 
Элементы комбинаторики, статистики и теориивероятностей
В контрольно-измерительные материалы ЕГЭ задача по стохастике впервые была включена в 2012 году. Ниже приведена общая характеристика задания.
ТРЕБОВАНИЯ: Моделировать реальные ситуации на языке теориивероятностей и статистики, вычислять в простейших случаяхвероятности событий
СОДЕРЖАНИЕ:
Элементы комбинаторики
6.1.1 Поочередный и одновременный выбор
6.1.2 Формулы числа сочетаний и перестановок. Бином Ньютона
Элементы статистики
6.2.1 Табличное и графическое представление данных
6.2.2 Числовые характеристики рядов данных
Элементы теории вероятностей
6.3.1 Вероятности событий
6.3.2 Примеры использования вероятностей и статистики при решении прикладных задач
ПРИМЕРНОЕ ВРЕМЯ РЕШЕНИЯ:
БАЗОВЫЙ уровень подготовки: 10 мин
ПРОФИЛЬНЫЙ уровень подготовки: 3 мин
ПРИМЕР ЗАДАНИЯ (из демоверсии работы)
В10. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из нихвстречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся одинслучайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того,что в этом билете не будет вопроса о грибах.
ПРИМЕР задания В10, предлагавшегося на экзамене в 2012 году.
В чемпионате по гимнастике участвуют 70 спортсменок: 25 из США, 17 из Мексики, остальные из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.
По результатам аналитического отчета ФИПИ за 2012 год, выше ожидаемого (80% вместо предполагаемых 50–60%) оказался процент выполнения задания В10 по теории вероятностей,что показывает своевременность начала проверки освоения указанного разделав экзамене. За прошедшие 8 лет с момента формального появления указанного раздела в ФГОС, реально произошло эффективное включение преподавания данного раздела в школьную практику, содержание экзаменационных заданий было отработано в ходе текущего контроля, диагностических работ, а также в ходе эксперимента в экзаменевновойформе(ГИА)в 9 классе.
В качестве рекомендаций на 2013 год разработчики КИМ ЕГЭ предлагают изучение теории вероятностей и статистики вести с расчетомна практическое применение. Изучение теории вероятностей с акцентом на подсчет вероятностей с помощью формул комбинаторики без реального понимания их смысла приводит к имитации знаний, неумению решать практические задачи, грубым ошибкам вприменении формул. Следует сосредоточиться на решении простейших задач с небольшим числом вариантов, где возможно явное описание и анализ ситуации.
Предлагаем изучить методические аспекты обучения школьников решению комбинаторных задач, используя материалы, ранее изложенные в книге «Элементы стохастики в в курсе математики основной школы. Часть1. Методика обучения решению простейших комбинаторных задач: Учебно-методическое пособие / Авторы-составители Н.А.Цыпленкова, Е.А.Комарова / Под ред. Н.А.Цыпленковой. - Вологда: Издательский центр ВИРО, 2008.
Решение комбинаторных задач методом перебора
Система комбинаторных задач для учащихся V-VI классов включает в себя в первую очередь задачи с конкретным содержанием. Рассматриваются множества с небольшим количеством элементов, чтобы учащиеся могли легко составить, выписать и пересчитать требуемые комбинации элементов, т.е. использовать метод перебора при решении задач. При решении задач методом перебора учащиеся должны следить, чтобы ни одна комбинация не была написана дважды или пропущена, т.е. пользоваться определенной системой при переборе.
Учитель должен обратить особое внимание на поиск удобного способа перебора. При этом можно использовать кодирование, таблицы, схемы, рисунки, графы и дерево возможных вариантов.
Рассмотрим несколько конкретных примеров поиска удобного способа перебора.
1. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 0; 3; 5. Цифры в записи числа могут повторяться.
Решение. В разряде десятков может стоять одна из двух данных цифр: 3 или 5. Цифра 0 не может быть использована в записи числа на первом месте (слева). В разряд единиц можно поставить любую из данных цифр. Получаем:
Других вариантов нет.
2. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 2; 4; 6. Цифры в записи числа не должны повторяться.
Решение. На первом месте (слева) может стоять любая из данных цифр, а в разряд единиц можно поставить любую из оставшихся двух цифр, кроме использованной в разряде десятков. Получаем:
Других вариантов нет.
3. Сколько трехзначных чисел можно записать только с помощью цифр 7 и 8?
Решение. Выпишем все трехзначные числа, в записи которых использованы только цифры 7 и 8 в следующем порядке:
в записи числа нет цифры 7: 888;
в записи числа есть только одна цифра 7 (она может стоять в любом разряде): 788; 878; 887;
в записи числа есть ровно две цифры 7 (т.е. только одна цифра 8): 877; 787; 778;
в записи числа использована только цифра 7: 777.
Других вариантов нет.
Ответ: 8 чисел.
4. На огороде вскопали три грядки. На одной хотят посадить капусту, на другой – морковь, на третьей – свеклу. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Для краткости будем называть вместо полного названия овощей первую букву: К, М, С. Такую замену условными обозначениями часто называют кодированием. Возможны следующие способы посадки овощей:
КМС, КСМ;
МКС, МСК;
СМК, СКМ.
