ФИЛЬТРАЦИЯ ЦИФРОВЫХ ЦВЕТНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ НА ОСНОВЕ СЛОЖНЫХ ЦЕПЕЙ МАРКОВА
В.Ф. Харюшин
ФГБОУ ВПО «Вятский государственный университет»,
г. Киров, Россия, vladimir_vgu@mail.ru
Введение
Марковские процессы, в которых каждая выборка процесса зависит только от определённого числа выборок расположенных в ближайшей окрестности от неё, часто используются в радиотехнике для аппроксимации реальных случайных процессов. Для одномерных случайных коррелированных процессов окрестность из коррелированных выборок соседних с исследуемой составляет m предыдущих выборок. Cлучайные процессы, у которых каждая последующая выборка зависит от   предыдущих выборок, могут быть представлены сложной цепью Маркова m-ой связности [1].
Выбор размера сложной цепи Маркова аппроксимирующей реальный процесс зависит от скорости убывания автокорреляционной функции (АКФ), имеющей экспоненциальный или близкий к нему характер. Чем быстрее убывает АКФ с удалением от исследуемой выборки, тем меньше размер .
Постановка задачи
Для оценки потерь информации при выборе связности сложной цепи Маркова необходимо разработать математическую модель (ММ), адекватную реальному случайному процессу, представленному в виде ЦЦИ и на ее основе, используя теорию фильтрации условных марковских процессов, разработать алгоритмы фильтрации в условиях действия белого гауссовского шума (БГШ).
Математическая модель сложной цепи Маркова
Пусть последовательность бинарных импульсных сигналов  сложная цепь Маркова с двумя равновероятными  состояниями  и  , в которой каждое последующее состояние зависит от  предыдущих с МВП вида [2-5]:
 ,
где  .
|
Рис.1. Нормированная АКФ случайного процесса
|
Нормированная АКФ случайного процесса, представленного сложной m-связной цепью Маркова имеет вид (рис. 1).
Представим сложную цепь Маркова суперпозицией из одномерных простых цепей Маркова [1]. В этом случае элементы МВП могут быть вычислены из аргумента логарифма в формуле (1) взаимной информации между состояниями -связной сложной цепи Маркова.
 ,
|
(1)
|
где  - нечетное,  - четное число;  . Знак  в (1) означает последовательность произведений для сомножителей с несовпадающими индексами в аргументах.
Алгоритмы фильтрации цифровых полутоновых изображений
Используя ММ и теорию фильтрации условных марковских процессов построим алгоритмы фильтрации случайного коррелированного процесса при наличии белого гауссовского шума  с нулевым средним и единичной дисперсией  при двух аппроксимациях.
1. Аппроксимация простой двумерной цепью Маркова  . Алгоритм фильтрации синтезирован в [6] и имеет вид:
 ,
|
|
где
 ;
|
(2)
|
 - оценки элементов МВП  ;  - логарифм отношения апостериорных вероятностей значений двоичных элементов  -го РДИ в точке  ;  - разность логарифмов функций правдоподобия дискретных значений элементов  -го РДИ;  - порог, вычисленный по критерию идеального наблюдателя.
2. Аппроксимация двумерной двусвязной цепью Маркова  . Алгоритм фильтрации [3-5] имеет вид:
|
(3)
|
где  - логарифм отношения апостериорных вероятностей значений двоичных элементов -го РДИ в точке   ;  - оценки элементов МВП  в выражении (3). При    при    при    при    при    при    .
Алгоритм нелинейной фильтрации (3) можно упростить, сократив одинаковые слагаемые.
Учитывая, представление цветного изображения в виде суперпозиции трех цифровых полутоновых изображений (ЦПИ) по цветовым плоскостям R, G и B (например, RGB), где каждое ЦПИ состоит из набора 8-и разрядных двоичных изображений (РДИ). Было проведено моделирование реального ЦЦИ (рис. 2) при двух аппроксимациях сложной цепью Маркова со связностью  (таблица 1).
