Кафедра “Биофизика” Мокров Ю. В. Метрология, стандартизация и сертификация
Скачать 1.65 Mb.
|
Глава 4. Погрешности измерений4.1 Понятие погрешности измерений Непосредственной задачей измерения является определение значений измеряемой величины. В результате измерения физической величины с истинным значением Хи мы получаем оценку этой величины Хизм. результат измерений. При этом следует четко различать два понятия: истинные значения физических величин и их эмпирические проявления – действительные значения, которые являются результатами измерений и в конкретной измерительной задаче могут приниматься в качестве истинных значений. Истинное значение величины неизвестно и оно применяют только в теоретических исследованиях. Результаты измерений являются продуктами нашего познания и представляют собой приближенные оценки значений величин, которые находятся в процессе измерений. Степень приближения полученных оценок к истинным (действительным) значениям измеряемых величин зависит от многих факторов: метода измерений, использованных средств измерений и их погрешностей, от свойств органов чувств операторов, проводящих измерения, от условий, в которых проводятся измерения и т.д. Поэтому между истинным значением физической величины и результатом измерений всегда имеется различие, которое выражается погрешностью измерений (то же самое, что погрешностью результата измерений). Погрешность результата измерения — отклонение результата измерения от истинного (действительного) значения измеряемой величины:  Так как истинное значение измеряемой величины всегда неизвестно и на практике мы имеем дело с действительными значениями величин Хд, то формула для определения погрешности в связи с этим приобретает вид:  4.2 Модели объекта и погрешности измерений Задачей измерений является получение значений физической величины, характеризующей соответствующие свойства реального объекта измерений. Однако, вследствие того, что истинное значение измеряемой величины нам неизвестно, возникает вопрос а что же тогда мы должны измерить? Для ответа на этот вопрос вводится некий идеализированный образ объекта измерений модель объекта измерений, соответствующие параметры которой можно наилучшим образом представить в качестве истинного значения измеряемой величины. Модель реального объекта измерений обычно представляет собой некоторую его абстракцию и ее определение формируется на основе логических, физических и математических представлений. В качестве примера рассмотрим решение часто рассматриваемой в литературе простейшей измерительной задачи определение диаметра диска. Реальный объект измерения диск, представляется его математической моделью кругом. При этом делается предположение, что диаметр круга идеальным образом отражает то свойство реального диска, которое мы называет его диаметром. По определению диаметр круга одинаков во всех направлениях, поэтому, чтобы проверить соответствие нашей модели реальному объекту (диску), мы должны провести измерения диска в нескольких направлениях. Из полученных результатов измерений могут следовать два вывода. Если разброс измеренных значений, то есть разности результатов измерений между собой, не превышают заданную в измерительной задаче погрешность измерений диаметра диска, то в качестве результата измерений можно принять любое из полученных значений. Если же разность результатов измерений превышает заданную погрешность измерений, то это означает, что для данной измерительной задачи принятая модель не подходит и необходимо ввести новую модель объекта измерений. Такой моделью, например, может быть круг, имеющий диаметр, равный наибольшему измеренному значению (описывающий круг). Другой пример измерение площади комнаты. Представив пол комнаты в виде прямоугольника, ее площадь можно найти как произведение длины комнаты на ширину. Но если окажется, что ширина комнаты неодинакова по ее длине, то необходимо принять другую модель — например, представить пол комнаты в виде трапеции и определять площадь уже по другой формуле. Аналогично модели измерений вводится и понятие модели погрешности измерений. Например, деление погрешностей по их происхождению, свойствам, способам выражения и т.д. Так, для выражения случайных погрешностей чаще всего используются вероятностные модели. При этом случайная погрешность характе-ризуется не одним значением, а тем диапазоном значений, в кото-ром она может находиться с определенной вероятностью. Для выбранной модели погрешностей устанавливаются законы ее распределения и те параметры этих распределений, которые являют-ся показателями погрешности, а также статистические методы оценки этих параметров по результатам измерений. Подробнее модели погрешности измерений будут рассмотрены ниже. 4.3 Источники погрешности измерений Погрешность результата измерения имеет много составляю-щих, каждая из которых обусловлена различными факторами и источниками. Типичный подход к анализу и оцениванию погреш-ностей состоит в выделении этих составляющих, их изучении по отдельности и суммировании по принятым правилам. Определив количественные параметры всех составляющих погрешности и зная способы их суммирования, можно правильно оценить погрешность результата измерений и при возможности скорректировать его с помощью введения поправок. Ниже приводятся некоторые источники появления погре-ностей измерений:
