Учебно-методическое пособие «Методика обучения решению комбинаторных задач и формирование первичного представления о вероятности в 5-6 классах» Мамадыш 2012
Скачать 0.65 Mb.
|
  Муниципальное учреждение «Информационно – методический центр» исполнительного комитета Мамадышского муниципального района Республики Татарстан Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Катмышская средняя общеобразовательная школа»Мамадышского муниципального района Республики Татарстан Учебно-методическое пособие «Методика обучения решению комбинаторных задач и формирование первичного представления о вероятности в 5-6 классах»   Мамадыш – 2012 Печатается по решению методического совета муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения «Катмышская средняя общеобразовательная школа» Автор – составитель: Яхина З.Г., учитель математики второй квалификационной категории МБОУ «Катмышская СОШ» Рецензент:Мухамадеева Ю.С., методист МУ “ИМЦ” Мамадышского муниципального района РТ Данная методическая разработка лишь один из вариантов реализации стохастической линии в курсе основной школы. По данной теме сейчас активно ведется работа по всем направлениям, так как на данный момент осталось еще немало нерешенных проблем связанных с реализацией этой линии в основной школе. Данная работа может быть рекомендована для практического использования, как на уроках, так и на факультативных и кружковых занятиях для учащихся 5-6 классов общеобразовательных учреждений. Содержание
а) Сборник основных правил комбинаторики и упражнений для их применения 20 – 39 стр. б) Литература 40 стр. в) Рецензия 41-42 стр. Введение На современном этапе развития общества, когда в нашу жизнь стремительно вошли референдумы и социологические опросы, кредиты и страховые полисы, разнообразные банковские начисления и т.п., становится очевидной актуальность включения в школьный курс математики материала вероятностно-статистического характера. Данная тема актуальна для наших детей в связи с тем, что современные школьники стали более развиты и им требуются не просто задачи на вычисление, а задачи, требующие в своем решении участия логического мышления, а также задачи, наиболее приближенные к жизненным ситуациям. Такими задачами и являются задачи на комбинаторику и вероятность. Методы обучения решению таких задач дает возможность выбора наиболее оптимального метода для преподавания в школе. Тема интересна потому, что таких задач в школьной программе 5-6 классов не много, но и их решение можно свести к игре, интересной детям. Современные стандарты и программы математического образования в основной школе предполагают пропедевтику основных понятий, знакомство на наглядном, интуитивном уровне с вероятностно-статистическими закономерностями в 5-6 классах. Следует отметить, что наиболее подходит для реализации оптимального обучения школьников 10-11 лет математике учебный комплект под редакцией Г.В Дорофеева, а также комплект «Арифметика 5-6 класс» под редакцией С.М. Никольского. Сохранение интереса к изучению математики при использовании новых комплектов учебников обеспечивается не только через дополнительные темы, но и через достаточное количество занимательных задач. Занимательные задачи — инструмент для развития мышления, ведущего к формированию творческой деятельности школьника. К таким задачам относятся задачи «на соображение», «на догадку», головоломки, нестандартные задачи, логические задачи, творческие задачи. Для решения занимательных задач характерен процесс поисковых проб. Появление догадки свидетельствует о развитии у детей таких качеств умственной деятельности как смекалка и сообразительность. Смекалка – это особый вид проявления творчества. Она выражается в результате анализа, сравнений, обобщений, установления связей, аналогий, выводов, умозаключений. Анализ вероятностно-статистической линии в учебной литературе. При введении любой новой темы, любого нового вопроса в основной курс школы встает проблема изложения данного вопроса в школьных учебниках. К реализации нового содержания в действующих учебниках авторы подошли по-разному. Например: «Математика 5», «Математика 6» Под редакцией Г.В Дорофеева и И.