Рис. 2. Цифровое цветное изображение (размеры:  )
|
Рис. 3. Зашумленное изображение аддитивным белым гауссовским шумом при отношении сигнал/шум 
|
Таблица 1. Результаты фильтрации
Алгоритм фильтрации на основе простой двумерной цепи Маркова 
|
Алгоритм фильтрации на основе сложной двумерной цепи Маркова 
|
Выигрыш 4,78 дБ
|
Выигрыш 5,46 дБ
|
Выводы
Проведено исследование фильтрации цифрового цветного изображения представленного в виде суперпозиции трех цифровых полутоновых изображений по трем цветовым плоскостям R, G, B с помощью разработанных алгоритмов нелинейной рекурсивной фильтрации на фоне аддитивного белого гауссовского шума (БГШ).
Результаты данной работы позволяют правильно выбрать связность ( ) сложной двумерной цепи Маркова, аппроксимирующей реальный случайный процесс и с увеличением задействовать неиспользуемую статистическую избыточность в случайном процессе для увеличения выигрыша в отношении сигнал/шум, а также позволяет оценить объем ресурсов, необходимый для реализации алгоритмов фильтрации.
Литература
Марков А.А. Избранные труды: Теория чисел. Теория вероятностей/ Под ред. проф. Ю.В.Линника.- М.: Изд-во академии наук, 1951. – 465 с.
Петров Е.П., Харина Н.Л., Кононова В.Ю., Ключникова М.И. Сложные цепи Маркова в радиотехнике и связи / Нелинейный мир. №4, 2012. – с. 234-243.
Петров Е.П., Харина Н.Л., Харюшин В.Ф. Математические модели и алгоритмы фильтрации цифровых полутоновых изображений на основе сложных цепей Маркова//Цифровая обработка сигналов, № 3, 2012. – с.52-57.
Петров Е.П., Харина Н.Л., Харюшин В.Ф. Фильтрация цифровых полутоновых изображений на основе сложных цепей Маркова // Цифровая обработка сигналов и ее применение: сб. научн. трудов 15-й Международной конференции. – Москва: 2013.
Харюшин В.Ф. Моделирование цифровой обработки изображений на основе сложных цепей Маркова // Всероссийская НТК «Общество, наука, инновации»: сб. матер. – Киров, 2012, ст.12. – с. 1404-1408.
Петров Е.П., Медведева Е.В., Харина Н.Л. Модели и алгоритмы цифровой обработки изображений: учебное пособие. – Киров: О-Краткое, 2008. – 88 с.
АНАЛИЗ ИЗНОСА ЩЕТОК МАРКИ ЭГ-14
А. Н. Хуснутдинов, Р. Г. Идиятуллин, А. А. Давлетшин,
Р. Р. Рамазанов
Казанский государственный энергетический университет,
г. Казань, Россия, kgeu.ru
Изучение эксплуатационных характеристик щеток невозможно без правильного выбора методики измерения. Учитывая особенности эксплуатации и необходимость одновременного измерения большого количества щеток (180 шт.), был выбран способ измерения при помощи штангенциркуля с точностью до 0,05 мм.
Измерение высоты щеток производилось на плановых и внеплановых ремонтах. Одновременно определяли величину нажатия соответствующих пальцев пружин щеткодержателей.
Обработка данных измерений по формуле (1) показала неодинаковую величину интенсивности износа по отдельным щеточным дорожкам.
 (1)
где  – допустимая величина износа в мкм;
m – математическое ожидание интенсивности износа коллекторов в 10-6мкм/км.
Причины неравномерности износа щеток могут быть различны. Основные из них – неравномерность токораспределения по щеткам; разброс величин нажатия пружин на щетки; различие вольт-амперных и физико-механических характеристик щеток и др.
Обработка данных интенсивности износа вероятностно-статистическими методами позволила установить, что распределение определяется законом Гаусса.