Группируя перечисленные выше и другие причины появления погрешностей измерений, их можно разделить на погрешности метода измерений, средств измерений (инструмен-та) и оператора, проводящего измерения. Несовершенство каждо-го этого компонента измерения вносит вклад в погрешность измерения. Поэтому в общем виде погрешность можно выразить следующей формулой:  где М – методическая погрешность (погрешность метода); И - инструментальная погрешность (погрешность средств измерений); Л - личная (субъективная) погрешность. Основные причины возникновения инструментальной погрешности приведены в разделе о средствах измерений. Методическая погрешность возникает из-за недостатков используемого метода измерений. Чаще всего это является следстви-ем различных допущений при использовании эмпирических зави-симостей между измеряемыми величинами или конструктив-ных упрощений в приборах, используемых в данном методе измерений. Субъективная погрешность связана с такими индивидуальными особенностями операторов, как внимательность, сосредоточенность, быстрота реакции, степень профессиональной подготовленности. Такие погрешности чаще встречаются при большой доле ручного труда при проведении измерений и почти отсутствуют при использовании автоматизированных средств измерений. 4.4 Классификация погрешностей измерений Представленная выше классификация погрешностей измерений связана с причинами их возникновения. Кроме этого существуют и другие признаки, по которым классифицируются погрешности. По характеру проявления (свойствам погрешностей) они разделяются на систематические и случайные, по способам выражения на абсолютные и относительные. Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины, а относительная погрешность представляет собой отношение абсолютной погрешности к измеренному (действительному) значению величины и ее численное значение выражается либо в процентах, либо в долях единицы. Опыт проведения измерений показывает, что при многократ-ных измерениях одной и той же неизменной физической величины при постоянных условиях погрешность измерений можно представить в виде двух слагаемых, которые по-разному проявляются от измерения к измерению. Существуют факторы, постоянно или закономерно изменяющиеся в процессе проведения измерений и влияющие на результат измерений и его погрешность. Погрешности, вызываемые такими факторами, называются систематическими. Систематическая погрешность – составляющая погреш-ности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины. В зависимости от характера изменения систематические погрешности подразделяются на постоянные, прогрессирующие, периодические, изменяющиеся по сложному закону. Близость к нулю систематической погрешности отражает правильность измерений. Систематические погрешности обычно оцениваются либо путем теоретического анализа условий измерения, основываясь на известных свойствах средств измерений, либо использованием более точных средств измерений. Как правило, систематические погрешности стараются исключить с помощью поправок. Поправка представляет собой значение величины, вводимое в неисправленный результата измерения с целью исключения систематической погрешности. Знак поправки противоположен знаку величины. На возникновение погрешностей влияют также и факторы, нерегулярно появляющиеся и неожиданно исчезающие. Причем интенсивность их тоже не остается постоянной. Результаты измерения в таких условиях имеют различия, которые индивидуально непредсказуемы, а присущие им закономерности проявляются лишь при значительном числе измерений. Погрешности, появляющиеся в результате действия таких факторов, называются случайными погрешностями. Случайная погрешность – составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) при повторных измерениях одной и той же величины, проведенных с одинаковой тщательностью. Незначительность случайных погрешностей говорит о хорошей сходимости измерений, то есть о близости друг к другу результатов измерений, выполненных повторно одними и теми же средствами, одним и тем же методом, в одинаковых условиях и с одинаковой тщательностью. Обнаруживаются случайные погрешности путем повторных измерений одной и той же величины в одних и тех же условиях. Они не могут быть исключены опытным путем, но могут быть оценены при обработке результатов наблюдений. Деление погрешностей измерений на случайные и систематические очень важно, т.