Учреждение высшего профессионального образования
Скачать 0.62 Mb.
|
            МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Юго-Западный государственный университет» (ЮЗГУ) Кафедра высшей математики УТВЕРЖДАЮ Первый проректор – проректор по учебной работе ___________ О. Г. Локтионова «____» ____________ 2015 г. Элементы теории вероятностей Курск 2015 УДК 51-74Составители: Л.И.Студеникина, Д.Н.Тютюнов Рецензент Кандидат физ-мат. наук, доцент кафедры высшей математики В.И.Дмитриев Элементы теории вероятностей: методические указания и индивидуальные задания предназначены для организации самостоятельной работы студентов специальностей «Таможенное дело», «Международные отношения» / Юго-Зап. гос. ун-т; сост.: Л.И.Студеникина, Курск, 2013. 40 с.: табл. 4. Библиогр.: с.40. В данной работе содержатся краткие теоретические положения, образцы выполнения типовых задач, 30 вариантов индивидуальных заданий. Текст печатается в авторской редакции Подписано в печать _______ . Формат 60х84 1/16. Усл. печ. л. . Уч.-изд. л. . Тираж 50 экз. Заказ____. Бесплатно. Юго-Западный государственный университет305040 Курск, ул. 50 лет Октября, 94. Введение Данные методические указания предназначены для формирования умений и навыков у студентов по разделу «Теория вероятностей ». Наличие таких указаний и индивидуальных заданий, имеющих профессиональную направленность в условиях сокращения аудиторных часов, представляется своевременным. Теоретическое обеспечение по данному разделу математики достаточно полно отражено в учебных пособиях, предусмотренных рабочими программами. Тем не менее, в данной работе даются краткие теоретические сведения и разобрано достаточно большое количество задач, что очень удобно при организации самостоятельной работы. Для подготовки студента к защите выполненных индивидуальных заданий представлен список литературы, отражающей в полной мере теоретический материал по данной теме. Содержание § 1. Классификация событий……………………………………………….4 § 2. Классическая вероятность. Комбинаторика……………….5 § 3. Правила сложения и умножения вероятностей…………...8 § 4. Формула полной вероятности. Формулы Байеса………..10 § 5. Повторные испытания…………………………………….11 § 6. Дискретная случайная величина………………………….14 § 7. Непрерывная случайная величина………………………17 § 8. Теоретические вопросы…………………………………18 § 9. Индивидуальные задания………………………………20 Рекомендуемая литература…………………………………47 § 1. Классификация событий. Опытом, или испытанием, называют всякое осуществление определенного комплекса условий или действий, при которых происходит соответствующее явление. Например, бросание игрального кубика или монеты, выстрел из оружия и т.д. Возможный результат опыта называют элементарным событием, или исходом. Множество Ω всех возможных взаимоисключающих исходов опыта называется пространством элементарных событий или пространством исходов. Событие вообще – это множество всех таких исходов, которые вызывают его появление. О таких исходах говорят, что они благоприятствуют событию. События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита А, В, С …. . К примеру, при однократном бросании монеты исход Г– выпадение герба, исход Р– выпадение решки, пространство Ω={Г,Р} ; в опыте с оружием исход А–попадание в мишень, В–промах. В опыте с кубиком исход А1 –выпало значение 1, А2 –значение 2, А3 –значение 3, А4 –значение 4, А5 –значение 5, А6 –значение 6, поэтому пространство элементарных событий Ω={1,2,3,4,5,6}. Событию А –"выпало нечетное число очков" – благоприятствуют исходы А1, А3, А5. Событие называется достоверным в данном опыте, если оно обязательно наступит в результате данного опыта. Например, выпадение не менее одного очка при бросании игральной кости. Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдет в результате проведения опыта. Так выпадение числа 7 при броске игральной кости является невозможным. Два события называются совместимыми в данном опыте, если появление одного из них не исключает появление другого в этом опыте, то есть, если имеется хотя бы один исход, который благоприятствует как одному событию, так и другому. Выпадение орла или решки при подбрасывании двух монет – совместимые события. Два события называются несовместимыми в данном опыте, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании. Несовместимыми являются попадание и промах при одном выстреле. Два события называются противоположными, если появление одного из них равносильно