Ф Шарыгина[ 6;7] 5 класс начинается с комбинаторики, где на конкретных задачах и примерах рассматривается решение комбинаторных задач методом перебора возможных вариантов. Этот метод иллюстрируется с помощью построение дерева возможных вариантов. Примеры и задачи очень простые, позволяющие на этапе знакомства с комбинаторными задачами, усвоить принцип простого, упорядоченного перебора возможных вариантов. В пункте «Случайные события» рассматривается понятие случайное событие, достоверные, невозможные и равновероятные события. Тут же приводятся реальные, понятные примеры, позволяющие учащимся лучше усвоить эти понятия. В последней главе учебника рассматриваются таблицы и диаграммы (как способ представления информации). Учащихся учат пользоваться таблицей, извлекать из нее и анализировать необходимую информацию, также учат самих строить таблицы. В пятом классе рассматриваются столбчатые диаграммы, в одной из задач рассмотрена круговая диаграмма. Также рассматривается пункт «Опрос общественного мнения», где составление таблиц по данным опроса позволяет решить те или иные классные вопросы, возникающие в реальной жизни 6 класс начинаем с повторения таблиц и диаграмм. Повторяют уже изученные столбчатые диаграммы и более подробно рассматривают круговые (для представления соотношения между частями целого). Далее идут 2 параграфа по комбинаторике: логика перебора и правило умножения. Здесь рассматриваются задачи, которые решаются уже известным им способом перебора и предлагается упростить его, используя, так называемое кодирование. Также рассматривается новый способ решения комбинаторных задач с помощью правила умножения. Завершается учебник главой - «вероятность случайных событий». «Математика 5», «Математика 6». [ 1;2] Под редакцией Зубарева И.И., Мордкович А.Г. В 5 классе последняя глава «введение в вероятность» содержит 2 параграфа. В одном параграфе рассматриваются достоверные, невозможные и случайные события. И даны задачи на определение характера события (достоверное, невозможное или случайное). Во втором параграфе рассматриваются комбинаторные задачи, решаемые методом перебора возможных вариантов. В 6 классе авторы знакомят с понятием вероятность. Даны упражнения на определение степени вероятности того или иного события, выполнять которые учащиеся должны с опорой на интуицию. В следующем пункте вводится классическое определение вероятности. Рассматриваются задачи, в которых для вычисления вероятности используют комбинаторное правило умножения. Некоторые учебные комплекты пополнились дополнительными учебными пособиями, содержащими материал по вероятностно-статистическойлинии. Бунимович Е.А., Булычев В.А. «Вероятность и статистика. 5-9 классы». Начинается учебник с рассмотрения случайных событий и сравнения их вероятности (что вероятнее). Затем, опираясь на эксперимент, вводится понятие частоты (тут же рассматриваются таблицы частот и гистограммы). После чего идет пункт с названием «Куда стремятся частоты?», где вводится статистическое определение вероятности, а затем и классическое. В пункте «вероятность и комбинаторика», рассматриваются правило умножения, правило вычитания и сочетания и их число. Все эти формулы используются для вычисления вероятности. А в пункте «точка тоже бывает случайной» речь идет о геометрическом определении вероятности. В последнем пункте «сколько изюма в булке и сколько рыб в пруду?» рассматривается вопрос статистического оценивания и прогнозирования. Последний пункт имеет практическое значение, так как показывает практическую пользу из подсчета вероятности. Содержит ряд интересных задач, непосредственно связанных с реальной жизнью. Методика реализации стохастической линии в 5 классе. Основными задачами на этом этапе являются:
В 5 классе предлагаются простейшие комбинаторные задачи, решая которые должна вестись либо работа по перебору возможных вариантов, либо по упорядочиванию, либо их объединение - перебор и упорядочивание вместе. В нашей жизни часто возникают такие задачи, которые имеют несколько различных решений, и перед нами встает проблема рассмотреть все возможные варианты решения. Для этого нам нужно найти удобный способ перебора, при котором будут рассмотрены всевозможные варианты, и они не повторялись бы. На первом месте перед учителем стоит задача по формированию навыков систематического перебора. Начинать нужно с простых задач, где не так много элементов, важна сама суть перебора всех вариантов. Три друга, Антон, Борис и Виктор, приобрели два билета на футбольный матч. Сколько существует различных вариантов похода на футбол? Здесь необходимо перебрать всевозможные пары мальчиков. После этого можно добавить условие, при котором, решая задачу, учитываем еще и место, на котором будет сидеть тот или иной мальчик, то есть учитывается порядок элементов в наборе. Три друга, Антон, Борис и Виктор, приобрели два билета на футбольный матч на 1-е и 2-е места первого ряда стадиона. Сколько существует способов занять эти два места на стадионе? Записать все эти варианты. Здесь мы можем использовать результаты предыдущей задачи. В ней мы не учитывали порядок, а теперь необходимо учитывать порядок, на каком месте будет сидеть тот или иной мальчик. Рассмотрим тот вариант, когда на матч пошли Антон и Борис, в этом случае возможно два варианта занять места на матче: 1-ое место – Антон, 2-ое место - Борис и наоборот 1-ое место Борис, а 2-ое Антон. То есть упорядочить два элемента мы можем двумя способами. Таким образом, решение предыдущей задачи дало нам два решения для этой задачи. Аналогично на каждый вариант предыдущей задачи мы получаем еще один вариант решения, итого 6 вариантов. Антону, Борису и Виктору повезло, они купили 3 билета на футбол на 1-е, 2-е и 3-е места первого ряда стадиона. Сколькими способами могут занять мальчики эти места? В данной задаче, как и в предыдущей важно на каких местах сидят мальчики, то есть нам нужно рассмотреть, сколько существует вариантов рассадить трех мальчиков на три разных места. Пусть на первом месте сидит Антон, тогда на оставшиеся два места двух оставшихся мальчиков мы можем усадить двумя способами, аналогично для случаев, когда на первом месте сидит Борис и Виктор. В результате получим 6 вариантов, то есть упорядочить 3 элемента мы можем шестью способами. В предыдущих задачах, не учитывая порядка перебора не сложно перечислить все возможные варианты, так как их не так много, но часто при переборе возможных вариантов их может быть столько, что сложно оценить все ли возможные решения мы учли и не пропустили ли хотя бы одно из них. В этом случае необходимо упорядочить процедуру перебора, то есть перебирать возможные варианты в некотором порядке, определенном заранее, который позволяет не допускать повторений решений и пропускать возможные решения. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1,2,3. Выпишем возможные двузначные числа. Но мы не будем выписывать эти числа, как попало, а договоримся выписывать их в порядке возрастания, что позволит нам не пропускать числа и не повторяться. В процессе решения этой задачи может возникнуть такой вопрос, а может ли одна и та же цифра повторяться в числе два раза? (если не возникнет, то учитель может сам обратить на это внимание). Так как в данной задаче это условие не оговорено, то решим ее для обоих случаев, и увидим, что в каждом из них число решений различно. Из чего делаем вывод, что данное условие при решении задач необходимо учитывать. В алфавите племени УАУА имеются только две буквы – «а» и «у». Сколько различных слов по три буквы в каждом можно составить, используя алфавит этого племени? В этой задаче одна и та же буква может встречаться в слове как один, так два или три раза. И нужно рассмотреть все варианты. Заметим, что очень удобно процесс перебора осуществлять путем построения специальной схемы, которая называется дерево возможных вариантов. Рассмотрим построение дерева возможных вариантов для данной задачи: сначала нужно выбрать первую букву – это могут быть буквы «а» или «у», поэтому в «дереве» из корня проведем две веточки с буквами «а» и «у» на концах. Вторая буква может быть опять как «а» так и «у», поэтому из каждой веточки выходит еще по две веточки и т.