к. учет и оценка этих составляющих погрешности требует разных подходов. Факторы, вызывающие погрешности, как правило, можно свести к общему уровню, когда влияние их на формирование погрешности является более или менее одинаковым. Однако некоторые факторы могут проявляться неожиданно сильно, например, резкое падение напряжения в сети. В таком случае могут возникать погрешности, существенно превышающие погрешности, оправданные условиями измерений, свойствами средств измерений и метода измерений, квалификацией оператора. Такие погрешности называются грубыми, или промахами. Грубая погрешность (промах) – погрешность результата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных значений погрешности. Грубые погрешности необходимо всегда исключать из рассмотрения, если известно, что они являются результатом очевидных промахов при проведении измерений. Если же причины появления резко выделяющихся наблюдений установить нельзя, то для решения вопроса об их исключении используют статистические методы. Существует несколько критериев, которые позволяют выявить грубые погрешности. Некоторые из них рассмотрены ниже в разделе об обработке результатов измерений. 4.5 Случайные погрешности 4.5.1 Статистическая устойчивость распределения наблюдений При наличии случайных погрешностей измерений прибегают к многократным наблюдениям и последующей статистической обработке их результатов. При этом результаты наблюдений и измерений и случайные погрешности рассматриваются как случайные величины, то есть величины, которые характеризуют случайное явление и в результате измерений принимают то или иное значение. Обработка результатов таких наблюдений возможна, если их рассеивание обнаруживает определенные статистические закономерности. Если же результаты наблюдений разбросаны произвольно, то использовать какие-либо способы обработки таких наблюдений и получить результат измерения не представляется возможным. Поэтому при формулировании конкретной задачи измерений и при получении результатов наблюдений необходимо прежде всего проверить наличие закономерностей в распределении наблюдений. Если такие закономерности обнаруживаются, то распределение наблюдений обладает статистической устойчивостью и для их обработки возможно применение методов теории вероятностей и математической статистики. При этом необходимо отметить, что обнаружение статистических закономерностей в распределении результатов наблюдений проводится после исключения из них всех известных систематических погрешностей. 4.5.2 Дифференциальные и интегральные законы распределения случайной величины Случайная величина наилучшим и исчерпывающим образом характеризуется в теории вероятностей законом ее распределения. Этот закон устанавливает связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими этим значениям вероятностям их появления. Существует две формы описания закона распределения случайной величины дифференциальная и интегральная. Причем, в метрологии в основном используется дифференциальная форма закон распределения плотности вероятностей случайной величины. Дифференциальный закон распределения характеризуется плотностью распределения вероятностей f(x) случайной величины х. Вероятность Р попадания случайной величины в интервал от х1 до х2 при этом дается формулой:  Графически эта вероятность представляет собой отношение площади под кривой f(x) в интервале от х1 до х2 к общей площади, ограниченной всей кривой распределения. Как правило, площадь под всей кривой распределения вероятностей нормируют на единицу. В данном случае представлено распределение непрерывной случайной величины. Кроме них существуют и дискретные случайные величины, принимающие ряд определенных значений, которые можно пронумеровать. Интегральный закон распределения случайной величины представляет собой функцию F(x), определяемую формулой  Вероятность, что случайная величина будет меньше х1 дается значением функции F(х) при х = х1 :  Хотя закон распределения случайных величин является их полной вероятностной характеристикой, нахождение этого закона является довольно трудной задачей и требует проведения многочисленных измерений. Поэтому на практике для описания свойств случайной величины используют различные числовые характеристики распределений. К ним относятся моменты слу-чайных величин: начальные и центральные, которые представляют собой некоторые средние значения. При этом если усредняются