором метода анализа иерархий Томасом Саати [1]. Шкала относительной важности
Шкала относительной важности содержит, очевидно, и все обратные числа 1/9, 1/7, 1/5, 1/3 и промежуточные значения 1/8, 1/6, 1/4, 1/2. Матрица парных сравнений заполняется, как правило, следующим образом. Объект А1 сравнивают со всеми остальными A2, …, An, заполняя последовательно первую строку матрицы. Затем объект А2 сравнивают со всеми остальными, заполняя вторую строку числами aij, определяемыми по шкале относительной важности и так далее. Если вес объекта Аi равен весу объекта Aj, то сообразно шкале aij = 1. Если вес объекта Аi больше веса объекта Aj, то в соответствии со шкалой эксперт определяет степень превосходства, выраженную в баллах, причем aij > 1. Если наоборот вес объекта Аi меньше веса объекта Aj, то по шкале задается балльная оценка aij < 1. По правилам заполнения матриц парных сравнений должны выполняться условия:
Очевидно, что в силу обратной симметричности при заполнении матрицы парных сравнений удобно определять только элементы, стоящие выше диагонали. Диагональные элементы равны единице, а элементы под диагональю в силу обратной симметричности определяются автоматически. Необходимо обратить внимание на то, что матрица парных сравнений обладает всеми свойствами матрицы относительных весов в схеме идеального сравнения, кроме четвертого. Таким образом, она не обладает, вообще говоря, свойством совместности  . Это, очевидно, происходит из-за того, что эксперт не знает точно веса объектов w1, w2,…, wn, а оперирует лишь их отношениями aij.Можно найти максимальное вещественное собственное значение  и собственный вектор w* матрицы парных сравнений. Вообще говоря, и w* не совпадают с соответствующим собственным значением λmax = n и собственным вектором w матрицы относительных весов в схеме идеального сравнения. Можно доказать, что в общем случае имеет место неравенство  , причем равенство достигается тогда и только тогда, когда матрица А* является совместной, т.е. выполняется четвертое свойство.Идея Т. Саати [1], состоит в том, что коэффициенты aij матрицы парных сравнений А* заданы сравнительно точно, т.е. отклонения aij от истинных отношений весов wi/wj незначительны. Тогда можно надеяться, что и будет близко к n. Здесь используется известное положение линейной алгебры, согласно которому малым отклонениям от исходных значений элементов матрицы соответствует малое отклонение ее собственных значений.Определив одним из методов линейной алгебры, можно найти и вектор w*, который будет мало отличаться от «истинного» вектора w. Вектор w* определяется, например, из системы однородных уравнений
|
,
.Похожие:
 | Цель метода анализа иерархий обоснование выбора наилучшей из предлагаемых альтернатив, характеристики которых являются векторами... | | Знакомство с методом анализа иерархий и его использованием для решения задач оценки эффективности ит |
| Центральной задачей при планировании инвестиционной деятельности инвестиционного фонда (банка) является задача оценки прибыльности... | | ... |
| Задание Просмотрите опорный конспект и вспомните занятие по теории «Метода проектов». Обратите внимание на ключевые слова, выделенные... | | Практическая работа №6 «Оформление договора на техническое обслуживание оборудования» |
 | Практическая часть работы основана на том информационном материале, который был собран из открытых источников в интернете. Теоретические... | | Разместить текст в журнале, брошюре или объявлении можно с помощью газетных колонок |
| Вопросы для подготовки к комплексному экзамену по мдк 04. 01 «Технология составления и использования бухгалтерской отчетности» и... | | Практическая работа 7-8 «Дополнительные элементы языка html для форматирования web-страниц» |