Для генераторов ГП-311 имеет вид:
 (2)
И для генераторов ГП-311Б
 (3)
Зная распределение функции, можно определить основные характеристики надежности щеток. Предварительно примем величину предельного износа щетки по ее высоте. Допускается расстояние от рабочей поверхности щетки до металлических частей при условии 30 мм после подъемочного ремонта.
Исходя из этого определяем по формуле (1) величину наработки на отказ. Для генераторов ГП-311 Т = 263 103 км и генераторов ГП-311Б Т = 223 3 км.
Результаты расчета показали, что в отличии от существующей практики, замену злектрощеток марки ЭГ-14 можно производить только на подьемочных ремонтах. Проведенные эксплуатационные испытания подтвердили это предложение. В результате чего ожидаемая экономия щеток составляет от 4 до 8 тыс.руб. в год.
Учитывая особенности эксплуатации щеток, соблюдается условие:
Тогда согласно формулам, имеем:
 (4)
По уравнению (4) находим основные параметры эксплуатационной надежности щеток марки ЭГ-14: вероятность безотказной работы P(t); интенсивность λ(t) и плотность φ(t) износовых отказов.
На рис. 1, 2 приведены графические изображения основных характеристик надежности тяговых генераторов ГП-311 и ГП-311Б.
Рис. 1 Интенсивность износовых отказов коллекторов с присадкой кадмия генераторов ГП-311
Рис. 2 Интенсивность износовых отказов коллекторов с присадкой кадмия генераторов ГП-311Б
Результаты проведенного исследования показывают, что эксплуатационная надежность щеток марки ЭГ-14 для обоих типов генераторов практически одинакова.
Численная оценка СООТНОШЕНИЯ
МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТОМ ЗАПАСА
И расчётной вероятностЬЮ РАЗРУШЕНИЯ
М. М. Шатов
Южно-Уральский Государственный Университет,
г. Челябинск, Россия, my.boxmail@mail.ru
При оценке безопасности конструкций используют понятие «риск», которое включает в себя вероятность опасного события и ущерб от него. При оценке технического риска нормируют допустимую частоту отказа (опасного события) в зависимости от тяжести последствий [1, 2, 5-7].
Требование считать частоту отказа привело к тому, что в настоящее время осуществляется переход от детерминированных методов расчёта на прочность к вероятностным. Расчёт на прочность сводится к сопоставлению двух величин, по результатам которого делают выводы о «приемлемости» или «неприемлемости» конструкции. Так в детерминированном расчёте на прочность сопоставляются расчётный и нормативный коэффициент запаса, а в вероятностном – расчётная вероятность и допустимая частота отказа.
Практика вероятностных расчётов показывает, что расчётная вероятность и реальная частота отказов отличаются на несколько порядков [4, с. 128]. Одной из причин является зависимость расчётной вероятности от статистических гипотез, принимаемых в силу недостатка исходных данных в области маловероятных значений случайных величин («хвостах» функций распределений) [10]. В этих условиях погрешность расчёта частоты отказа становится соизмеримой или больше допустимой частоты, и вероятностный расчёт теряет смысл.
Несмотря на невозможность расчёта малых частот отказов с приемлемой точностью, вероятностные расчёты могут использоваться как сравнительные – из нескольких конструкций «лучше» та, у которой меньше вероятность отказа при условии, что методы расчёта и принятые гипотезы во всех расчётах одинаковые. Аналогичная ситуация с необходимостью принятия дополнительных гипотез возникает и при детерминированных расчетах на прочность: наличие гипотез компенсируется коэффициентами запаса прочности (разными в случае разных гипотез). В связи с этим представляется логичным ввести, по аналогии с нормативным коэффициентом запаса прочности, предельную расчётную вероятность отказа (ПРВО) – увязанную с набором принятых гипотез (возможно недоказуемых) и методом расчёта. Нужно сразу оговориться, что эта «предельная расчётная вероятность отказа» может не совпадать с допустимой вероятностью, регламентируемой нормативными документами, которая принимается из социально-экономических соображений: первая из этих вероятностей изменится при изменении набора гипотез, а вторая – нет.