не появлению другого. Например, противоположными являются события выпадение орла или решки при одном подбрасывании симметричной монеты. События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое. Например, при подбрасывании игрального кубика события А1, А2, А3, А4, А5, А6 являются равновозможными. Суммой А1+А2+…+Аn нескольких событий А1, А2,…, Аn называется объединение множеств А1 А2… Аn. Таким образом, событию А1+А2+…+Аn благоприятствуют те и только те исходы, каждый из которых благоприятствует хотя бы одному из событий А1, А2,…, Аn, то есть событие А1+А2+…+Аn заключается в том, что происходит хотя бы одно из событий А1, А2,…, Аn. Произведением нескольких событий А1, А2,…, Аn называется пересечение множеств А1А2 … Аn. Произведение А1А2…Аn заключается в том, что происходит каждое из событий А1, А2,…, Аn. Несколько попарно несовместных событий образуют полную группу, если в результате испытания никакие другие события, кроме перечисленных, не могут произойти, то есть А1+А2+…+Аn = Ω. § 2. Классическая вероятность. Комбинаторика. Комбинаторика изучает способы подсчета числа элементов в конечных множествах. Формулы комбинаторики используют при непосредственном вычислении вероятностей. Базовыми конфигурациями комбинаторики являются: перестановки, размещения, сочетания. Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же "n" различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок конечного множества из "n" элементов равно n!=  обозначается Pn, таким образом  Пример. Сколько существует различных способов составить очередь из 5 человек? Решение. Очередь – это перестановка из 5 элементов (человек), поэтому количество различных очередей равно  способам.Размещениями из n элементов по m называют наборы, содержащие m различных элементов из данных n элементов, и отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений из n элементов по m определяется формулой Пример. Сколькими различными способами можно выбрать три лица на три различные должности из десяти кандидатов? Решение. Задача сводится к нахождению числа размещений из 10 элементов по 3:  Сочетаниями из n элементов по m называют наборы, содержащие m элементов из данных n элементов и отличающиеся составом элементов (порядок расположения элементов, то есть сочетание – это просто подмножество множества заданных элементов). Число всех сочетаний из n по m выражается формулой Пример. На таможенном посту смена состоит из 6 человек. Сколькими способами можно отобрать из 10 сотрудников одну смену? Решение. Смена – это сочетание из 10 человек по 6. Поэтому искомое число способов равно В комбинаторике рассматриваются также конфигурации, в которых допускаются неоднократные повторения одних и тех же элементов. Например, число 1231241 представляет собой перестановку, в которой элемент 1 повторяется 3 раза, элемент 2 –2 раза, 3 и 4 по одному разу. Это перестановки с повторениями (порядок расположения элементов важен), вычисляются по формуле  где  Если некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам. Например, если среди "n" элементов есть элементов одного вида, элементов другого вида и т.д., то число перестановок с повторениями. Если в размещениях из n элементов по m разрешено неоднократное использование любого элемента, то получаются наборы, которые называются размещениями с повторениями из n элементов по m. Число таких размещений равно nm. Например, количество четырехзначных чисел, все цифры которых нечетны, равно 54=625, так как любое такое число представляет собой размещение из 5 цифр 1,3,5,7,9 по 4 (3531, 1977 и т.п.). Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех исходов. При этом предполагается, что все исходы равновозможны. где m – число исходов, благоприятствующих А; n – число всех возможных исходов испытания. Из определения вероятности вытекают ее свойства. Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице. Свойство 2. Вероятность невозможного события равно нулю. Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Пример. Из 1000 таможенных деклараций, лежащих в стопке, 80 заполнены неверно. Какова вероятность, что наудачу взятая декларация, будет заполнена верно? Решение. m=1000–80=920, число деклараций, заполненных верно. Искомая вероятность  =0,92.§ 3. Правила сложения и умножения вероятностей. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий. P(A+B)=P(A)+P(B). Теорема сложения вероятностей любых событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух событий, равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления. P(A+B)=P(A)+P(B)–P(AB). Если при вычислении вероятности события никаких ограничений не полагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие А. Условной вероятностью называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, равна Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило: Событие А называется независимым от события В, если Р(А)=Рв(А), то есть вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. А не зависит от В, только если В не зависит от А. В случае такой ситуации говорят просто о независимых событиях. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий Р(АВ)=Р(А)·Р(В). Пример. В коробке имеется 5 флагов стран-членов БРИКС. Флаги вынимают по одному и выкладывают в ряд. Какова вероят- ность, что последовательность будет такая: флаг России, ЮАР, Китая, Индии, Бразилии. Решение. Всего 5 флагов. Вероятность того, что первым будет флаг России равна  . Теперь в коробке осталось 4 флага, поэтому вероятность того, что вторым будет флаг ЮАР равна  , затем осталось 3 флага и вероятность вытащить флаг Китая равна  , Индии  , Бразилии 1. Таким образом, искомую вероятность Р найдем по теореме умножения Р= 1= .§ 4. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Формула полной вероятности является следствием основных теорем сложения и умножения. Теорема. Пусть событие А может произойти вместе с одним из событий , образующих полную группу несовместных событий. Пусть известны вероятности  этих событий (т.е. гипотез ) Вi и условные вероятности  события А при гипотезах Вi . Тогда полная вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на соответствующую условную вероятность события АПример. Собирается определенное число собак для таможенной службы из двух питомников. Первый питомник поставляет 60% всех собак для службы на данной границе, второй − 40%. Вероятность предоставления первым питомником собак с хорошим умением равна 0,9, вторым питомником − 0,8. Найти вероятность того, что случайно выбранная из предоставленных собак будет обладать этим умением. Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что случайно выбранная собака обладает хорошим умением акцентироваться на запахах, а через В1,В2 –гипотезы, состоящие в том, что это собака из первого, или второго, соответственно, питомника. Из условия задачи следует, что Р(В1)=0,6; Р(В2)=0,4;  (А)=0,9; (А)=0,8.Используя формулу полной вероятности, получаем Р(А)=  Теорема. Пусть событие А может произойти с одним из несовместных событий  , образующих полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны  . Произведем опыт, в результате которого произошло некоторое событие А. Тогда , i=1,2,…,n.Эти формулы называют формулами Байеса. Пример. Два вуза готовят сотрудников таможни. Первый вуз готовит 75% всех сотрудников данной таможни, второй – 25%. Первый вуз выпускает 95% высококвалифицированных кадров, второй – 90%. Выбранный наугад сотрудник этой таможни оказался хорошим специалистом. Найти вероятность того, что он окончил второй вуз. Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что выбранный сотрудник - хороший специалист, В1,В2 –гипотезы, состоящие в том, что выбранный наугад сотрудник – выпускник первого, или второго вуза соответственно. При этом по условию, Р(В1)=0,75; Р(В2)=0,25; (А)=0,95;(А)=0,9. В соответствии с формулами Байеса при n=2 имеем РА(В2)= =0,24. Обратите внимание на то, что знаменатель P(A)=0,75·0,95+0,25·0,9 вычисляется по формуле полной вероятности. |
Похожие:
 | Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования |  | Образовательное Учреждение Высшего Профессионального Образования «Байкальский государственный университет экономики и права» и его... |
| Образовательное Учреждение Высшего Профессионального Образования «Байкальский государственный университет экономики и права» и его... | | Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования |
| Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования | | РФ», Приказом Министерства образования и науки РФ от 25 марта 2003 №1154 «Об утверждении Положения о порядке проведения практики... |
| Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования | | Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования |
| Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования | | Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Северный государственный медицинский... |