Других вариантов нет.
Ответ: 6 вариантов.
5. Из четырех теннисистов нужно выбрать двоих для участия в соревнованиях. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Для удобства используем кодирование с помощью нумерации и запишем все возможные варианты выбора двух теннисистов из теннисистов 1; 2; 3; 4. Учитывая, что выбор 12, например, одинаков с выбором 21 (порядок выбора теннисистов в паре не важен). Получаем:
Других вариантов нет.
Ответ: 6 вариантов.
6. Из четырех человек надо выбрать двух дежурных в классе, причем один из них будет поливать цветы, а другой следить за чистотой доски. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Запишем все возможные варианты выбора дежурных с разными обязанностями, используя кодирование с помощью нумерации:
12,
|
13,
|
14,
|
21,
|
23,
|
24,
|
31,
|
32,
|
34,
|
41,
|
42,
|
43.
|
Других вариантов нет.
Ответ: 12 вариантов.
7. Трое господ при входе в ресторан отдали швейцару свои шляпы, а при выходе получили их обратно. Сколько существует вариантов, при которых каждый из них получит чужую шляпу? (задача Л.Эйлера).
Решение. Закодируем господ и их шляпы с помощью нумерации. Выпишем все возможные варианты получения шляп с помощью таблицы:
Господа
|
Шляпы
|
1
|
1
|
1
|
2
|
2
|
3
|
3
|
2
|
2
|
3
|
1
|
3
|
1
|
2
|
3
|
3
|
2
|
3
|
1
|
2
|
1
|
Нас устраивают варианты 231 и 321.
Ответ: 2 варианта.
8. Женя, Дима, Максим и Алеша обменялись рукопожатиями. Сколько всего рукопожатий было сделано?
М
А
Д
Ж
ММрис. 1
Решение. Обозначим приятелей кружками (рис. 1), тогда отрезки их соединяющие – рукопожатия. Заметим, что когда Дима пожимает руку Жене, то это значит, что и Женя пожимает руку Диме. Эти рукопожатия считаем за одно.
Ответ: 6 рукопожатий.
М
А
Ж
Д
А
рис. 2
9. Женя, Дима, Максим и Алеша обменялись фотографиями. Сколько всего фотографий было передано из рук в руки?
Ответ: 12 фотографий (рис. 2).
10. Сколько различных четырехзначных чисел можно записать с помощью цифр 1 и 2?
Проиллюстрируем решение с помощью схемы (рис. 3). Число кружков на нижней линии равно числу искомых четырехзначных чисел. Каждая ветвь построенной схемы описывает одно из возможных чисел, удовлетворяющих условию задачи.
1 и 2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
Исходные данные
Выбор первой цифры числа
Выбор второй цифры числа
Выбор третьей цифры числа
Выбор четвертой цифры числа
1
рис. 3
Каждая ветвь построенной схемы описывает одно из возможных чисел, удовлетворяющих условию задачи.
Ответ: 16 чисел.
Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда название – дерево возможных вариантов. При правильном построении дерева ни один из возможных вариантов не будет потерян. Построение дерева возможных вариантов дает единый подход к решению самых разнообразных комбинаторных задач.
11. Сколько всего различных чисел, в записи которых число десятков меньше числа единиц и все цифры нечетные?
Решение. Построим дерево возможных вариантов (рис. 4)
1; 3; 5; 7; 9
1
3
3
53
53
53
73
73
73
73
93
93
93
93
93
Исходные данные
Выбор цифры в разряде десятков
Выбор цифры в разряде единиц
рис. 4
Итак, перед нами нередко возникают проблемы, которые имеют не одно, а несколько возможных решений. Обычно только одно из них (или несколько) нас устраивает, а другие – нет. Чтобы сделать верный выбор, надо рассмотреть все возможные варианты решения. А для этого, прежде всего, надо уметь выбрать удобный способ перебора возможных вариантов. Формирование этого умения обеспечивается, например, при решении методом перебора следующих задач.
1. Запишите все двухзначные числа, в записи которых используются только цифры 2, 3, 5. Цифры в записи числа не должны повторяться.
Ответ: 23, 25, 32, 35, 52, 53.
2. Решите предыдущую задачу при условии, что цифры в записи числа могут повторяться.
Ответ: 22, 23, 25, 32, 33, 35, 52, 53, 55.
3. Сколько различных трехзначных чисел можно записать только с помощью цифр 5 и 2?
Решение. Выпишем получаемые числа в следующем порядке:
в записи числа нет 5: 222,
в записи числа одна 5: 225, 252, 522,
в записи числа две 5: 255, 525, 552,
в записи числа нет 2: 555.
Ответ: 8 чисел.
4. Сколько различных четырехзначных чисел можно записать только с помощью 0 и 9?
Ответ: 8 чисел: 9999, 9990, 9909, 9099, 9900, 9090, 9009, 9000.
5. Выбирая попарно числа из данных: 3, 8, 11, 19, запишите всевозможные дроби и выберите среди них а) правильные дроби; б) неправильные дроби.
Ответ:  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  . а) ; ; ; ; ; ; б) ; ;  ; ;  ;  ; ;  ;  ;  .
|