Значение предельной вероятности можно подобрать так, чтобы конструкция получалась «не хуже» существующих. Для этого нужно сравнить результаты расчётов в детерминированной и вероятностной постановках для одних и тех же конструкций. Под предельной вероятностью будем понимать вероятность отказа, соответствующую нормативному коэффициенту запаса (рисунок ). При таком подходе учитывается опыт эксплуатации конструкций, заложенный в коэффициентах запаса.
Рисунок
. Схема к определению
предельной расчётной вероятности отказа
В [3] было показано, что при принятии некоторых гипотез и ограничений расчётная вероятность отказа может быть связана с коэффициентом запаса функциональной зависимостью, нормативному коэффициенту запаса может быть поставлено в соответствие значение ПРВО (и  , и  соответствует один и тот же некоторый уровень надёжности, частота отказов). В данной статье изложены материалы численной оценки ПРВО (методом Монте-Карло) путём сопоставления детерминированных и вероятностных расчётов сварного тройника паропровода.
Расчёт в детерминированной постановке проводился согласно требованиям Норм [8]. Для тройника эти Нормы рассматривают возможность разрушения от однократной перегрузки и от накопления повреждений при малоцикловом длительном нагружении. Вычислялись коэффициенты запаса по нагрузке (статическая прочность) и по долговечности (циклическая прочность). Рассматривались циклы «запуск-останов», переходные режимы не рассматривались. При расчёте в вероятностной постановке использовались те же формулы, что и в детерминированном расчёте, дополненные учётом характеристик разброса случайных величин. Считалось, что линейные размеры детерминированы, отклонения в поле допусков практически не влияют на результаты, постулировалось отсутствие дефектов геометрии типа трещин, раковин и пр. Случайными величинами принимались температура, нагрузки и свойства материала. Был постулирован вид закона распределения случайных величин (нормальный закон). Внутренние силовые факторы определялись по формуле:
(1)
где:  – i-ый внутренний силовой фактор;
p – внутреннее давление;
T – температура паропровода;
, и γ векторы коэффициентов, зависящие от геометрии паропровода.
В практических задачах экспериментальных данных о свойствах материала почти всегда недостаточно для надежной оценки закона распределения этих свойств в области малых значений вероятности. В этих условиях можно, с понятной «натяжкой», использовать следующий подход: постулировать вид закона распределения и использовать имеющиеся данные для определения параметров этого закона (минимальные свойства; предполагаемый уровень доверия, при котором они определялись; грубые литературные оценки коэффициентов вариации).
Для реализации метода определения ПРВО (рисунок ) использовался метод Монте-Карло: коэффициенты , и γ (1) генерировались случайно. Результаты расчётов представлены на рисунках -. Все расчётные случаи характеризуются тем, что геометрические параметры, номинальные значения давления и температуры не менялись. Варьирование нагрузок при этом обеспечивалось только случайным характером коэффициентов , , , что на практике соответствует разным схемам паропроводов.
Было оценено влияние параметров, определяющих разбросы случайных величин, на значение ПРВО от однократной перегрузки (рисунки -). На графиках по вертикальной оси отложена вероятность разрушения от перегрузки  , а по горизонтальной – относительный коэффициент запаса (отношение фактического коэффициента запаса к нормативному  ). На рисунке приведено сравнение двух испытаний методом Монте-Карло, отличающихся коэффициентом вариации пределов прочности материала при одинаковых минимальных свойствах ( ) в предположении, что закон распределения является нормальным). Серии испытаний на рисунке отличаются доверительной вероятностью, используемой при определении понятия «минимальные свойства», и, соответственно, разными квантилями:  и .
