Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений В практике вычислений приходится решать уравнения вида f(x) = 0, где f(x) определена на некотором конечном или бесконечном интервале (a, b). Если f(x) — многочлен, то f(x) =0 — алгебраическое уравнение, иначе f(x) = 0 — трансцендентное уравнение. Всякое значение x* такое, что f(x*) 0, называется корнем, а способ нахождения этого x* и есть решение уравнения. Этапы решения: Отделение корней, то есть отыскание достаточно малых областей, в каждой из которых заключен один и только один корень уравнения. Вычисление корней с заданной точностью. Комментарий 1. Для выделения областей, в которых находятся действительные корни уравнения, можно воспользоваться тем, что если на концах отрезка непрерывная функция f(x) принимает значение разных знаков, то на этом отрезке f(x) = 0 имеет хотя бы один корень. Для выделения областей, содержащих один и только один корень можно воспользоваться, например, графическим способом. Комментарий 2. Для решения 2-й задачи существуют многочисленные методы: метод итераций, метод Ньютона, метод половинного деления и т.д. Считаем, что нам известен отрезок , внутри которого существует и располагается один и только один из корней уравнения. Уравнение f(x) =0 представим в виде x = ,то есть f(x) = x- = 0. В общем случае: , то есть или , где = const. Выберем на отрезке произвольную точку x0 — нулевое приближение, а далее в качестве следующего приближения: x1=, x2=, … xn=. Процесс последовательного вычисления чисел xn (n=1, 2, …) по формуле xn=называется методом итераций. Если на , содержащем корень x = x* , а так же его последовательные приближения x0, x1,…,xn, вычислимые по методу итераций, выполнено условие , то процесс итераций сходится, то есть увеличивая n, можно получить приближение, сколь угодно мало отличающееся от истинного значения корня x*. Процесс итераций следует продолжать до тех пор, пока для 2-х последовательных приближений xn-1 и xn не будет обеспечено выполнение неравенства , где — заданная погрешность Если g0.5, то и можно ограничиться . Итак, ||<1 : — докажем сходимость. Действительно : пусть x* — корень, то есть x* = — с одной стороны, xn = — схема итераций. xn-x* = xn-x* = Используем теорему о среднем значении: если непрерывна на [], то существует точка а, такая, что , где а. Или . Пусть m = max, где x{x0, x1, x2, …, xn} | xn-x* |m| xn-1-x* | | xn-1-x* |m| xn-2-x* | | xn--x* |m2| xn-2-x* | | xn-x* |mk| xn-k-x* | Если k = n, то | xn--x* |mn| x0-x* | Если m<1, то с ростом n: xnx* При ||>1 |xn – x*| неограниченно растет! расходится сходится сходится расходится Для приведения уравнения к виду x = существует следующий способ: Пусть 0<m1f’(x)M1, где m1 = min f’(x) на [] M1 = max f’(x) на [] (если f’<0, то вместо уравнения f(x) = 0 рассматриваем уравнение –f(x) = 0). Заменим уравнение f(x) = 0 эквивалентным ему уравнением x = x - ( Подберем параметр таким, чтобы выполнялось неравенство 0<, где x. Если , то , так как . Тогда g = , то есть условие сходимости выполняется. Пример: Sin·x + 0.25 – x = 0 f(x) = Sin·x + 0.25 – x = 0; Так как x = , то x = Sin·x + 0.25 Пусть x0 = 1.2; = 1 · 10-6 , тогда x* = 1.71230493 Function Sinus (t) Sinus = Sin (t) + 0.25 End Function //—//—//—//—//—//—//—// Sub Itera () Dim fi As Single Dim x As Single x = CSng( InputBox (“Задайте начальное приближение”) metka: fi = sinus (x) if abs ( x- fi) < = 0.000001 then MsgBox (x, 1, “Решение”) : stop x = fi goto metka 1 end Sub Метод Ньютона – Рафсона Уравнение имеет вид F(x) = 0 Запишем уравнение касательной к F(x) в точке x0: tg = F'(x0) = y = F(x0) + F'(x0)(x-x0) Пусть y = 0 0 = F(x0) + F'(x0)( x1- x0), откуда x1 = x0 - x2 = x1- … xn = xn-1- |xn- xn-1 | < , где m1 = min |F'(x)| на [] M2 = max F''(x) на [] x0 выбирается так, что F(x0) · F''(x0)>0 Пример: ; ; ; N = 2; N = 3; Или Алгебраическое интерполирование. Интерполированием называют приближённое или точное нахождение какой — либо величины по известным отдельным значениям этой же величины или других величин, связанных с ней. Рассмотрим таблицу парных значений: — индексированные пары (они называются узлами интерполяции) представляют собой фиксированные пары, причём аргументы строго упорядочены: . Будем называть таблицу табличной функцией . Алгебраическое интерполирование восстанавливает достоверную аналитическую зависимость y = F(x) в виде так называемого интерполяционного многочлена вида: , где (k -1) — наивысшая степень полинома, описывающая эту зависимость.

Похожие:

	Урок алгебры в 7 классе Сложение и вычитание алгебраических дробей Цель урока: повторить сложение и вычитание алгебраических дробей в игровой форме, сформировать умения работать с формулами в приложении...		Решение уравнений, решение заданий из реальной математики, за исключением теории вероятности Процедура пробного экзамена по математике проводилась в соответствии с приказом уофс амс правобережного района от 05. 03. 2015г....
	Учитель: Мусина Уасиля Жангазыена. Школа Цель: научить учащихся решать примеры на нахождение корней простейших тригонометрических уравнений, научить работать в группе, сотрудничать...		Реферат доклад или презентацию на тему: «Единицы измерения длины» На листе отдельно выбрать 10 примеров и уравнений на тему «Сложение и вычитание дробных чисел» типа №777, 778, 779, 780, 781. Правила...
	Памятка налогоплательщику для проведения всех необходимых мероприятий... Принять решение о ликвидации (решение принимается уполномоченным органом согласно Уставу (участниками, акционерами, другими органами),...		Решение от 07. 06. 2016 №131. Стр. 65-66 Решение от 07. 06. 2016... Об утверждении Реестра муниципальных услуг (функций) сельского поселения «Село Богородское»
	Решение комиссии прошу направить Решение комиссии прошу направить (указать почтовый адрес, по которому необходимо направить решение (в случае, если заявитель не желает...		Законодательно этот вопрос решен следующим образом Дело в суде выиграно, у вас на руках решение суда. Казалось бы, дело в суде выиграно, вынесено решение в вашу пользу и все сложности...
	Решение именем Российской Федерации Мотивированное решение, в порядке подп. 2 п. 4 ч. 2 ст. 199 Гпк РФ принято в окончательной форме 21 октября 2013 г		Решение 162 от 30. 11. 2016. Стр. 30 Решение 163 от 30. 11. 2016.... Российской Федерации, входящих в состав Дальневосточного федерального округа, и о внесении изменений в отдельные законодательные...