д. а а а а а а а у у у у у у у * Теперь, проходя по веточкам дерева, по порядку выписываем нужные нам сочетания букв - «слова»: ааа; аау; ауа; ауу; уаа; уау; ууа; ууу. Дерево помогает увидеть путь решения, учесть все варианты и избежать повторений. Нужно обратить внимание, что дерево возможных вариантов позволяет нам подсчитывать упорядоченные наборы В 5«А» классе в среду 4 урока: математика, информатика, русский язык, английский язык. Сколько можно составить вариантов расписания на среду? В данной задаче у нас имеется 4 предмета и необходимо выписать возможные варианты расписания на один день, учитывая те условия, что каждый урок должен обязательно присутствовать в расписании, и встречаться там всего один раз (для упрощения записи предлагается каждый предмет обозначит его заглавной буквой). Таким образом, нам необходимо подсчитать сколькими способами мы можем упорядочить 4 элемента. Пусть первым будет урок математики, тогда оставшиеся 3 предмета, мы можем упорядочить 6-ью способами (из ранее рассмотренных задач). Аналогично для оставшихся трех предметов. Итого получим 24 способа упорядочить 4 предмета. В 5 классе начинается работа по формированию вероятностных представлений у учащихся. Сначала рассмотрим понятие случайное событие. Часто в жизни мы употребляем такие слова, как «возможно», «это невероятно», «это маловероятно» и т.д. Подобные выражения мы используем, когда говорим о событии, которое в одних условиях может произойти, а может и не произойти. Такие события называют случайными. События, которые при данных условиях обязательно происходит, называют достоверным. События, которые при данных условиях не могут произойти, называют невозможными. Для отработки данных понятий можно рассмотреть упражнения, в которых нужно определить является событие достоверным, невозможным или случайным. Оцените, какие из перечисленных событий являются достоверными, какие невозможными, а какие случайными и почему вы так считаете: А) при бросании кубика вы получите шестерку; Б) при бросании кубика вы получите число больше 6; В) при бросании кубика вы получите четное число; Г) при бросании кубика вы получите число, которое делится на 7 Д) при бросании кубика вы получите число больше 1; Е) при бросании кубика вы получите нечетное число; Ж) кубик, упав, останется на ребре. В мешке лежит 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных. Какие из следующих событий являются случайными, достоверными и невозможными и почему вы так считаете: А) из мешка вынули 4 шара и все они синие; Б) из мешка вынули 4 шара и все они красные; В) из мешка вынули 4 шара, и все они оказались разного цвета; Г) из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось шара черного цвета; Ученик задумал натуральное число. Какие из следующих событий будут достоверными, невозможными и случайными и почему вы так считаете. А) Задумано четное число; Б) Задумано число, не являющееся ни четным, ни нечетным; В) Задумано нечетное число; Г) задумано число, являющееся четным или не четным. СобытияА иВ являются случайными, так как может быть загадано как четное, так и нечетное число. Возникает вопрос, какое из событий более вероятно: задумано четное число или задумано нечетное число. Так как чисел четных и нечетных одинаковое количество, то оба эти события имеют равные шансы. Такие события называются равновероятными. Также о некоторых случайных событиях мы можем сказать, что оно «маловероятно» или «очень вероятно». |
Похожие:
 | Кискин Е. В., Ахмедова А. К. Юридическое делопроизводство: Учебно-методическое пособие для студентов очной и заочной формы обучения.... | | ... |
| Учебно-методическое пособие предназначено для подготовки тьюторов, стажеров, руководителей и педагогических работников школ | | Печатается по решению редакционно-издательского совета фгбоу впо «Приамурский государственный университет имени Шолом-Алейхема» |
 | Г12 Экономика отрасли (Экономика дорожного строительства): учебно-методическое пособие [Текст] / сост. В. В. Гавриш, Е. В. Гуторин.... | | Г12 Экономика отрасли (Экономика дорожного строительства): учебно-методическое пособие [Текст] / сост. В. В. Гавриш, Е. В. Гуторин.... |
| Кулинарный практикум: учебно-методическое пособие / А. Л. Файзрахманова, И. М. Файзрахманов. – Елабуга: Изд-во филиала кфу в г. Елабуга,... | | Учебно-методическое пособие предназначено для студентов 1 курса заочного обучения вгифк. Заочная система обучения предусматривает,... |
| Учебно-методическое пособие предназначено для студентов 1 курса заочного обучения вгифк. Заочная система обучения предусматривает,... | | Учебно-методическое пособие предназначено для студентов 1 курса заочного обучения вгифк. Заочная система обучения предусматривает,... |