величины, отсчитываемые от начала координат, то моменты называются начальными, а если от центра распределения – то центральными. Начальный момент k-го порядка определяется формулой:  Наибольший практический интерес представляет начальный момент первого порядка - математическое ожидание случайной величины m1 (k=1):   Математическое ожидание определяет положение центра группирования случайной величины, вокруг которого наблюдается ее рассеяние. Экспериментальной оценкой математического ожидания при многократных измерениях является среднее арифметическое значение измеряемой величины. Центральный момент k-го порядка определяется формулой:  Особую роль играет центральный момент второго порядка. Он называется дисперсией D случайной величины и характеризует рассеяние отдельных ее значений:  На практике чаще используется среднее квадратическое отклонение σ (СКО) случайной величины, определяемое формулой:  При более подробном изучении распределений случайной величины используются моменты более высоких порядков. Так, любой нечетный центральный момент характеризует асимметрию распределения. Например, третий момент используют для нахождения коэффициента асимметрии кривой распределения относительно математического ожидания. Четвертый центральный момент характеризует остроту вершины кривой распределения. 4.5.3 Характеристики оценки измеряемой величины Задачей измерения является нахождение по полученным наблюдениям наилучшей оценки измеряемой величины результата измерения и оценки точности этого результата, т.е. степени его близости к истинному значению величины погрешности измерений. При этом считается, что закон распределения наблюдений и погрешностей известен. Под оценкой в данном случае понимается нахождение значений параметров этих распределений случайных величин по ограниченному числу наблюдений. Полученные оценки параметров распределений являются лишь приближениями к истинным значениям этих параметров и используются в качестве результата измерений и его погрешности. Для того чтобы оценку, получаемую по результатам многократных наблюдений, можно было использовать в качестве параметра функции распределения случайной величины, она должна отвечать ряду требований — быть состоятельной, несмещенной и эффективной. Состоятельная оценка – это оценка, которая при увеличении числа наблюдений стремится к истинному значению оцениваемого параметра. Несмещенная оценка - оценка, математическое ожидание которой равно истинному значению оцениваемого параметра. Эффективная оценка – оценка, имеющая наименьшую дисперсию по сравнению с любой другой оценкой данного параметра. Методы нахождения оценок параметров распределений, а по ним результатов измерений и их погрешностей зависят от вида функции распределения и от тех соглашений по обработке результатов измерений, которые нормируются в рамках законодательной метрологии в нормативной документации. 4.5.4 Примеры распределения случайных величин Способы нахождения значений случайной величины зависят от вида функции ее распределения. Однако на практике такие функции, как правило, неизвестны. Если же случайный характер результатов наблюдений обусловлен погрешностями измерений, то полагают, что наблюдения имеют нормальное распределение. Это обусловлено тем, что погрешности измерений складываются из большого числа небольших возмущений, ни одно из которых не является преобладающим. Согласно же центральной предельной теореме сумма бесконечно большого числа взаимно независимых бесконечно малых случайных величин с любыми распределениями имеет нормальное распределение. Нормальное распределение для с  лучайной величины х с математическим ожиданием  и диспер-сией имеет вид:Реально даже воздействие ограниченного числа возмущений приводит к нормальному распределению результатов измерений и их погрешностей. В настоящее время наиболее полно разработан математический аппарат именно для случайных величин, имеющих нормальное распределение. Если же предположение о нормальности распределения отвергается, то статистическая обработка наблюдений существенно усложняется и в таком случае невозможно рекомендовать общую методику статистической обработки наблюдений. Часто даже не известно, какая характеристика распределения может служить оценкой истинного значения измеряемой величины. Выше приведено аналитическое выражение нормального распределения для случайной измеряемой величины х. Переход к нормальному распределению случайных погрешностей  осуществляется переносом центра распределений в и откладывания по оси абсцисс погрешности  . Нормальное распределение характеризуется двумя парамет-рами: математическим ожиданием m1 и средним квадратическим отклонением σ. При многократных измерениях несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой m1 для группы из n наблюдений является среднее арифметическое  : .