Рисунок
. Влияние коэффициента вариации характеристик прочности
на значение ПРВО от перегрузки.
Рисунок
. Влияние доверительной вероятности
на значение ПРВО от перегрузки
(1 – ; 2 – )
При расчёте на циклическую прочность также наблюдается некоторая корреляция между вероятностью разрушения от циклических нагрузок и коэффициентом запаса по долговечности. Для случая циклической прочности было оценено влияние параметров, определяющих разбросы случайных величин, и влияние доверительной вероятности, используемой при определении понятия «минимальные свойства», на значение ПРВО (рисунки -). По вертикальной оси отложена вероятность разрушения от накопления повреждения при малоцикловом длительном нагружении  , по горизонтальной оси – коэффициент запаса по долговечности  (отношение нормативного ресурса к времени эксплуатации в стационарном режиме).
Рисунок
. Влияние доверительной вероятности на ПРВО
от малоциклового длительного нагружения
(1 – ; 2 – )
Рисунок
. Влияние коэффициента вариации
длительной прочности на ПРВО
от малоциклового длительного нагружения
Отметим, что отличия от функциональной зависимости (разбросы на рисунках -) связаны с отличием полной вероятности разрушения тройника от вероятности разрушения наиболее нагруженного сечения.
Полная вероятность разрушения вычислялась с учётом вероятности разрушения от однократной перегрузки и от циклического повреждения. При расчётном ресурсе определяющей является вероятность разрушения от однократной перегрузки. С ростом ресурса эксплуатации заметную роль начинает играть повреждение от малоциклового длительного нагружения.
Условием наличия связи между вероятностью отказа и коэффициентом запаса является то, что методика вероятностных расчётов включает те же гипотезы и допущения, что и детерминированная методика. Для иллюстрации этого факта была численно построена зависимость вероятности разрушения от однократной перегрузки, полученной по методике, основанной на [8], от коэффициента запаса, посчитанного по Нормам [9] (рисунок ).
Рисунок
. Влияние различия расчётных гипотез и допущений, положенных в основу вероятностной и детерминированной методик, на зависимость вероятности отказа от коэффициента запаса
Результат, представленный на рисунке , является следствием того, что результаты детерминированных расчётов одной и той же конструкции, посчитанной по разным Нормам, могут существенно отличаться.
В заключении нужно отметить, что закономерности, полученные из аналитической оценки ПРВО [3], соответствуют закономерностям, полученным из численного эксперимента.
Литература
1.API 580 Risk-Based Inspection. – First edition, may 2002.
2.BS 7910. Guide on methods for assessing the acceptability of flaws in metallic structures.
3.Анализ рисков отказов при функционировании потенциально опасных объектов / Махутов Н.А., Шатов М.М. [и др.] // Проблемы анализа риска, том 9. – 2012. – № 3. – С.8-21.
4.Безопасность России / по ред. Н.А. Махутова. – М.: МГФ «Знание», 2006. – Т.2.
5.ГОСТ Р 51344-99 Безопасность машин. Принципы оценки и определения риска. – М.: Госстандарт, 1999. – с. 15.
6.ГОСТ Р 51901.1-2002 Анализ риска технологических систем. – М.: Госстандарт, 2003.
7.ГОСТ Р 51901-2002 Безопасность механизмов. – М.: Госстандарт, 2002.
8.ПНАЭ Г-7-002-86. Нормы расчёта на прочность оборудования и трубопроводов атомных энергетических установок. М.: Энергоатомиздат, 1989. –525с.
9.РД 10-249-98. Нормы расчёта на прочность стационарных котлов и трубопроводов пара и горячей воды. Санкт-Петербург, ДЕАН 1999 - 398 с.
10.Чернявский А.О., Шадчин А.В. Оценка достоверности расчёта малой вероятности разрушения для единичной конструкции // Проблемы машиностроения и надёжности машин. – 2010. – № 4. – С.118-123.
СЕКЦИЯ 4. Экономические науки
|