Нужно сказать, что среднее арифметическое дает оценку математического ожидания результата наблюдений и может быть оценкой истинного (действительного) значения измеряемой величины только после исключения систематических погрешностей. Оценка S среднего квадратического отклонения (СКО) дается формулой:  Эта оценка характеризует рассеяние единичных результатов измерений в ряду равноточных измерений одной и той же величины около их среднего значения. Другими оценками рассеяния результатов в ряду измерений являются размах (разница между наибольшим и наименьшим значением), модуль средней арифметической погрешности (арифметическая сумма погрешностей, деленная на число измерений) и доверительная граница погрешности (подробно рассматривается ниже). СКО является наиболее удобной характеристикой погрешности в случае ее дальнейшего преобразования. Например, для нескольких некоррелированных слагаемых СКО суммы определяется по формуле:  .Оценка S характеризует рассеяние единичных результатов наблюдений относительно среднего значения, то есть в случае, если мы за результат измерений примем отдельный исправленный результат наблюдений. Если же в качестве результата измерений принимается среднее арифметическое, то СКО этого среднего  определяется по формуле: Нормальное распределение погрешностей имеет следующие свойства:
Другим распространенным в метрологии распределением случайной величины является равномерное распределение распределение, при котором случайная величина принимает значения в пределах конечного интервала от х1 до х2 с постоянной плотностью вероятностей. Дифференциальная функция равномерного распределения имеет вид: f(x) = с при х1 x х2 f(x) = 0 при х2 x х1 При нормировке площади кривой распределения на единицу, получаем, что с(х2 – х1) = 1 и с = 1/ (х2 – х1). Р  авномерное распределение характеризуется математичес-ким ожиданием  , дисперсией  или СКО . Кроме рассмотренных примеров распределений случайных величин существуют и другие важные для практического использования распределения дискретных случайных величин, например, биномиальное распределение и распределение Пуассона. В настоящем курсе они не рассматриваются. 4.5.5 Доверительные интервалы Приведенные выше оценки параметров распределения случайных величин в виде среднего арифметического для оценки математического ожидания и СКО для оценки дисперсии называются точечными оценками, так как они выражаются одним числом. Однако в некоторых случаях знание точечной оценки является недостаточным. Наиболее корректной и наглядной оценкой случайной погрешности измерений является оценка с помощью доверительных интервалов. Симметричный интервал в границами ± Δх(Р) называется доверительным интервалом случайной погрешности с довери-тельной вероятностью Р, если площадь кривой распределения между абсциссами –Δх и +Δх составляет Р-ю часть всей площади под кривой плотности распределения вероятностей. При нормировке всей площади на единицу Р представляет часть этой площади в долях единицы (или в процентах). Другими словами, в интервале от -х(Р) до +х(Р) с заданной вероятностью Р встречаются Р100% всех возможных значений случайной погрешности. Доверительный интервал для нормального распределения находится по формуле:  где коэффициент t зависит от доверительной вероятности Р. Для нормального распределения существуют следующие соотношения между доверительными интервалами и доверительной вероятностью: 1 (Р=0,68), 2 (Р= 0,95), 3 (Р= 0,997), 4 (Р=0,999). |
Похожие:
 | Составители: преподаватель дисциплины «Метрология, стандартизация и сертификация» Л. В. Лисник | | «Метрология, стандартизация и сертификация» является базой при подготовке инженеров электротехнического профиля и должна формировать... |
 | Учебная программа по дисциплине «Метрология, стандартизация и сертификация» разработана в соответствии с требованиями Государственного... | | В каких случаях допускается отказ в регистрации систем добровольной сертификации? |
| Темы контрольных работ по дисциплине «стандартизация, метрология и сертификация» для специальности 080300 «коммерция» | | Специальность 080401. 65 «Товароведение и экспертиза товаров» (по областям применения) |
| Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Саратовской области | | Государственный контроль и надзор за соблюдением требований государственных стандартов. 17 |
| Учебно-методическое пособие по выполнению практических работ для студентов по специальности 13. 02. 11 «Техническая эксплуатация... | | Изучение дисциплины базируется на знании материала дисциплин: «Физика», «Химия», «Математика», «Гидравлика», «Инженерная графика»,... |